3.3 整式
1．单项式
(1)单项式的概念
像10a,0.8m，mn,2a2等，都是数与字母的积，这样的代数式叫单项式．单独一个字母或单独一个数字也是单项式．理解单项式的概念应注意以下几点：
①单项式定义中的“都是”是指代数式中所含有的运算都是数与字母的乘积运算(包括乘方)，如2x＋y就不是单项式，因为这个代数式中含有的运算不都是数与字母的乘积，还包括加法运算；
②定义中的“积”是对数字与字母而言，代数式中只能含有乘法或乘方运算，不能含有乘法和乘方以外的其他运算．如3a＋b，x＋y2，都不是单项式，因为它们含有乘法和乘方以外的其他运算；
③定义中的“数”可以是任意形式的具体的数，可以是分数、小数或整数．如0.5ab，－xy，等都是单项式；
④注意单独一个数或单独一个字母也是单项式．如b，－0.6，等都是单项式．
(2)单项式的系数
单项式的系数是指单项式中的数字因数．对于单项式的系数应从以下几个方面理解：
①系数是单项式中所有数字因数的积，可以是整数，也可以是分数．如，－的系数是－，而不是－3或－；的系数是，而不是1；的系数是，而不是或；
②单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包括它前面的性质符号．如，－3x2y2的系数是－3，而不是3；
③看上去只含有字母因式的单项式，其系数是1或－1,1往往省略不写，但不能认为系数是0.如，－xy2的系数是－1；xy3的系数是1.
(3)单项式的次数
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．理解单项式的次数应注意以下几点．
①计算单项式的次数时，应注意是所有字母指数的和，不要漏掉字母指数是1的指数．如，单项式2x3y2z的次数是字母x，y，z的指数的和，即3＋2＋1＝6，而不是3＋2＝5，应注意z的指数是1，而不是0；
②单项式是单独一个字母时，它的指数是1，如，b的次数是1；单项式是单独一个常数时，它的指数看成0，如，5的次数是0；
③单项式的次数只和字母的指数有关，与系数的指数无关．如，单项式－34x2y2z3的次数是2＋2＋3＝7，而不是4＋2＋2＋3＝11.
谈重点 单项式的标志 ①是代数式；②不含加减运算；③若含有分母，分母中不含字母．
【例1】 下列结论正确的是( )．
A．没有加减运算的代数式叫单项式 B．单项式a的指数是0，系数是0
C．2ab＝4是单项式 D．－1是单项式
解析：A错，要判断一个代数式是不是单项式，不能只看有没有加减运算，还要注意分母中不能含有字母．如是单项式，而就不是单项式；B错，单项式a的系数和指数都是1，只是省略了没有写上；C错，因为2ab＝4不是代数式，而是等式，因而2ab＝4不是单项式；D正确，根据单项式的概念，单独的一个字母或数字也是单项式．
答案：D
2.多项式
(1)多项式的概念
几个单项式的和叫做多项式．如3x－6，，2a2b－8ab3＋b2＋3都是多项式．
(2)多项式中的项
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项．说明多项式的项时，必须包括它前面的符号．
就多项式3x－6而言，它的项是3x与－6，常数项是－6(不要写成6)；
就多项式而言，它的项是与；
就多项式2a2b－8ab3＋b2＋3而言，它的项是2a2b，－8ab3，b2,3.
(3)多项式的次数
一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．一个多项式的次数是几，项数是几，就称为几次几项式．
如3x－6是一次二项式，因为3x项的次数最高，是1；是一次二项式，因为项或项的次数最高，是1；2a2b－8ab3＋b2＋3是四次四项式，因为－8ab3项的次数最高，为4.
(4)整式
①单项式和多项式统称为整式．事实上，单项式是不含加减运算的整式，多项式是含加减运算的整式．
②整式的判别
判别一个代数式是不是整式，应考虑这个代数式是不是单项式，或者是不是多项式．如果它既不是单项式又不是多项式，那么一定不是整式．
③单项式、多项式、整式三者之间的关系可用图表示如下．
【例2】 多项式－26x2y－3x8＋x2y2＋25最高次项的系数是__________，它是__________次__________项式．
解析：本题中的多项式共有四项，分别是－26x2y，－3x8，x2y2,25，其中最高次项为－3x8(次数为8)，多项式的系数是由最高次单项式决定的，故本题中的最高次项的系数是－3，是一个八次四项式．
答案：－3 八 四
解技巧 确定多项式的项和次数需注意的问题 (1)找多项式中的项时，应把项前的符号看成性质符号；(2)多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，所以要确定多项式的次数要有一个分析比较的过程．
3．升幂排列与降幂排列
众所周知，书写一个多项式总得讲究一个顺序，这不仅有利于读与写，更重要的有利于今后进行多项式的运算．这种书写的顺序就是我们整式中研究的多项式的升幂(降幂)排列，即将一个多项式按照某一个字母的指数从小到大(或从大到小)的顺序排列，就叫做对这个多项式按照这个字母的升幂(降幂)排列．如，把多项式a2b－2a3b2＋3a4b3－ab＋1按a的降幂排列为3a4b3－2a3b2＋a2b－ab＋1；把多项式a3－b3－4a2b＋3ab2按b的升幂排列为a3－
4a2b＋3ab2－b3.
由此，正确地进行多项式的降幂(升幂)排列必须明确三点：一是对于一个多项式的多个字母必须选定其中的一个字母；二是认定这个字母的指数大小顺序；三是在改变多项式中的单项式的位置时，一定要连同这个单项式前面的系数和符号，特别是负号．
谈重点 升幂(或降幂)排列都是针对同一字母 升幂排列或降幂排列都是针对于某一字母来讲的，其理论依据是加法的交换律．
【例3】 把多项式x5－y5＋4x4y－15x3y2－8x2y3重新排列：
(1)按y的降幂排列；(2)按y的升幂排列．
分析：分3步思考：①这个多项式共有五项，各项分别是x5，－y5，＋4x4y，－15x3y2，－8x2y3(特别要注意每一项都包括它前面的符号)；②每一项中字母y的指数分别是0,5,1,2,3(注意：x5不含y，它是y的0次项)；③按照要求排列(在交换加数位置时每一项都包括它前面的符号)．
解：(1)－y5－8x2y3－15x3y2＋4x4y＋x5；
(2)x5＋4x4y－15x3y2－8x2y3－y5.
释疑点 对多项式升幂(或降幂)排列需注意的问题 (1)通过重新排列多项式，使多项式整齐、美观，也加深我们对项的特征的正确理解，移动某一项时，必须包括该项的系数，特别是符号，否则重新排列后的多项式与原来的多项式不等值；(2)在排列时，这个字母的指数，依次递增或递减时，可能有的项不存在，即缺少某些项，凡缺少的项的系数一定是0，反之，若使某项不存在，只要这项的系数等于0即可．
4．单项式系数和次数的确定
判断一个代数式是否是单项式，关键是看式子中的数与字母，字母与字母之间是否只有乘法运算和乘方运算，如果含加、减运算，那它就不是单项式；此外，有分母的分母中不能含有字母．
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
单项式的系数：单项式中的数字因数．
求单项式的系数和次数时，要注意：
(1)圆周率是常数，所以在求单项式的系数时，不要漏掉π；
(2)当单项式的系数是1，－1时通常不写，如ab2，－ax2等；
(3)单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如2x2写成x2；
(4)单项式的系数包括它前面的符号．
【例4－1】 找出下列代数式中的单项式，并指出它的系数和次数．
(1)；
(2)πr2；
(3)－a2bc；
(4)；
(5)－a；
(6)1.25×103x2y；
(7)－；
(8)1.
分析：本题考查了单项式的系数和次数的概念，根据概念解答即可．
解：单项式有(2)，(3)，(5)，(6)，(7)，(8)；系数分别是π，－，－1,1.25×103，－，1；次数分别是2,4,1,3，5,0.
【例4－2】 如果(a－3)mb＋1n是关于m，n的一个四次单项式，则a＝__________，b＝__________.
解析：分两步思考：(1)由题意，a－3是这个单项式的系数，如果a－3＝0，则整个单项式为0，就不是四次单项式了，所以a≠3；(2)根据单项式的次数的概念，有1＋(b＋1)＝4，求b即可．
答案：不等于3的数 2
5.多项式项数和次数的确定
几个单项式的和叫做多项式，多项式里要含有加减运算，而且多项式必须符合整式的标准，即分母里面不含有字母．
一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数．
判断一个多项式的次数，必须逐一计算多项式中各项的次数，再从中找出最高的次数作为多项式的次数．
多项式的项数是多项式中单项式的个数，带有分母的多项式的项数一般看分子有几项就是几项式．例如多项式，它的分子有3项，次数最高项的次数是1，所以就是一个一次三项式．
【例5－1】 指出下列代数式中的多项式，并说明是几次几项式．
(1)abc；(2)x＋y；(3)3x2＋4x－2；(4)a2－ab＋b2；(5)；(6)a＋2b－2ab.
分析：多项式的识别关键：至少由两个或两个以上单项式的和构成，即从表面上看要含有“＋”号或“－”号，另外要求每一项均是单项式．
解：多项式有(2)，(3)，(4)，(5)，(6)；它们分别是一次二项式，二次三项式，二次三项式，四次二项式，二次三项式．
【例5－2】 已知多项式－2x2a＋1y2－x3y3＋是7次多项式，则a＝__________.
解析：多项式的次数是指多项式中次数最高的项的次数，本题中，第二项和第三项的次数分别是6和5，因而只能考虑第一项的次数是7，从而有2a＋1＋2＝7，求a即可．
答案：2
6．按规律排列单项式
解决这类规律排列题时必须认真观察、分析、猜想，因为不同的单项式它们的系数以及字母的指数会有所不同，所以解决规律题，就要从单项式的系数和单项式所含字母的指数两方面来分析．
解题时，一方面要分析系数的规律；另一方面要分析字母指数的规律．
【例6】 观察下列单项式：0,3x2,8x3,15x4,24x5，…，按此规律写出第13个单项式．
分析：观察每个单项式中x的指数与单项式的系数可进行如下的变形：0＝(12－1)x；3x2＝(22－1)x2；8x3＝(32－1)x3；15x4＝(42－1)x4；24x5＝(52－1)x5；…，所以第13个单项式应为(132－1)x13(指数与单项式的序号相同)．
解：(132－1)x13＝168x13，
所以，第13个单项式是168x13.
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