2.14 近似数
1．准确数和近似数的意义
(1)准确数：与实际完全符合的数叫做准确数．
例如某校初中部有38个教学班，其中七年级有13个班，每班均有50人．这里的38,13,50都是准确的．
(2)近似数：与实际接近的数叫近似数．
近似数主要是从计算和度量中产生出来的，主要包括以下几种：
①在计算时，有时只能得到近似数．如10÷3得近似商3.33；
②在度量时，由于受测量工具和测量技术的局限性影响，一般只能得到近似数．如现有最小刻度分别是厘米、毫米的尺子各一把，用它们分别测量同一个人的身高就会得到不完全相同的结果；
③在计算和测量中有时并不需要很准确的数，只需要一个近似数即可．如地球的表面积为5.1亿平方千米，某市有50万人等，这里的5.1亿，50万都是近似数．
(3)近似数识别的方法：
①语句中带有“约”“左右”等词语，里面出现的数据都是近似数．
如：“某城市约有100万人口”、“这篇文章有2 000字左右”，这两个语句中的100万和2 000都是近似数．
②诸如“温度”“身高”“体重”“长度”等这些词语用数据来描述时，这些数都是近似数．
如：“现在的气温是－2 ℃”，“小明的体重是55千克”这两个语句中的－2和55都是近似数．
谈重点 近似数的取值范围 近似数M的近似值是m(整数)，则M的取值范围：m－0.5≤M＜m＋0.5.
【例1】 下列各题中的数据，哪些是准确数？哪些是近似数？
(1)某字典共有1 234页；
(2)我们班级有97人，买门票大约需要800元；
(3)小红测得数学书的长度是21.0厘米．
分析：(1)字典的页数是不需要估计或测量的，有多少页是固定的，所以1 234是一个准确数；(2)一个班级的人数是不需要估计的，而是确定的，所以97是一个准确数，买门票大约需要800元是一个估计值，所以800是一个近似数；(3)测量的结果都是近似的，所以21.0是一个近似数．
解：(1)1 234是准确数；(2)97是准确数，800是近似数；(3)21.0是近似数．
2．近似数精确到哪一位
(1)近似数的精确数位
四舍五入法：对要精确的数精确到数位后的一位数字，采用满五进一，不足五舍去的办法，所求出的近似数．
一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，我们就说这个数精确到哪一位．
如一个近似数M精确到十分位后的近似值是3.3，那么这个近似数M的取值范围是：3.25≤M＜3.35.具体的做法是一个近似数要求精确到哪一位，只要从它的下一位四舍五入即可，按要求求近似数不能连续从末位向前四舍五入．
如将数3.024 6四舍五入到百分位，应从4开始四舍五入得3.02，而不是从6开始得3.03.
(2)近似数的表示方法
若一个近似数M的值是3.56，则它可记作M≈3.56，这里的“≈”应读作“近似于”或“约等于”，但绝不能读作“近似”，特别地，近似数小数点后的0不能随便省掉，以便区别其精确度．
如1.302表示这个数精确到0.001，即精确到千分位；而1.302 0表示这个数精确到0.000 1，即精确到万分位．
【例2】 用四舍五入法，按括号中的要求对下列各数取近似数．
(1)0.030 49(精确到0.001)；
(2)199.5(精确到个位)；
(3)48.396(精确到百分位)；
(4)67 294(精确到万位)．
分析：四舍五入法是指把要求确定到某一位的后一位数四舍五入，大于或等于5的就进一位，小于5就舍去．(1)精确到0.001，即精确到千分位，由于万分位上的数是4，故这位及后面的9全部舍去，所以0.030 49≈0.030.(2)精确到个位，由于十分位上的数是5，故应向个位进1，所以199.5≈200.(3)精确到百分位，由于千分位上的数是6，故应向百分位进1，所以48.396≈48.40.(4)精确到万位，由于千位上的数是7，故应向万位进1，所以67 294≈70 000，为了不让人误以为70 000精确到个位，所以结果应写成7×104，或7万．
解：(1)0.030 49≈0.030；
(2)199.5≈200；
(3)48.396≈48.40；
(4)67 294≈7×104.
警误区 取近似数需要注意的问题 近似数的舍入，只考虑紧挨着这一数位后面的第一个数字，且近似数小数点后末位数是0时千万不能省掉．
3．精确度的确定
一个近似数四舍五入到哪一位，我们就说这位数精确到哪一位．
①普通数直接判断；
②科学记数法形式(形如a×10n)．这类数先还原成普通数，再看a最右边的数字处在什么数位上，处在什么数位上就是精确到什么数位．
③带有“文字单位”的近似数，在确定它的精确度时，分两种情况：当“文字单位”前面的数是整数时，则近似数精确到“文字单位”；当“文字单位”前面的数是小数时，则先将近似数还原成原来的数，再看最右边的数字的位置．
【例3－1】 12.30万精确到( )．
A．千位 B．百分位
C．万位 D．百位
解析：12.30万还原成原来的数是123 000，所以精确到的数位是百位，故选D.
答案：D
【例3－2】 由四舍五入法得到的近似数3.20×105，下列说法中正确的是( )．
A．精确到百位 B．精确到个位
C．精确到万位 D．精确到千位
解析：用科学记数法表示的近似数3.20×105，精确度的确定，要把用科学记数法表示的数还原成原数，即3.20×105＝320 000，所以精确到千位．故选D.
答案：D
解技巧 较大的数精确数位的确定方法 较大的数取近似值时，常用×万，×亿等等来表示，而它精确到的位数不一定是“万”或“亿”．对于不熟练的学生，应当写出原数之后再判断精确到哪一位，例如9.03万＝90 300，因为“3”在百位上，所以9.03万精确到百位．
4.求近似数的范围
求近似数的取值范围时，只要把原近似数加上(减去)精确到的最后一个数位的半个单位即可得到近似数的取值范围．
如果一个数x的近似数为a，那么x可能取值的范围是：a－M≤x＜a＋M，其中M为原近似数精确到的最后一个数位的半个单位．
如近似数1.20所表示的准确数x的取值范围是1.20－0.005≤x＜1.20＋0.005，即1.195≤x＜1.205；
又如近似数4.7×103所表示的准确数x的取值范围是4 700－50≤x＜4 700＋50，即4 650≤x＜4 750.
【例4】 若k的近似值为4.3，求k的取值范围．
分析：一个数的近似值为4.3，表明这个近似值是精确到十分位的近似数．十分位上的数字3是由下一位即百分位上的数字四舍五入得到的，如果百分位上的数字是0,1,2,3,4中的任意一个，根据四舍五入取近似值的方法，应该把百分位上的数字舍去，那么就要求k的十分位上的数字必须是3，才能保证近似数是4.3.若k的百分位上的数字是5,6,7,8,9中的任意一个，根据四舍五入取近似值的方法，应该把百分位上的数字去掉后，在十分位的数字上加1，那么就要求k的十分位上的数字必须是2，才能得到近似数4.3.综上所述，k只能取大于或等于4.25且小于4.35之间的数，才能保证得到精确到0.1的近似值是4.3.
解：∵4.3－0.05≤k＜4.3＋0.05，
∴4.25≤k＜4.35.
5．在实际问题中取近似数的方法
取近似数的方法一般用四舍五入法，另外在特殊情况下还可以用去尾法和进一法．
(1)在大量的数学问题中，都会遇到近似数的问题．使用近似数，就有一个近似程度的问题，也就是精确度的问题，一般用四舍五入法取值，对四舍五入要有深入理解；
(2)有时候一些近似值并不一定都是按照四舍五入法得到的．
如100名学生，用30座客车运送，需要100÷30＝3.333……≈4次才能运完．这里用的就不是四舍五入法，而是进一法．
再如用100元钱去买单价为30元的书包，能买100÷30＝3.333……≈3个书包，这里用的也不是四舍五入法，而是去尾法．
总之，取近似数的方法主要有三种：四舍五入法、进一法和去尾法．
【例5－1】 全班51人参加100米跑测验，每6人一组，问至少要分几组？
分析：由于51÷6＝8(组)……3(人)，即分成8组后还剩下3人，所以采用进一法，分成9组．
解：51÷6＝8(组)……3(人),8＋1＝9(组)，
所以至少要分9组．
【例5－2】 一辆汽车要装4只轮胎，50只轮胎能装配几辆汽车？
分析：由于50÷4＝12(辆)……2(只)，即装配12辆汽车后还剩下2只轮胎，所以采用去尾法，能装配12辆汽车．
解：50÷4＝12(辆)……2(只)，
所以能装配12辆汽车．
【例5－3】 一根方便筷子的长、宽、高大约为20 cm，0.5 cm，0.4 cm，估计1 000万双方便筷子要用多少木材？这些木材要砍伐半径为0.1米、高10米(除掉不可用的树梢)的大树多少棵？(保留2个有效数字)
分析：长方体的体积公式V＝abc，圆柱的体积公式V＝πr2h.
解：一双筷子的体积为2×0.4×0.5×20≈8(cm3)，1 000万双筷子的体积为1 000×10 000×8＝8×107(cm3)＝80(m3)，一棵大树的体积为π×0.12×10≈0.314(m3)，1 000万双筷子要砍伐大树棵数为80÷0.314≈255(棵)．
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