1.3 有理数的大小
1．利用数轴进行有理数的大小比较
(1)数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大．
(2)正数大于零，零大于负数，正数大于负数．
(3)因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以可以用a＞0表示a是正数；反之，a是正数也可以表示为a＞0.
同理，a＜0表示a是负数；反之，a是负数也可以表示为a＜0.
另外可以用a≥0表示a是非负数，用a≤0表示a是非正数．
谈重点 利用数轴判断正数的大小
(1)利用数轴比较两个正数的大小，离原点越远，表示的数就越大，离原点越近，表示的数就越小．
(2)利用数轴比较两个负数的大小，离原点越近，表示的数就越大，离原点越远，表示的数就越小．
【例1－1】 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试用“＝”“＞”或“＜”填空：
a________0，b________0，a________b.
解析：a在原点的左边，是负数，负数小于0；b在原点的右边，是正数，正数大于0；数b的对应点在数a的对应点的右边，数轴上右边的数总是大于左边的数．
答案：＜ ＞ ＜
【例1－2】 比较下列各数的大小：
(1)－|－1|__________－(－1)；
(2)－(－3)__________0；
(3)－__________－；
(4)－(－|－3.4|)________－(＋|3.4|)．
解析：(1)化简－|－1|＝－1，－(－1)＝1，因为负数小于正数，所以－|－1|＜－(－1)；(2)化简－(－3)＝3，因为正数都大于0，所以－(－3)＞0；(3)分别化简两数，得－＝，－＝－，因为正数大于负数，所以－＞－；(4)同时化简两数，得－(－|－3.4|)＝3.4，－(＋|3.4|)＝－3.4，所以－(－|－3.4|)＞－(＋|3.4|)．
在比较大小时，有时可能出现含有负数的绝对值或负数的相反数的形式给出的数，这种形式给出的数不容易直接观察出大小，我们要先化简，然后再选择适当的方法进行大小比较．
答案：(1)＜ (2)＞ (3)＞ (4)＞
2．两个负数的大小比较
(1)利用绝对值比较两个负数的大小的法则
两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即在数轴上绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边．
例如：|－3|＝3，|－5|＝5，而3＜5，所以－3＞－5.
(2)利用绝对值比较两个负数大小的步骤
①分别求出两个负数的绝对值；
②比较两个绝对值的大小；
③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断．
解技巧 正确比较两个分数的大小
在比较两个分数大小时，一般不要改变两数原来的顺序，以免最后判断时失误．例如比较－与－的大小时，先求得－的绝对值是，－的绝对值是，然后比较与的大小得＞，从而－＜－，在整个解答过程中，－与－的顺序不变．
【例2】 比较－与－的大小．
分析：两个负数比较大小，要先求出它们的绝对值，再根据绝对值的大小和两个负数大小比较的法则，确定出原数的大小．
两个负分数化成同分母分数之后，分子越大，分数值越小．
解：因为＝＝，＝＝，而＜，所以－＞－.
3．有理数的大小比较
几个有理数的大小比较主要有以下几条法则：(1)正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；(2)绝对值越大的正数就越大，绝对值越大的负数反而越小；(3)在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大．
“数无形时少直观，形无数时难入微”，利用数形结合思想解题，可以化难为易，化繁为简．
利用数轴能揭示点的位置关系与数的大小关系的联系，所以较好地体现了数形结合的思想，利用它能方便地解决多个有理数(或其绝对值、相反数等)大小比较的问题．
【例3】 在数轴上表示出下列各数，并把它们按从小到大的顺序用“＜”号连接起来：
－4,3,0，－0.5，＋4，－2.
分析：在数轴上表示上述数时，关键是：＋4应在4的右边，－2应在－2的左边；－0.5应在原点的左边、－1的右边．本题解题时的一般步骤：①画数轴；②描点；③有序排列；④不等号连接．利用数轴比较有理数的大小时，关键是每个数的位置必须正确确定．
解：如图所示，
－4＜－2＜－0.5＜0＜3＜＋4.
4.利用数轴比较含有字母的有理数的大小
“数”可准确澄清“形”的模糊，“形”能直观启迪“数”的计算，利用数轴这一工具，加强数形结合的训练可沟通知识间的联系，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法．
含有字母的有理数的大小本来是不确定的，例如字母a可以表示任意有理数，但是只要把字母的位置确定在数轴上，它们的大小关系就能确定．
【例4】 有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，试比较a，－a，b，－b，c，－c,0的大小，并用“＜”连接．
分析：观察数轴知a＜0，b＜0，c＞0；根据绝对值的意义，得|a|＞|b|＞|c|；根据相反数的几何意义，可以把a，－a，b，－b，c，－c,0都表示在数轴上，从而利用数轴比较大小．[来源:学科网]
解：把a，－a，b，－b，c，－c,0表示在数轴上，如图所示：
所以a＜b＜－c＜0＜c＜－b＜－a.
5．有理数大小比较的拓展
有理数的大小比较是初中数学的一个重要内容．有理数的大小比较常规的方法有很多，这里再介绍两种常用的方法．
(1)差值比较法：设a，b是任意两数，则a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.
(2)商值比较法：设a，b是任意两个正数，则＞1a＞b；＝1a＝b；＜1a＜b.
【例5－1】 比较与的大小．
分析：计算与的商，再用商与1进行比较．若大于1则被除数大于除数；若小于1则被除数小于除数．
解：因为÷＝×＝＞1，所以＞.
【例5－2】 比较与0.3的大小．
分析：计算与0.3的差．若大于零，则被减数大于减数；若小于零，则被减数小于减数；若等于零，则两数相等．
解：因为－0.3＝－＝＞0，所以＞0.3.
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