3.3 整式
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3.3整式例题与讲解(2013-2014学年华师大七年级上).doc

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资料简介
‎3.3 整式 ‎1.单项式 ‎(1)单项式的概念 像‎10a,‎0.8m,mn,‎2a2等,都是数与字母的积,这样的代数式叫单项式.单独一个字母或单独一个数字也是单项式.理解单项式的概念应注意以下几点:‎ ‎①单项式定义中的“都是”是指代数式中所含有的运算都是数与字母的乘积运算(包括乘方),如2x+y就不是单项式,因为这个代数式中含有的运算不都是数与字母的乘积,还包括加法运算;‎ ‎②定义中的“积”是对数字与字母而言,代数式中只能含有乘法或乘方运算,不能含有乘法和乘方以外的其他运算.如‎3a+b,x+y2,都不是单项式,因为它们含有乘法和乘方以外的其他运算;‎ ‎③定义中的“数”可以是任意形式的具体的数,可以是分数、小数或整数.如0.5ab,-xy,等都是单项式;‎ ‎④注意单独一个数或单独一个字母也是单项式.如b,-0.6,等都是单项式.‎ ‎(2)单项式的系数 单项式的系数是指单项式中的数字因数.对于单项式的系数应从以下几个方面理解:‎ ‎①系数是单项式中所有数字因数的积,可以是整数,也可以是分数.如,-的系数是-,而不是-3或-;的系数是,而不是1;的系数是,而不是或;‎ ‎②单项式的系数有正有负,确定一个单项式的系数,要注意包括它前面的性质符号.如,-3x2y2的系数是-3,而不是3;‎ ‎③看上去只含有字母因式的单项式,其系数是1或-1,1往往省略不写,但不能认为系数是0.如,-xy2的系数是-1;xy3的系数是1.‎ ‎(3)单项式的次数 一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.理解单项式的次数应注意以下几点.‎ ‎①计算单项式的次数时,应注意是所有字母指数的和,不要漏掉字母指数是1的指数.如,单项式2x3y2z的次数是字母x,y,z的指数的和,即3+2+1=6,而不是3+2=5,应注意z的指数是1,而不是0;‎ ‎②单项式是单独一个字母时,它的指数是1,如,b的次数是1;单项式是单独一个常数时,它的指数看成0,如,5的次数是0;‎ ‎③单项式的次数只和字母的指数有关,与系数的指数无关.如,单项式-34x2y2z3的次数是2+2+3=7,而不是4+2+2+3=11.‎ 谈重点 单项式的标志 ①是代数式;②不含加减运算;③若含有分母,分母中不含字母.‎ ‎【例1】 下列结论正确的是(  ).‎ A.没有加减运算的代数式叫单项式 B.单项式a的指数是0,系数是0‎ C.2ab=4是单项式 D.-1是单项式 解析:A错,要判断一个代数式是不是单项式,不能只看有没有加减运算,还要注意分母中不能含有字母.如是单项式,而就不是单项式;B错,单项式a的系数和指数都是1,只是省略了没有写上;C错,因为2ab=4不是代数式,而是等式,因而2ab=4不是单项式;D正确,根据单项式的概念,单独的一个字母或数字也是单项式.‎ 答案:D ‎2.多项式 ‎(1)多项式的概念 几个单项式的和叫做多项式.如3x-6,,‎2a2b-8ab3+b2+3都是多项式.‎ ‎(2)多项式中的项 在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中,不含字母的项叫做常数项.说明多项式的项时,必须包括它前面的符号.‎ 就多项式3x-6而言,它的项是3x与-6,常数项是-6(不要写成6);‎ 就多项式而言,它的项是与;‎ 就多项式‎2a2b-8ab3+b2+3而言,它的项是‎2a2b,-8ab3,b2,3.‎ ‎(3)多项式的次数 一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.一个多项式的次数是几,项数是几,就称为几次几项式.‎ 如3x-6是一次二项式,因为3x项的次数最高,是1;是一次二项式,因为项或项的次数最高,是1;‎2a2b-8ab3+b2+3是四次四项式,因为-8ab3项的次数最高,为4.‎ ‎(4)整式 ‎①单项式和多项式统称为整式.事实上,单项式是不含加减运算的整式,多项式是含加减运算的整式.‎ ‎②整式的判别 判别一个代数式是不是整式,应考虑这个代数式是不是单项式,或者是不是多项式.如果它既不是单项式又不是多项式,那么一定不是整式.‎ ‎③单项式、多项式、整式三者之间的关系可用图表示如下.‎ ‎【例2】 多项式-26x2y-3x8+x2y2+25最高次项的系数是__________,它是__________次__________项式.‎ 解析:本题中的多项式共有四项,分别是-26x2y,-3x8,x2y2,25,其中最高次项为-3x8(次数为8),多项式的系数是由最高次单项式决定的,故本题中的最高次项的系数是-3,是一个八次四项式.‎ 答案:-3 八 四 解技巧 确定多项式的项和次数需注意的问题 (1)找多项式中的项时,应把项前的符号看成性质符号;(2)多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数,所以要确定多项式的次数要有一个分析比较的过程.‎ ‎3.升幂排列与降幂排列 众所周知,书写一个多项式总得讲究一个顺序,这不仅有利于读与写,更重要的有利于今后进行多项式的运算.这种书写的顺序就是我们整式中研究的多项式的升幂(降幂)排列,即将一个多项式按照某一个字母的指数从小到大(或从大到小)的顺序排列,就叫做对这个多项式按照这个字母的升幂(降幂)排列.如,把多项式a2b-‎2a3b2+‎3a4b3-ab+1按a的降幂排列为‎3a4b3-‎2a3b2+a2b-ab+1;把多项式a3-b3-‎4a2b+3ab2按b的升幂排列为a3-‎ ‎4a‎2b+3ab2-b3.‎ 由此,正确地进行多项式的降幂(升幂)排列必须明确三点:一是对于一个多项式的多个字母必须选定其中的一个字母;二是认定这个字母的指数大小顺序;三是在改变多项式中的单项式的位置时,一定要连同这个单项式前面的系数和符号,特别是负号.‎ 谈重点 升幂(或降幂)排列都是针对同一字母 升幂排列或降幂排列都是针对于某一字母来讲的,其理论依据是加法的交换律.‎ ‎【例3】 把多项式x5-y5+4x4y-15x3y2-8x2y3重新排列:‎ ‎(1)按y的降幂排列;(2)按y的升幂排列.‎ 分析:分3步思考:①这个多项式共有五项,各项分别是x5,-y5,+4x4y,-15x3y2,-8x2y3(特别要注意每一项都包括它前面的符号);②每一项中字母y的指数分别是0,5,1,2,3(注意:x5不含y,它是y的0次项);③按照要求排列(在交换加数位置时每一项都包括它前面的符号).‎ 解:(1)-y5-8x2y3-15x3y2+4x4y+x5;‎ ‎(2)x5+4x4y-15x3y2-8x2y3-y5.‎ 释疑点 对多项式升幂(或降幂)排列需注意的问题 (1)通过重新排列多项式,使多项式整齐、美观,也加深我们对项的特征的正确理解,移动某一项时,必须包括该项的系数,特别是符号,否则重新排列后的多项式与原来的多项式不等值;(2)在排列时,这个字母的指数,依次递增或递减时,可能有的项不存在,即缺少某些项,凡缺少的项的系数一定是0,反之,若使某项不存在,只要这项的系数等于0即可.‎ ‎4.单项式系数和次数的确定 判断一个代数式是否是单项式,关键是看式子中的数与字母,字母与字母之间是否只有乘法运算和乘方运算,如果含加、减运算,那它就不是单项式;此外,有分母的分母中不能含有字母.‎ 单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.‎ 单项式的系数:单项式中的数字因数.‎ 求单项式的系数和次数时,要注意:‎ ‎(1)圆周率是常数,所以在求单项式的系数时,不要漏掉π;‎ ‎(2)当单项式的系数是1,-1时通常不写,如ab2,-ax2等;‎ ‎(3)单项式的系数是带分数时,通常写成假分数,如2x2写成x2;‎ ‎(4)单项式的系数包括它前面的符号.‎ ‎【例4-1】 找出下列代数式中的单项式,并指出它的系数和次数.‎ ‎(1); ‎ ‎(2)πr2;‎ ‎(3)-a2bc;‎ ‎(4);‎ ‎(5)-a;‎ ‎(6)1.25×103x2y;‎ ‎(7)-;‎ ‎(8)1.‎ 分析:本题考查了单项式的系数和次数的概念,根据概念解答即可.‎ 解:单项式有(2),(3),(5),(6),(7),(8);系数分别是π,-,-1,1.25×103,-,1;次数分别是2,4,1,3,5,0.‎ ‎【例4-2】 如果(a-3)mb+1n是关于m,n的一个四次单项式,则a=__________,b=__________.‎ 解析:分两步思考:(1)由题意,a-3是这个单项式的系数,如果a-3=0,则整个单项式为0,就不是四次单项式了,所以a≠3;(2)根据单项式的次数的概念,有1+(b+1)=4,求b即可.‎ 答案:不等于3的数 2‎ ‎5.多项式项数和次数的确定 几个单项式的和叫做多项式,多项式里要含有加减运算,而且多项式必须符合整式的标准,即分母里面不含有字母.‎ 一个多项式中,次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数.‎ 判断一个多项式的次数,必须逐一计算多项式中各项的次数,再从中找出最高的次数作为多项式的次数.‎ 多项式的项数是多项式中单项式的个数,带有分母的多项式的项数一般看分子有几项就是几项式.例如多项式,它的分子有3项,次数最高项的次数是1,所以就是一个一次三项式.‎ ‎【例5-1】 指出下列代数式中的多项式,并说明是几次几项式.‎ ‎(1)abc;(2)x+y;(3)3x2+4x-2;(4)a2-ab+b2;(5);(6)a+2b-2ab.‎ 分析:多项式的识别关键:至少由两个或两个以上单项式的和构成,即从表面上看要含有“+”号或“-”号,另外要求每一项均是单项式.‎ 解:多项式有(2),(3),(4),(5),(6);它们分别是一次二项式,二次三项式,二次三项式,四次二项式,二次三项式.‎ ‎【例5-2】 已知多项式-2x‎2a+1y2-x3y3+是7次多项式,则a=__________.‎ 解析:多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数,本题中,第二项和第三项的次数分别是6和5,因而只能考虑第一项的次数是7,从而有‎2a+1+2=7,求a即可.‎ 答案:2‎ ‎6.按规律排列单项式 解决这类规律排列题时必须认真观察、分析、猜想,因为不同的单项式它们的系数以及字母的指数会有所不同,所以解决规律题,就要从单项式的系数和单项式所含字母的指数两方面来分析.‎ 解题时,一方面要分析系数的规律;另一方面要分析字母指数的规律.‎ ‎【例6】 观察下列单项式:0,3x2,8x3,15x4,24x5,…,按此规律写出第13个单项式.‎ 分析:观察每个单项式中x的指数与单项式的系数可进行如下的变形:0=(12-1)x;3x2=(22-1)x2;8x3=(32-1)x3;15x4=(42-1)x4;24x5=(52-1)x5;…,所以第13个单项式应为(132-1)x13(指数与单项式的序号相同).‎ 解:(132-1)x13=168x13,‎ 所以,第13个单项式是168x13.‎

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