2.2 整式加减
1．合并同类项
(1)同类项的概念
所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项．常数项与常数项是同类项．如－2ab2与3ab2是同类项，5与－8是同类项．
(2)同类项的辨析
①判断两个项是不是同类项，要确保“两个相同”：一是所含字母相同；二是相同字母的次数也分别相同，二者缺一不可．
②判断两个项是不是同类项，要明确“两个无关”：一是同类项与各项的系数的大小无关；二是同类项与各项所含字母的排列顺序无关．例如：2a2b3与－3b3a2是同类项；而2a2b3与5a3b2却不是同类项，因为相同的字母的次数不同．
③特别地，所有的常数项都是同类项，一个项的同类项有无数个，每个项本身也是它的同类项．
(3)合并同类项的概念
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
(4)合并同类项的法则
同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的次数不变．例如：4ab2－ab－6ab2＝4ab2－6ab2－ab＝(4－6)ab2－ab＝－2ab2－ab.
注意：①合并同类项之前要先判断出哪些项是同类项，当项数很多时，我们通常在同类项下面作上相同的标记．如x3－x2y＋xy2＋x2y－xy2＋y2，这样合并时就一目了然了．②合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的次数不变，不能将字母的次数相加；法则可简单概括为“一相加”、“两不变”，即系数相加、字母和字母的次数不变．③合并同类项的依据是加法交换律、结合律及乘法分配律．④两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0；系数相加时要带上符号；系数相加得0时，结果为0.
析规律 合并同类项的口诀
合并同类项，法则不能忘，只求系数和，字母次数不变样．
【例1－1】 下列合并同类项正确的是( )．
A．3x＋2x＝5x2 B．7a2－5a2＝2
C．3x2＋4x2＝7x4 D．8a2b－8ba2＝0
解析：A错误，应为3x＋2x＝5x；B错误，应为7a2－5a2＝2a2；C错误，应为3x2＋4x2＝7x2；D正确，合并同类项仅仅是系数相加(合并)，字母和字母的次数不变，再者不能违背运算法则把字母及次数漏掉了．
答案：D
【例1－2】 判断下列各组是不是同类项：
(1)0.2x2y与0.2xy2；
(2)4abc与4ac；
(3)－(a＋b)3与2(a＋b)3；
(4)－105与15；
(5)4与a；
(6)－5m3n2与4n2m3.
分析：根据同类项的定义判断．同类项所含字母相同，并且相同字母的次数也相同．二者缺一不可，与其系数无关，与其字母顺序无关．第(1)题相同字母的次数不同；第(2)题所含字母不同；第(3)题将(a＋b)看作一个整体，次数也相同，所以是同类项；第(4)题两个常数项是同类项；第(5)题所含字母不同；第(6)题相同字母的次数相同，所以是同类项．
解：(3)(4)(6)是同类项；(1)(2)(5)不是同类项．
2.去括号、添括号
(1)去括号法则
①如果括号前面是“＋”号，去括号时括号内的各项都不改变符号．如：＋(a＋b－c)＝a＋b－c.
②如果括号前面是“－”号，去括号时括号内的各项都改变符号．如：－(a＋b－c)＝－a－b＋c.
(2)添括号法则
①所添括号前面是“＋”号，括到括号内的各项都不改变符号．如：a＋b－c＝a＋(b－c)，a－b－c＝a＋(－b－c)．
②所添括号前面是“－”号，括到括号内的各项都改变符号．
如：a＋b－c＝a－(－b＋c)，a－b－c＝a－(b＋c)．
(3)对法则的理解
①可把去括号看成是乘法对加法的分配律的特例．
②去括号时若括号前面有数字因数，常先把数字因数与括号内各项相乘，然后再去括号，注意不要漏乘括号内的常数项．
③有多重括号时，一般按从小括号到大括号的顺序进行．
④不论是去括号还是添括号，如果括号前面是负号，都要改变括号内各项的符号．
⑤去括号和添括号都是改变了式子的形式，不改变原式的值．
⑥去括号和添括号是两种相反的过程，可以互相检验正误．
【例2－1】 先去括号，再合并同类项：x－y－(x＋y)．
分析：括号前面是负号，去括号时，括号内的各项都变号，所以－(x＋y)＝－x－y.在去括号时，不要忽略了括号前面的负号，导致错误结果．
解：原式＝x－y－x－y＝－2y.
【例2－2】 按下列要求，把多项式3x3－5x2－3x＋4添括号：
(1)把多项式后三项括起来，括号前面带有“＋”号；
(2)把多项式的前两项括起来，括号前面带有“－”号；
(3)把多项式后三项括起来，括号前面带有“－”号；
(4)把多项式中间的两项括起来，括号前面带有“－”号．
分析：(1)题把后三项括起来，即把－5x2，－3x，＋4括起来，括号前面带有“＋”号，因此把－5x2，－3x，＋4括到括号内时不变号；(2)题要求把多项式的前两项括起来，即把3x3，－5x2括起来，括号前面带有“－”号，把3x3，－5x2括到括号内时都要变号．(3)题、(4)题可进行类似地分析．
解：(1)3x3－5x2－3x＋4＝3x3＋(－5x2－3x＋4)；
(2)3x3－5x2－3x＋4＝－(－3x3＋5x2)－3x＋4；
(3)3x3－5x2－3x＋4＝3x3－(5x2＋3x－4)；
(4)3x3－5x2－3x＋4＝3x3－(5x2＋3x)＋4.
3．整式加减
(1)多项式的升幂排列、降幂排列
①多项式的升幂排列
多项式按某个字母的次数从小到大依次排列，这种排列叫做关于这个字母的升幂排列．如多项式－1＋3x＋5x2－2x3就是按字母x的升幂排列．
②多项式的降幂排列
多项式按某个字母的次数从大到小依次排列，这种排列叫做关于这个字母的降幂排列．如多项式－2x3＋5x2＋3x－1就是按字母x的降幂排列．
(2)对多项式的升幂排列、降幂排列的理解
①升幂(或降幂)排列只针对某一字母的次数，而不是单项式的次数．
②升幂(或降幂)排列后的常数项放在最前(或最后)．
③多项式的升幂(或降幂)排列就是根据加法交换律按某一字母的升幂(或降幂)将各项交换位置，这种排列只是使式子变形而不改变多项式的值．
④变更项的位置时，不要漏掉项的符号，尤其是“－”号．原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上．
⑤含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂(或降幂)排列．例如：多项式xy2－x4－y4－3x2y3－2x3y按x的升幂排列为－y4＋xy2－3x2y3－2x3y－x4；按y
的升幂排列为－x4－2x3y＋xy2－3x2y3－y4.
(3)整式加减
①整式加减实质上就是去括号、合并同类项．
②几个整式相加减，如果有括号，那么先去括号；如果有同类项，再合并同类项．
③注意事项：
(ⅰ)几个整式相减，第一个整式作为被减式出现可以不加括号，但其余的减式一定要加括号．
(ⅱ)整式加减的结果是单项式或者是没有同类项的多项式．
【例3－1】 把多项式6＋2x4－x2＋7x3按x的降幂排列．
分析：将多项式按x的降幂排列就是根据加法交换律按x的指数由大到小将各项交换位置，各项的符号都不改变．这种排列只是使式子变形而不改变多项式的值．
解：6＋2x4－x2＋7x3＝2x4＋7x3－x2＋6.
【例3－2】 求多项式－x3－2x2＋3x－1与－2x2＋3x－2的差．
分析：多项式相减，减数必须加括号，因为多项式是一个整体．
解：(－x3－2x2＋3x－1)－(－2x2＋3x－2)
＝－x3－2x2＋3x－1＋2x2－3x＋2
＝－x3＋1.
4．整式加减的类型
整式加减的实质虽然是去括号和合并同类项的综合应用，但有关的题型却丰富多彩，常见的题型有：
(1)求几个单项式的和
(2)求几个多项式的和或差
求几个多项式的和或差，首先用括号把每一个多项式括起来，并用加号或减号连接，然后按照去括号、合并同类项的法则进行计算．注意：求两个多项式的差，后面的多项式是减式，一定要加括号．
(3)求用字母表示的整式加减
求用字母表示的整式加减，有需要化简的首先将其化简，然后再将字母表示的多项式整体代换列式，再去括号、合并同类项．
(4)利用分配律的整式加减
在整式加减中，如果括号前面有乘数，那么首先利用分配律去括号，然后再合并同类项．
必须注意：①不能漏乘；
②如果乘数的前面是负号，去括号后原来的各项要改变符号．
(5)含有多重括号的整式加减
整式加减算式中含有多重括号，一般是先去小括号，这时如果有同类项，那么应合并同类项，这样可简化计算；然后再去中括号，最后去大括号．
谈重点 整式加减运算的结果的书写形式的要求
(1)结果一般按照某个字母的降幂或升幂排列．
(2)每一项的数字系数写在字母前面．
(3)系数是带分数，带分数要化成假分数．
(4)结果中一般不再有括号．
【例4－1】 求单项式5x2y,2xy2，－2x2y，－6xy2的和．
分析：先将所有单项式用加号连接，写成和的形式；然后去括号，再合并同类项．
解：5x2y＋2xy2＋(－2x2y)＋(－6xy2)
＝5x2y＋2xy2－2x2y－6xy2＝3x2y－4xy2.
【例4－2】 求多项式－8a2b＋3ab2与多项式－2a2b＋5ab2的差．
分析：求两个多项式的差，应把两个多项式各视为一个整体，用减号将两个多项式连接起来，再进行整式加减．
解：(－8a2b＋3ab2)－(－2a2b＋5ab2)
＝－8a2b＋3ab2＋2a2b－5ab2＝－6a2b－2ab2.
【例4－3】 已知A＝－3x3＋2x2－1，B＝x3－2x2－x＋4.求2A－(A－B)．
分析：首先将用字母表示的整式化简，然后再将字母表示的多项式代入，再去括号、合并同类项．
解：2A－(A－B)＝2A－A＋B＝A＋B
＝(－3x3＋2x2－1)＋(x3－2x2－x＋4)
＝－3x3＋2x2－1＋x3－2x2－x＋4＝－2x3－x＋3.
【例4－4】 化简(3a2b－13b2)－3(a2b＋2b2)．
分析：括号前面有数字因数，应先把数字因数与括号内各项相乘，然后再去括号，即－3(a2b＋2b2)＝－(3a2b＋6b2)＝－3a2b－6b2.本题易错点是应用乘法对加法的分配律时，2b2这一项漏乘了－3.本题也可将括号外的“－3”看成一个整体，利用乘法对加法的分配律一次性去括号，即－3(a2b＋2b2)＝－3a2b－6b2.
解：(3a2b－13b2)－3(a2b＋2b2)＝3a2b－13b2－3a2b－6b2＝－19b2.
【例4－5】 计算：2x2－{－4x2－[2x2－(－x2－3x)＋(x－6x2)]}．
分析：算式中如果含有多重括号，一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号．
解：2x2－{－4x2－[2x2－(－x2－3x)＋(x－6x2)]}
＝2x2－[－4x2－(2x2＋x2＋3x＋x－6x2)]
＝2x2－[－4x2－(－3x2＋4x)]
＝2x2－(－4x2＋3x2－4x)
＝2x2－(－x2－4x)
＝2x2＋x2＋4x
＝3x2＋4x.
5.代数式的化简求值
已知代数式和代数式中字母的取值，求代数式的值，一般不要直接将字母的取值代入代数式，而应该先将代数式进行化简，然后再代入求值(有时往往要用到整体思想)．若直接代入，解题繁琐，不可取，请同学们注意．
含多层括号的整式加减实质上就是去括号、合并同类项的化简过程，化简多项式时，如果题中含有多重括号，可由里往外逐层去括号，也可由外往里逐层去括号，但是要注意内层括号看成一项来处理．
代数式化简的结果，如果是一个常数，则原代数式的取值就与字母的取值无关．
【例5－1】 先化简，再求值：
x－2＋，其中x＝－2，y＝.
解：x－2＋
＝x－2x＋y2－x＋y2
＝－3x＋y2.
当x＝－2，y＝时，原式＝－3×(－2)＋2＝6＋＝6.
点拨：代入求值时，要适当地添上括号，式子－3x＋y2中，x用－2，y用代替，－3x应是－3×(－2)，y2应是2，否则容易产生计算错误．
6．深入理解同类项以及合并同类项的意义
根据同类项的概念求整式的未知次数是一个重点题型，解决此类问题主要根据同类项的相同字母的指数相同构造关系式．注意解决本题时所体现的方程思想与分类讨论的思想．
考查方式主要有以下两种：①直接告诉两个单项式是同类项；②间接告诉两个单项式是同类项，例如告诉两个单项式的和是单项式，两个单项式能够合并为一项等．
析规律 合并同类项的顺序
只有同类项才能合并，非同类项不能合并．所以如果两个单项式能够合并为一项，则这两个单项式一定是同类项．解决此类问题时，一定要先求容易计算的单项式的次数，不容易计算的单项式的次数或者需要借助另一个未知数才能计算的单项式的次数可以放在最后计算．
【例6－1】 如果(Ax2－2xy＋y2)－(－x2＋Bxy＋2y2)＝5x2－10xy＋Cy2成立，那么A，B，C的值依次为( )．
A．4，－8，－1 B．－4，－8，－1
C．4,8，－1 D．4,8,1
解析：(Ax2－2xy＋y2)－(－x2＋Bxy＋2y2)
＝Ax2－2xy＋y2＋x2－Bxy－2y2
＝(A＋1)x2－(2＋B)xy－y2.
又因为(Ax2－2xy＋y2)－(－x2＋Bxy＋2y2)
＝5x2－10xy＋Cy2，
所以(A＋1)x2－(2＋B)xy－y2＝5x2－10xy＋Cy2.
则A＋1＝5,2＋B＝10，C＝－1，即A＝4，B＝8，C＝－1.
答案：C
【例6－2】 若a4b3与3am－1bn是同类项，－2axb|y|与3am－1bn是同类项，则x＝__________，y＝__________.
答案：4 ±3
【例6－3】 若2xm－1y2与－x2yn的和是单项式，则(－m)n＝__________.
解析：要使2xm－1y2与－x2yn的和是单项式，必须要求这两个单项式是同类项，根据同类项的意义可知“相同字母的指数分别相同”可得：m－1＝2，即m＝3.又知n＝2，所以(－m)n＝(－3)2＝9.
答案：9
7.整式加减中数学思想的应用
学习整式的加减，不仅要熟练地掌握运算法则进行整式的加减运算，而且还要了解其中蕴涵的数学思想方法．
(1)分类讨论思想
分类讨论思想就是根据问题可能存在的情况，进行分类讨论，防止出现漏解的一种数学思想方法．
(2)由特殊到一般的思想
根据“如果一个命题在一般情况下成立，那么它在特殊情况下也必定成立”的原理，这样就能取特殊值代入求值，则很容易就能求出所求的值．
(3)化归转化思想
化归转化思想就是将需要研究和解决的新问题变为已经学过的老问题来处理的一种数学思想．陌生问题熟悉化，复杂问题简单化，抽象问题具体化，就是化归转化思想的具体表现．
解决此类问题时，分层、分阶梯的分析、思考是一种很好的解题途径．
【例7－1】 若多项式2xn－1－xn＋3xm＋1是六次二项式，试求3n2＋2m－5的值．
分析：求代数式3n2＋2m－5的值，必须根据条件求出n和m的值．从表面上看所给的多项式2xn－1－xn＋3xm＋1有三项，这就说明某两项是相同的，显然2xn－1和xn不可能是一项．
解：由多项式2xn－1－xn＋3xm＋1是六次二项式，分两种情况讨论：
若－xn的次数是六次，3xm＋1的次数也是六次，
则n＝6，m＋1＝6，解得n＝6，m＝5，
所以3n2＋2m－5＝3×62＋2×5－5＝113.
若－xn的次数是六次，3xm＋1的次数是五次，
则n＝6，m＋1＝5，解得n＝6，m＝4，
所以3n2＋2m－5＝3×62＋2×4－5＝111.
【例7－2】 已知代数式x2－4x＋1的值是3，求代数式3x2－12x－1的值．
分析：若从已知条件出发先求出x的值，再代入计算，目前来说是不可能的．因此可把x2－4x看作一个整体，采用整体代入法，则问题可迎刃而解．
解：因为x2－4x＋1＝3，所以x2－4x＝2.
所以3x2－12x－1＝3(x2－4x)－1
＝3×2－1＝5.
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