第29讲 数据的分析
考纲要求
命题趋势
1．会求一组数据的平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差，能理解它们在实际问题中反映的意义，而且会运用样本估计总体的思想方法解决实际应用问题．
2．了解样本方差、总体方差的意义．会根据同类问题的两组样本数据的方差比较两组样本数据的波动情况.
中考主要考查算术平均数、加权平均数、中位数、众数、极差和方差的计算，结合实际问题来描述一组数据的集中趋势和离散程度．题型以选择题、填空题为主，还常与统计图、概率等知识进行综合考查.
知识梳理
一、平均数、众数与中位数
1．平均数
(1)平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，我们把(x1＋x2＋…＋xn)叫做这组数据的算术平均数，简称__________，记为.
(2)加权平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，x1出现f1次，x2出现f2次，x3出现f3次，…，xk出现fk次(其中f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么＝(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)叫做x1，x2，…，xk这k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1，x2，…，xk的权，f1＋f2＋f3＋…＋fk＝n.
2．众数
在一组数据中，出现次数__________的数叫做这组数据的众数(一组数据的众数有时有几个)．
3．中位数
将一组数据按__________依次排列，把处在__________的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数．
二、数据的波动
1．极差
一组数据中__________与__________的差，叫做这组数据的极差．
2．方差
在一组数据x1，x2，x3，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的__________的平均数叫做这组数据的方差，即s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
3．极差、方差和标准差都可以衡量一组数据的波动大小；方差(或标准差)越大，说明这组数据波动越大．
自主测试
1．某市2012年5月1日～10日十天的空气污染指数的数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物)：61,75,70,56,81，91,92,91,75,81.那么该组数据的极差和中位数分别是( )
A．36,78 B．36,86 C．20,78 D．20,77.3
2．“恒盛”超市购进一批大米，大米的标准包装为每袋30 kg，售货员任选6袋进行了称重检验，超过标准重量的记作“＋”，不足标准重量的记作“－”，他记录的结果是＋0.5，－0.5，0，－0.5，－0.5，＋1，那么这6袋大米重量的平均数和极差分别是( )
A．0,1.5 B．29.5,1
C．30,1.5 D．30.5,0
3．某校为了选拔学生参加我市无线电测向比赛中的装机比赛，教练对甲、乙两选手平时五次训练成绩进行统计，两选手五次训练的平均成绩均为30分钟，方差分别是s＝51、s
＝12.则甲、乙两选手成绩比较稳定的是__________．
考点一、平均数、众数、中位数
【例1】某校艺术节演出中，5位评委给某个节目打分如下：9分，9.3分，8.9分，8.7分，9.1分，则该节目的平均得分是__________分．
(2)某文具商店共有单价分别为10元、15元和20元的3种文具盒出售，该商店统计了2012年3月份这三种文具盒的销售情况，并绘制统计图如下：
文具店2012年3月份3种文具盒销售情况扇形统计图
3种文具盒销售情况条形统计图
①请把条形统计图补充完整；
②小亮认为该商店3月份这三种文具盒总的平均销售价格为(10＋15＋20)＝15元，你认为小亮的计算方法正确吗？如果不正确，请计算总的平均销售价格．
分析：(1)直接利用算术平均数的求法求；
(2)该商店3月份这三种文具盒总的平均销售价格是求加权平均数．
解：(1)9
(2)①
3种文具盒销售情况条形统计图
②不正确，平均销售价格为(10×150＋15×360＋20×90)÷(150＋360＋90)＝8 700÷600＝14.5(元)．
方法总结 平均数、众数和中位数是以不同角度反映一组数据的集中趋势．众数是一组数据中出现次数最多的，而中位数是一组数据从小到大(或从大到小)排列处于中间位置的一个数或两个数的平均数，平均数则是所有数的和与个数的商，求解时一定要明确其求法．
触类旁通1 我市某一周的最高气温统计如下表：
最高气温/℃
25
26
27
28
天数
1
1
2
3
则这组数据的中位数与众数分别是( )
A．27,28 B．27.5,28
C．28,27 D．26.5,27
考点二、极差与方差
【例2】(1)在九年级体育考试中，某校某班参加仰卧起坐测试的一组女生(每组8人)测试成绩如下(单位：次/分)：44,45,42,48,46,43,47,45.则这组数据的极差为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
(2)甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9环，方差分别是s＝0.65，s＝0.55，s＝0.50，s＝0.45，则射箭成绩最稳定的是( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解析：(1)根据极差的概念求；(2)比较四个人方差的大小．
答案：(1)C (2)D
方法总结 极差和方差都是表示该组数据的波动大小的数据，从统计的角度看，在平均成绩相同的情况下看成绩的稳定性就是比较方差的大小．
触类旁通2 一次学科测验，学生得分均为整数，满分为10分，成绩达到6分以上(包括6分)为合格，成绩达到9分为优秀．这次测验中甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图．
(1)请补充完成下面的成绩统计分析表：
平均分
方差
中位数
合格率
优秀率
甲组
6.9
2.4
91.7%
16.7%
乙组
1.3
83.3%
8.3%
(2)甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出三条支持乙组学生观点的理由．
1．(2012上海)数据5,7,5,8,6,13,5的中位数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(2012浙江台州)为了解某公司员工的年工资情况，小王随机调查了10名员工，其年工资(单位：万元)如下：3,3,3,4,5,5,6,6,8,20，下列统计量中，能合理反映该公司员工年工资中等水平的是( )
A．方差 B．众数
C．中位数 D．平均数
3．(2012湖南长沙)甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是( )
A．s＜s B．s＞s
C．s＝s D．不能确定
4．(2012浙江宁波)我市某一周每天的最高气温统计如下：27,28,29,29,30,29,28(单位：℃)，则这组数据的极差与众数分别为( )
A．2,28 B．3,29
C．2,27 D．3,28
5．(2012浙江义乌)在义乌市中小学生“人人会乐器”演奏比赛中，某班10名学生成绩统计如图所示，则这10名学生成绩的中位数是________分，众数是________分．
6．(2012四川乐山)在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查(每位同学只选一类)，下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．
条形统计图 扇形统计图
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，一共调查了__________名同学；
(2)条形统计图中，m＝__________，n＝__________；
(3)扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是__________度；
(4)学校计划购买课外读物6 000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理？
1．北京市今年6月某日部分区县的最高气温如下表：
区县
大兴
通州
平谷
顺义
怀柔
门头
沟
延庆
昌平
密云
房山
最高
气温/℃
32
32
30
32
30
32
29
32
30
32
则这10个区县该日最高气温的众数和中位数分别是( )
A．32,32 B．32,30 C．30,32 D．32,31
2．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是( )
A．平均数 B．极差 C．中位数 D．方差
3．某赛季甲、乙两名篮球运动员12场比赛得分情况如图所示：
对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是( )
A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员的得分平均数大于乙运动员的得分平均数
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
4．某居民小区开展节约用电活动，对该小区100户家庭的节电量情况进行了统计，4月份与3月份相比，节电情况如下表：
节电量/千瓦时
20
30
40
50
户数
10
40
30
20
则4月份这100户节电量的平均数、中位数、众数分别是( )
A．35,35,30 B．25,30,20 C．36,35,30 D．36,30,30
5．一个样本为1,3,2,2，a，b，c.已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为__________．
6．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为s＝3.6，s＝15.8，则______种小麦的长势比较整齐．
7．某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、丙三人，投票结果统计如图(1)所示：
(1) (2)
其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，各项成绩如下表所示：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
92
90
95
面试
85
95
80
图(2)是某同学根据上表绘制的一个不完整的条形图．
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)补全图；
(2)请计算每名候选人的得票数；
(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2:5:3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？
参考答案
导学必备知识
自主测试
1．A 2．C 3．乙
探究考点方法
触类旁通1．A 由统计表可知，温度为25 ℃有1天，温度为26 ℃有1天，温度为27 ℃有2天，温度为28 ℃有3天．
触类旁通2．分析：评价成绩的好坏，不能只看某一方面，应多方面考虑．
解：(1)甲组：中位数7；乙组：平均分7，中位数7；
(2)(答案不唯一)①乙组学生的平均分高于甲组学生的平均分；②乙组学生的方差低于甲组学生的方差；③乙组学生成绩不低于7分的人数比甲组多．
品鉴经典考题
1．B 因为这组数据从小到大排列为5,5,5,6,7,8,13，第四个数6为中位数．
2．C 因为中位数前面和后面的数据个数相同，所以能合理反映该公司员工年工资中等水平．
3．A 根据方差的意义知，射击成绩比较稳定，则方差较小．
∵甲的成绩比乙的成绩稳定，∴有s＜s.故选A.
4．B 因为这组数中，最大的数是30，最小的数是27，
所以极差为30－27＝3.
29出现了3次，出现的次数最多，
所以众数是29.
5．90 90 因为观察折线图可知：成绩为90的最多，所以众数为90；
这组学生共10人，中位数是第5,6名的平均分，
读图可知第5,6名的成绩都为90，故中位数为90.
6．解：(1)200 根据条形图得出文学类人数为70，利用扇形图得出文学类所占百分比为35%，故本次调查中，一共调查了70÷35%＝200(人)．
(2)40 60 根据科普类所占百分比为30%，
则科普类人数为：n＝200×30%＝60，
m＝200－70－30－60＝40，
故m＝40，n＝60.
(3)72 艺术类读物所在扇形的圆心角是×360°＝72°.
(4)由题意，得6 000×＝900(册)．
答：学校购买其他类读物900册比较合理．
研习预测试题
1．A 2．C 3．D 4．C
5． ∵这个样本的众数为3，
∴a，b，c中至少有两个为3，设a＝b＝3，
∴＝2，∴c＝0.
∴s2＝×[(1－2)2＋(3－2)2＋(2－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2＋(3－2)2＋(0－2)2]＝.
6．甲
7．解：(1)
(2)甲的票数：200×34%＝68(票)，乙的票数：200×30%＝60(票)，丙的票数：200×28%＝56(票)．
(3)甲的平均成绩：1＝＝85.1，
乙的平均成绩：2＝＝85.5，
丙的平均成绩：3＝＝82.7.
∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙．
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