1.2 数轴、相反数和绝对值
1．数轴
(1)数轴的概念
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．如图所示．
(2)数轴的概念包涵的意思
①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；
③原点位置的选定，单位长度大小的确定都是根据实际而定的．一般取向右的方向为正方向．
(3)数轴的画法：要正确迅速地画出数轴，可按以下步骤进行：
①“画”就是先画一条水平的直线；
②“取”就是在直线上选取一点表示原点(原点表示的数是0)；
③“选”就是选择向右的方向为正方向(用箭头表示)，那么相反的方向，即从原点向左为负方向，然后选取适当的长度作为单位长度，用细短线在直线上画出；
④“标”就是从原点向右，依次标出1,2，3，…；从原点向左，依次标出－1，－2，－3，….
画数轴的步骤可简单归纳为“一画、二取、三选、四标”．
解技巧 确定数轴的单位长度
画数轴时根据实际问题的需要可选取不同的距离作为单位长度，同一数轴上的单位长度必须一致．
【例1】 观察下列图形，数轴画得正确的是______．
解析：判断一条直线是否为一数轴，关键看这条直线是否具有原点、正方向和单位长度这三要素．A没有原点，B没有正方向，C的单位长度不一致，E中负方向上所标注的数字顺序错误，只有D满足条件．
答案：D
辨误区 画数轴常见的错误
画数轴常出现的错误：(1)没有方向；(2)没有原点；(3)单位长度不一致；(4)标出的数值排列错误．
2．有理数与数轴上的点之间的关系
(1)数对应点：任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示．
(2)在数轴上，正数和负数分别位于原点的两侧，所有正数对应的点都在数轴上原点的右侧，所有负数对应的点都在数轴上原点的左侧，与正数对称．
(3)找出数轴上的点对应的有理数的步骤是：
①确定点与原点的位置关系(左负右正)；
②确定点与原点的距离．
辨误区 有理数与数轴上的点的对应关系
所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但不能说数轴上所有的点都表示有理数，因为数轴上除了表示所有的有理数的点之外，还有表示所有的无理数的点(以后会学习)．
【例2－1】 指出数轴上A，B，C，D，E，F各点分别表示什么数？
分析：先确定已知点的位置是在原点的左边还是右边，再确定点对应的数值，特别是B，E两点，要看准它们所表示的数在哪两个数之间．
解：A表示4；B表示2.5；C表示1；D表示0；E表示－1.5；F表示－3.
【例2－2】 把下列各数在数轴上表示出来：
，－5,0,3.6，－3，－，－1.
分析：第一步，画出数轴(按三要素)；第二步，把这些数在数轴上的对应点找出来；0在原点，容易找到对应点．正数在原点的右边，所以，3.6在原点的右边，且分别距原点个单位长度、3.6个单位长度．负数在原点的左边，所以－5，－3，－，－1在原点的左边，且分别距原点5个单位长度、3个单位长度、个单位长度、1个单位长度．
解：
解技巧 确定数在数轴上的对应点
(1)确定有理数在数轴上的对应点，要先根据正负确定该点在原点的哪一边，然后再确定距原点多少个单位长度；(2)一般情况下，原数轴上的表示单位长度的数要标在数轴的下方，而要表示的数应标在数轴的上方．
3.相反数
(1)相反数的定义
只有符号不同的两个数互为相反数，这就是说，其中一个是另一个的相反数，特别规定：
0的相反数是0.
辨误区 相反数的意义
①“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，千万不能漏掉；
②“只有符号不同”指的是除符号不同以外，其他完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，例如：－2和＋3符号不同，但它们不互为相反数．
(2)相反数的几何意义
两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧，与原点的距离相等．
如：＋3和－3，＋4.4和－4.4互为相反数，在数轴上的位置如图所示：
(3)相反数的表示方法
一般地，数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，它可以是正数、负数或者零．
析规律 相反数的表示方法
在任意一个数前面添上“－”号，所得的数是原数的相反数，在一个数的前面添上一个“＋”号，仍是原数．
【例3】 填空题：
(1)－5的相反数是__________；
(2)－(－6)的相反数__________；
(3)__________的相反数是0.7；
(4)与__________互为相反数；
(5)若a＝13，则－a＝__________.
解析：
根据相反数的意义求出各数的相反数．(1)－5的相反数为5；(2)－(－6)表示－6的相反数，即－(－6)＝6，所以求－(－6)的相反数就是求6的相反数；(3)－0.7的相反数是0.7；(4)与－互为相反数；(5)－a表示a的相反数，即求13的相反数，所以－a＝－13.
答案：(1)5 (2)－6 (3)－0.7 (4)－
(5)－13
4．绝对值
(1)绝对值的概念
在数轴上，表示数a的点到原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|.
表示数0的点即原点，到原点的距离是0，故|0|＝0.
(2)一个数的绝对值与这个数的关系
①一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
②绝对值实际上和四则运算“加、减、乘、除”一样，也是一种运算，绝对值运算的本质就是要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数(即去绝对值)．
注意：既可以说0的绝对值是它本身，也可以说0的绝对值是它的相反数．故绝对值是它本身的数是正数和0；绝对值是它的相反数的数是负数和0.
③互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数．
谈重点 绝对值的意义
绝对值是初中代数中的重要概念，从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小．由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数．也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有|a|≥0，所以绝对值最小的数是0.
【例4－1】 下列说法正确的是( )．
A．|－5|表示－5的绝对值，等于－5
B．负数的绝对值等于它本身
C．－4距离原点4个单位长度，所以－4的绝对值是4
D．绝对值等于它本身的数有两个，是0和1
解析：绝对值是一个距离，不能为负数，故选项A错误；负数的绝对值等于它的相反数，故选项B错误；一个数的绝对值是它在数轴上对应点与原点的距离，C正确；正数的绝对值都等于它本身，故选项D错误．
答案：C
【例4－2】 回答问题：
(1)绝对值是3的数有几个？各是什么？
(2)绝对值是0的数有几个？各是什么？
(3)绝对值是－2的数是否存在？若存在，请写出来．
分析：本题要正确理解绝对值的概念，尤其要理解绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．(1)表示到原点距离等于3的点对应的数有几个，显然，表示数3和－3的点到原点的距离都等于3，所以绝对值等于3的数有两个，它们互为相反数．(2)到原点的距离为0的点只有原点本身，它对应的数是0.(3)任意有理数的绝对值都是非负数，故不存在绝对值是－2的数．一般地，一个有理数的绝对值只有一个，但是绝对值为一个正数的有理数都有两个，它们互为相反数，没有绝对值为负数的有理数．
解：(1)绝对值是3的数有两个，它们分别是3和－3.
(2)绝对值是0的数只有一个，它是0.
(3)绝对值是－2的数不存在．
5．数轴上两点间的距离与点表示的数之间的关系
(1)数轴使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形的内在联系．正是这种联系，使得数轴上两点之间的距离与所表示的数之间存在密切关系．(2)数轴上表示数a的点与原点之间的距离：当a为一个正数时，它与原点的距离是a个单位长度，当a是负数时，它与原点的距离是|a|个单位长度；当a是0时，距离为0.(3)注意：到某一点距离等于a(a是正数)的点有两个，在原点的左右两侧各一个．
解技巧 确定数轴上两点间的距离
解决此类问题的最好方法是画出数轴，并表示出所求的数，再求两点间的距离．
【例5－1】 如图，A，B两点在数轴上，点A对应的数为2，若线段AB的长为3，求点B对应的数是多少？
分析：由于点A对应的数为2，说明它到原点的距离为2，又线段AB的长为3，则点B对应的数就很容易确定了．
解：因为点A对应的数为2，又线段AB的长为3，所以点B到原点的长为1.又因为点B在原点的左边，所以点B对应的数为－1.
【例5－2】 已知数轴上A，B表示的数互为相反数，并且A，B两点间的距离为6个单位长度，求A，B两点表示的数(A在B的左边)．
分析：互为相反数的数，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，根据A，B的距离为6个单位长度，即可求出A，B两点表示的数．
解：由点A，B表示的数互为相反数，且A，B两点间的距离为6，可知点A，B在原点的两侧，到原点距离都为3，又A在B的左边，所以A点表示－3，B点表示3.
6.运用相反数化简符号
(1)理解：①在任意－个数前面添上“－”号，新的数就是原数的相反数．如：＋5的相反数表示为－(＋5)，而5的相反数就是－5，所以－(＋5)＝－5.因此运用相反数可以进行符号化简．
(2)分类：简单的符号化简共有3种情况：①－(＋a)＝－a；②＋(－a)＝－a；③－(－a)＝a.
(3)延伸：①－[－(－a)]＝－a；－[＋(－a)]＝a等．②－0＝0，表示0的相反数是0.
多重符号的结果是由“－”号的个数决定的，与“＋”号无关，据此可以对带有多重符号的数进行化简．化简时“＋”号的个数不影响结果，可省去；而“－”号的个数是偶数个时也可全部省去，奇数个时，结果保留一个“－”号即可．
【例6－1】 填空：
(1)－的相反数是__________；
(2)如果－x＝＋(－80.5)，那么x＝__________.
解析：(1)∵－＝1，因此此题实际上是求1的相反数，∴－的相反数是－1；(2)是已知x的相反数求原数x的问题，∵－x＝＋(－80.5)＝－80.5，∴x＝80.5.
答案：(1)－1 (2)80.5
【例6－2】 化简下列各符号：
(1)－[－(－2)]；
(2)＋{－[－(＋5)]}；
(3)－{－{－…－(－6)…}}(共n个负号)．
分析：化简的法则是：结果的符号与负号的个数有关，有偶数个负号时，结果为正；有奇数个负号时，结果为负．
解：(1)－2；(2)5；(3)当n为偶数时，为6；当n为奇数时，为－6.
7.绝对值的化简和计算
化简绝对值符号主要根据绝对值的非负性，解题时看清楚“－”号在绝对值符号的里面还是外面．
如果“－”号在绝对值符号的里面，化简时把“－”号去掉；如果“－”号在绝对值符号的外面，化简时不能把“－”号去掉．
解技巧 准确化简绝对值符号
化简绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的数是正数、负数或是0.
【例7】 化简：(1)－；
(2)＋|－24|；
(3)；
(4)|－(－7.5)|.
分析：先判断绝对值符号内数的符号，再求绝对值．
解：(1)－＝－；
(2)＋|－24|＝24；
(3)＝3；
(4)|－(－7.5)|＝7.5.
8.字母表示的数的绝对值的求法应用
因为用字母所表示的数既可以是正数也可以是负数，还可以是0.它具有不确定性，而求绝对值首先要考虑的就是符号，因此求字母表示的数的绝对值时，必须考虑题目中给定的条件，若有限定条件，就按限定条件求出，若没有限定条件，则要分正、负、0三种情况讨论．
解技巧 求字母表示的数的绝对值
(1)限制型逆用求法，如：|a|＝6，那么a＝±6；(2)开放型分类讨论求法：如求|x|＋x的值，当x＞0时，|x|＝x，所以|x|＋x＝x＋x＝2x，当x＜0时，|x|＝－x，原式＝0，当x＝0时，原式＝0；(3)化简型求法：如：|a|＝|－8|，|－a|＝|－8|，|－a|＝|8|都能化为|a|＝|8|＝8解决．
【例8－1】 已知a＝－5，|a|＝|b|，则b的值等于( )．
A．＋5 B．－5
C．0 D．±5
解析：因为a＝－5，所以|a|＝5.所以|b|＝5.所以b＝±5.
注：本题常见的思维误区是由|a|＝|b|推出a＝b，错选B.事实上，由|a|＝|b|，可得b＝±a，所以b＝a或b＝－a，即b＝5或b＝－5.
答案：D
【例8－2】 下面推理正确的是( )．
A．若|m|＝|n|，则m＝n
B．若|m|＝n，则m＝n
C．若|m|＝－n，则m＝n
D．若m＝n，则|m|＝|n|
解析：A中若|m|＝|n|，则m＝±n；B中若|m|＝n(n一定是非负数)，则m＝±n，例如|±2|＝2，此时m＝±2，n＝2，显然m＝±n；C中若|m|＝－n，则m＝n或m＝－n，例如|±3|＝－(－3)(n一定是非正数)，此时m＝±3，n＝－3，所以m＝±n.
答案：D
9．利用数轴解决生活中的实际问题
本节知识常与运动问题结合在一起，利用数形结合将运动问题解决．这种利用数形结合解决问题的方法是中考考查的热点题型之一．
数轴是一种数学工具，它使数和数轴上的点建立了对应关系，运用数轴可以直观表示点的移动，正确找出数在数轴上的对应点，会由数轴上的点的位置确定对应的数，是解决这类问题的关键．
解题时，通常根据题意正确地画出数轴，在选取长度单位时，要根据题目中的实际情况来确定，再在数轴上表示点的移动过程，用箭头和竖线来表示．
【例9】 超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处．小明从书店出来沿街向东走了50米，接着又向东走了－80米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置以及小明最后的位置．
分析：书店处于超市和玩具店之间，且书店与玩具店之间的距离是50米，书店与超市之间的距离是20米，这样可以画出数轴，即可表示出小明最后的位置．
解决点的移动问题，可画出数轴，在数轴上表示点的移动，关键是确定原点，最后的点相对于原点来说，若在原点的右侧，表示的是正数，若在原点的左侧，则表示的是负数．
解：根据题意可以画出如图所示的数轴，小明位于超市西边10米处．
10.利用绝对值解决实际问题
绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题．
利用绝对值求距离
路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示带方向的路程，求最后实际路程时，实际上是求绝对值的和．
方法：
①求各个数的绝对值；
②求所有数的绝对值的和；
③写出答案．
【例10】 一天上午，出租车司机小王在东西走向的中山路上营运，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？
分析：本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用，有理数中的“＋”和“－”在本题中表示的是方向，而它们的绝对值是小王在营运中所行驶的路程，因此求共行驶的路程应是每次行车里程绝对值之和．
解：|＋15|＋|－3|＋|＋12|＋|－11|＋|－13|＋|＋3|＋|－12|＋|－18|＝15＋3＋12＋11＋13＋3＋12＋18
＝87(千米)．
答：小王将最后一位乘客送到目的地时共行驶了87千米．
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