3.1 列代数式
1．用字母表示数
(1)为什么用字母表示数
在算术中我们学过2,4,6,8等能被2整除的数，叫做偶数．偶数是无穷无尽的，要研究它的性质，不可能一个一个把它们分别研究完了，最后再来归纳，怎么办呢？在代数里可以用字母n代表任意一个整数，那么2n就能表示所有的偶数．如果n代表1，那么2n就是2；n代表2，那么2n就是4；如果n代表2 000，那么2n就代表4 000.因此，研究2n的性质就可以代表所有偶数的性质了．
我们都知道1,3,5,7,9等不能被2整除的数叫做奇数，奇数也是无穷无尽的，要表示所有的奇数也很方便，用字母n代表整数，2n－1就能表示所有的奇数．
用字母S表示“长方形的面积，”用字母a，b分别表示长方形的“长”和“宽”，得到公式S＝ab，这样用字母表示的数显得既简洁、又全面，记忆起来也很方便．
(2)字母能表示什么
①可以简明地表达数学运算律，如：加法交换律a＋b＝b＋a；
②可以简明地表达公式，如三角形面积公式：S＝ah，其中a表示底边长，h表示这条底边上的高；
③可以简捷、准确地表达一些数学概念，如用a和b表示两个互为相反数的数，则a＋b＝0，反之若a＋b＝0，则a与b互为相反数；
④可以简明地表达问题中的数量关系，如三个连续的偶数，中间一个为2n，则另外两个可以表示为：2n－2,2n＋2.
(3)用字母表示数应注意的几个问题
①注意字母具有一般性
用字母可以表示我们已经学过的任意一个有理数，同时随着我们所学知识的深入与需要，数的范围将进一步扩大，字母可以表示今后我们所学到的任何一个数．
比如，字母a可以表示正数、负数、零，同学们不要见到a就认为是正数，见到－a就认为是负数，见到2a就认为一定比a大，这是对字母表示数的一种极为错误的认识．实际上，a不一定就是正数，－a不一定就是负数，2a不一定就比a大，这要看字母a具体代表什么数，当a＝－2时，－a＝2,2a＝－4，即a是一个负数，－a就是一个正数，2a反而比a要小．
②注意字母的确定性
它表现在两个方面：一方面是指在同一个问题中，同一个字母只能表示同一个数量，不同数量要用不同的字母来表示．另一方面，在用字母表示数时，一旦式子中的字母的取值确定了，式子的值也就随之确定了，如在圆的周长公式l＝2πr中，如果r＝3，那么这个圆的周长就是6π了．
③注意字母的不确定性
同一个式子可以表示多种实际问题中的数量关系，如：式子3a可以表示：“每斤苹果a元，买3斤苹果共需3a元”，也可以表示：“每支铅笔a元，买3支铅笔共需3a元”等．
④注意字母的限制性
用字母表示实际问题中的某一个数量时，字母的取值必须使这个问题有意义且符合实际，如“若某型号计算机的单价为a元/台，则买m台共需ma元”，这里a只能表示正数，m只能表示0和正整数．
⑤注意字母的抽象性
要逐步理解和接受有些问题的结果可能就是一个用字母表示的式子，如，我们已经习惯于计算“若每小时行30千米，则2小时就会行30×2＝60千米”这样的具体结果，因为我们可以想象得到60千米大概有多远．如果换成“若每小时行30千米，则t小时就会行30t千米”这样的抽象结果，初学时，有的同学很难接受，因为我们想象不到30t千米大概有多远．其实，学习了用字母表示数以后，像30t或a
－5等这些用字母表示的数，完全可以作为一个结果．
⑥书写格式
a．用字母表示数，当式子中出现数与字母、字母与字母相乘时，乘号通常简写作“·”或省略不写；如果是数与字母相乘，数字应写在字母前．例如，a×24一般写成24·a或24a的形式，而不应写成a·24或a24的形式；4×(a＋b)通常写成4·(a＋b)或4(a＋b)．
b．数字与数字相乘，一般仍用“×”．
c．相同字母相乘时，应写成幂的形式．例如，a×a写成a2(注：2写在右上角)，a×a×a写成a3(注：3写在右上角)的形式．
d．带分数与字母相乘时，如果省略乘号，一定要先把带分数化成假分数，再与字母相乘．例如，用代数式表示“a，b两数积的3倍”，一般写成ab或，而不应写成3ab的形式．
e．式中出现除法运算的，一般按照分数的写法来写．例如，s÷t(t≠0)应写成(t≠0)的形式；y÷(x＋1)通常写成.此外，分数线具有“÷”和“括号”的双重作用．
f．在式子后面要注明单位时，若结果是乘除关系的，直接在后面写单位；若结果是加减关系时，先把式子用括号括起来，再在后面写单位．例如，长方形的长为12a cm，宽为5b cm，则长方形的面积为60ab cm2，周长为(24a＋10b) cm或2(12a＋5b) cm.
【例1－1】 填空：
(1)买一个篮球需要m元，买一个排球需要n元，则买3个篮球和5个排球共需要__________元；
(2)今天，参加全省课改实验区的初中毕业考试的同学约有15万人，其中男生约有a万人，则女生约有__________万人；
(3)1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水；
2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水；
3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水；……
用字母表示这首歌__________；
(4)如下图是小明用火柴搭的1条、2条、3条…“金鱼”，则搭n条“金鱼”需要火柴__________根．
解析：(1)显然买3个篮球需要3m元，买5个排球需要5n元，则买3个篮球和5个排球共需要(3m＋5n)元；(2)女生的人数等于总人数减去男生的人数．由于男女生共15万人，而男生有a万人，则女生有(15－a)万人；(3)青蛙眼睛的数目等于青蛙数目的2倍，腿的数目是青蛙数目的4倍，青蛙嘴的数目和跳水声数目都与青蛙只数相等；(4)观察发现：搭1条“金鱼”需要火柴8根，搭2条“金鱼”需要火柴14根，搭3条“金鱼”需要火柴20根，而8＝6×1＋2,14＝6×2＋2,20＝6×3＋2…所以搭n条“金鱼”需要火柴(6n＋2)根．
答案：(1)(3m＋5n)
(2)(15－a)
(3)n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，n声扑通跳下水
(4)(6n＋2)
解技巧 表示和或差的式子要加括号 注意：“(3m＋5n)元”、“(15－a)万人”、“(6n＋2)根”中表示和或差的式子一定要加括号．
【例1－2】 下列各式中，符合书写要求的有哪些？不符合书写要求的有哪些？
①3m；②t－3 ℃；③4÷(x－y)；④a×5；⑤xy.
分析：①带分数写成假分数；②当需要注明单位时，若最后一步是加减运算，应将式子加上括号，再注明单位；③当运算出现除法时，应按照分数形式写；④数和字母相乘，数字一般写在字母的前面，并写成省略乘号的形式．
解：符合书写要求的只有⑤，不符合的有①②③④.其中①应写成m；②应写成(t－3) ℃；③应写成；④应写成5a.
2.代数式
(1)代数式的概念
像a，，ab，x，x2y，(a＋b)2，，2a＋5等式子，它们都是由数和字母用运算符号连接所成的式子，称为代数式．
①代数式是用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子．我们学过的运算符号有加、减、乘、除、乘方，包括括号；
②单独一个数或一个字母也是代数式；
③含有表示相等或不等关系的式子(如x＋5＝2或x－y＞3)不是代数式．
(2)正确地读代数式
代数式的读法不唯一，一般只要读出运算的结果即可．具体地，可有下列两种读法：
①按运算关系读．如a－5读作“a减5”，读作“m除以n”，或“n除m”，或“n分之m”；
②按运算结果读．如m－n读作“m与n的差”，读作“a与b的商”．
值得注意的是在含有括号的代数式中，括号里的部分应看成一个整体，由于分数线具有除号和括号的双重作用，所以应该把分子与分母分别看成两个整体来读．如2(x－y)读作“x减去y的差的2倍”，读作“m的平方与n的差，除以a所得的商”．
谈重点 代数式中分数线的作用 分数线具有括号的作用，读写代数式时应当重视分数线的这种内在的作用．
【例2】 指出下列各式哪些是代数式，哪些不是代数式？
①0；②a＋b＝3；③b；④x＋2＞4；⑤；⑥2mn；⑦1＋x；⑧x3.
分析：代数式就是用运算符号把数或字母连接而成的式子，其中⑤是用除号把数与字母连接起来的式子，⑥是用乘号把数与字母连接起来的式子，⑦是用加号把数与字母连接起来的式子，所以都是代数式．单独一个数或字母也是代数式，所以①③也是代数式．⑧是用乘方把数与字母连接起来的式子，所以是代数式；而②含有等号，④含有不等号，等号和不等号都不是运算符号，所以②④都不是代数式．
解：代数式有①，③，⑤，⑥，⑦，⑧.
解技巧 代数式的简单识别 只要不含有“等号”或“不等号”的式子，就是代数式．
3．列代数式
(1)列代数式的关键要分析数量关系，能准确地把文字语言翻译成数学语言．列代数式的注意事项：
①审题，认真分析问题中有关术语的含义，如：和、差、积、商、多、少、几倍、几分之一、增加了、增加到、减少、减少到、扩大、缩小等；
②注意问题中语言叙述所表示的运算顺序，如a与b两数和的平方，应为(a＋b)2，a，b平方的和，应为a2＋b2；
③要弄清问题中的层次关系，抓住“的”字的作用，如用代数式表示：比x与y的差的一半小2m的数，问题中“的”字把句子分成三层，a.x与y两数的差，b.差的一半，c.比差的一半小2m.分清层次后很容易得到：(x－y)－2m，注意在书写过程中层与层之间适当地添加括号；
④注意运算的逆向思维，如某数与ab的积为5，则该数为，问题中出现的是积，而列出的代数式却为商的形式．
(2)熟记一些常见的例子：
①a与b两数的平方和：a2＋b2；
②a与b两数和的平方：(a＋b)2；
③a与b的平方的和：a＋b2；
④a与b两数的倒数和：＋；
⑤a与b两数和的倒数：；
⑥a与b的倒数和：a＋；
⑦a与b两数绝对值的和：|a|＋|b|；
⑧a与b的绝对值的和：a＋|b|.
警误区 列代数式时注意添加括号 表示与数的运算顺序一致的运算，列代数式时不添括号；与数的运算顺序不一致的运算，列代数式时要添加括号．
【例3】 设甲数为x，用代数式表示下列各式：
(1)比甲数的平方大2；
(2)甲数的1倍与4的和；
(3)甲数除2的商与1的差．
分析：(1)甲数的平方为x2，比甲数的平方大2就是x2加上2，即为x2＋2；(2)甲数的1倍为x·1，即x，和就是加法，故甲数的1倍与4的和即为x＋4；(3)甲数除2即为2除以甲数，甲数除2的商与1的差就是2除以甲数的商与1的差，即为－1.
解：(1)x2＋2；(2)x＋4；(3)－1.
解技巧 列代数式时要准确把握关键词语 列代数式时，要准确把握问题中与数量有关的一些词语，因为这些词语的本身就体现了一种运算关系．如“大”、“小”、“多”、“少”、“和”、“差”、“积”、“商”、“倍”、“分”、“比”、“增长”、“几分之几”、“除”、“除以”等．
4．列代数式的方法
(1)正确列代数式的关键在于：①正确理清数量关系；②善于抓住关键词语；③能正确判断数量关系中的运算顺序．
(2)下面介绍两种常用的列代数式的方法．
方法一：“翻译法”．列代数式的关键之一在于分清数量关系中的运算层次和运算顺序，一般地叙述数量关系的顺序与代数式的书写顺序基本上是一致的，即可按照“先读的先写”这种类似英语中的“翻译”的方法来列代数式．
方法二：“方程法”．列代数式的关键之一在于正确地理清各数量之间的关系．一般问题中数量间的关系是容易找到的，但当题目中所涉及的各数量之间的关系不容易理清时，可借助方程的思想来帮助分析．
【例4】 用代数式表示：
(1)a，b两数和的2倍与a，b两数积的差；
(2)a，b两数和的平方与a，b两数平方差的商；
(3)a，b两数和的倒数与它们的积的差的平方．
分析：第(1)题先求a，b两数和的2倍，再求a，b两数的积，最后作差，可得结果为2(a＋b)－ab；第(2)题先求a，b两数和的平方，再求a，b两数的平方差，最后作商，可得结果为；第(3)题先求a，b两数和的倒数，再求a，b两数的积，接着作差，最后对差式进行平方，可得结果为2.
解：(1)2(a＋b)－ab；(2)；(3)2.
释疑点 “和的平方”与“平方和”的区别 注意“a，b两数和的平方”与“a，b两数的平方和”的区别：a，b两数和的平方，先读的是和，然后才是平方，应表示为(a＋b)2，而a，b两数的平方和，先读的是平方，然后才是和，应表示为a2＋b2.
5.正确地书写代数式
当我们正确地列出代数式之后，要对所列的代数式进行仔细的检查，看是否符合代数式的书写规范．
除了按照代数式的书写要求列代数式之外，对于能够化简的代数式要化成最简形式，包括代数式里面的数，能够运算的必须运算出最后的结果，代数式中能够运算的字母也要运算出最后的结果．
由于现在还没有学习字母的运算法则，暂时不能运算的可以不运算，但是，当我们学习过运算法则之后必须化为最简形式．
像3x＋5x这种简单式子的加减运算同学们应当根据分配律把它化简为3x＋5x＝8x.
【例5－1】 某市为了加强公民的节水意识，制定了以下用水标准：每户每月用水未超过8立方米时，每立方米收费1.00元，并加收0.20元的城市污水处理费；超过8立方米的部分每立方米收费1.50元，并加收0.40元的城市污水处理费．某户某月用水量为x立方米，问这个月水费是多少元？
分析：某户用水量为x立方米，由于不知道x的取值范围，所以要根据题意分情况讨论：(1)当x≤8时，(2)当x＞8时．
解：当x≤8时，水费为1.00x＋0.20＝(x＋0.20)(元)；
当x＞8时，水费为8×1.00＋1.50(x－8)＋0.40
＝(1.50x－3.60)(元)．
【例5－2】 通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机市话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是__________元．
解析：可设原收费标准每分钟是x元，
则由题意(x－a)×(1－20%)＝b，∴x＝a＋1.25b.
答案：(a＋1.25b)
解技巧 列代数式注意分类讨论 当题目中字母的取值范围不确定时，应当根据题目中的分段范围进行讨论．
6．列代数式的应用
(1)列代数式求阴影部分的面积
一般有三种方法
①和差法：就是不改变图形的位置，将阴影部分的面积用规则图形的和或差来表示，经过计算后可以求出阴影部分的面积．
②移动法：就是将图形的位置进行移动，以便利用和差法．具体的做法是平移、旋转、割补、等积变换等．
③覆盖法：就是几个图形覆盖在一起，重叠的部分的面积就是阴影部分的面积．
(2)探究图形排列的规律，利用代数式表示所需图形的个数
主要考查学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目的难点．
找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决此类题目的难点在于找出能够代表一般规律的代数式．
很多题目考查学生对于数字变化规律的运算猜想能力，需要学生有一定的数学思想．可以先写出前几项，然后根据前几项的数字特点，猜想其规律，然后进行验证．
【例6－1】 如图所示，求图中阴影部分的面积．
分析：阴影部分的面积等于长方形的面积减去空白部分的面积，即(1)长方形的面积减去小长方形的面积；(2)长方形的面积减去四个正方形的面积；(3)长方形的面积减去两个长方形的面积再加上一个长方形的面积；(4)长方形的面积减去两个圆的面积，即a(a＋b)－a2－b2.
解：(1)mn－pq；(2)ab－4x2；(3)ab－an－bm＋mn；
(4)a2－b2＋ab.
解技巧 不规则图形面积的求法 本题主要考查利用规则图形的面积差求阴影部分的面积．此类题目的关键是能找到长方形的长和宽，以及扇形的半径及圆心角．
【例6－2】 探索规律
(1)按图示规律填写下表：
图形编号
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
棋子个数
(2)按这种方式，摆第n个正方形需要多少棋子？
分析：根据图中的规律求解．后面的图总比前面相邻的多4个点，所以摆第n个正方形需要4n个棋子．
解：(1)∵后面的图总比前面相邻的多4个点，
∴依次为4；8；12；16；20；24.
(2)按这种方式，摆第n个正方形需要4n个棋子．
微信/支付宝扫码支付