1.4 有理数的加减
1．有理数的加法
(1)有理数的加法法则
①同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加．
②异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
③一个数与零相加，仍得这个数．
(2)两个有理数相加的步骤
第一步：有理数的加法法则分三种情况，进行有理数加法时，要先区别是哪种情况；第二步：确定和的符号；第三步：求每个加数的绝对值；第四步：根据具体的法则计算两个数的绝对值的和或差；第五步：写出最后的计算结果．
析规律 有理数的加法运算规律
(1)有理数的加法法则是进行有理数运算的依据，进行加法运算时要先确定用哪条法则．
(2)小学学过的加法中，和一定大于每一个加数，在数的范围扩大到有理数以后，这个结论就不成立了，只有两个正数的和必定大于每一个加数，而两个负数的和要小于每一个加数，一个非零数与零相加，得到的和等于非零加数．
(3)如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数．即：如果a＋b＝0，那么a＝－b.例如：(－3)＋a＝0，则a＝3.
(4)进行有理数的加法运算要遵循“一定二求三和差”的步骤，即第一步先确定和的符号，第二步再求加数的绝对值，第三步要分析确定是绝对值相加还是相减．
【例1】 计算：
(1)(＋8)＋(＋5)；(2)(＋2.5)＋(－2.5)；(3)(－17)＋(＋9)；(4)(－4)＋0.
分析：根据有理数的加法法则，两数相加，只要确定它适合有理数加法法则的哪一种情况，再根据法则确定和的符号，然后根据法则求出和的绝对值．
解：(1)(＋8)＋(＋5)(同号两数相加)
＝＋(8＋5)(取与加数相同的符号，并把绝对值相加)
＝13.
(2)(＋2.5)＋(－2.5)(异号两数相加，绝对值相等)
＝0(和为0)．
(3)(－17)＋(＋9)(异号两数相加，绝对值不等)
＝－(17－9)(取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值)
＝－8.
(4)(－4)＋0(一个数与零相加)
＝－4(仍得这个数)．
2．有理数的减法
(1)有理数的减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
用字母表示为a－b＝a＋(－b)．
(2)有理数减法运算的基本步骤
①将减法转化为加法；
②按有理数的加法法则运算．
(3)法则理解
①有理数的减法，不像小学里的那样直接减，而是把它转化为加法，借助于加法进行计算．其关键是正确地将减法转化为加法，再按有理数的加法法则计算．
②学习有理数减法运算，关键在于处理好法则中两个“变”字，即注意两个符号的变化：一是运算符号——减号变为加号，二是性质符号——减数变成它的相反数．
③其含义可以从以下两方面理解：
(a)
(b)
④并不是所有的减法运算都要转化为加法运算．
一般来说，当减数或被减数为负数，或两数“不够减”时才运用法则转化为加法运算．
解技巧 有理数的减法运算技巧
(1)可用口诀记忆法则：“减正变加负，减负变加正．”
(2)带分数减法运算，可把带分数拆成整数和分数和的形式后再进行计算．
(3)特别注意减法没有交换律．
【例2】 计算：
(1)3－(－5)；
(2)(－3)－(－7)；
(3)－5；
(4)5.2－(＋3.6)．
分析：有理数减法运算，按照减法法则，将减法转化为加法，然后按有理数加法进行计算．在做减法转换为加法时，一定要注意符号的变换．
解：(1)3－(－5)＝3＋(＋5)＝8；
(2)(－3)－(－7)＝(－3)＋(＋7)＝4；
(3)－5＝＋＝－7；
(4)5.2－(＋3.6)＝5.2＋(－3.6)＝1.6.
3．有理数加法的运算律
(1)加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变．
用字母表示为：a＋b＝b＋a.
(2)加法结合律：三数相加，先把前两个数相加或先把后两个数相加，和不变．
用字母表示为：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
【例3】 计算：(1)(－8)＋＋2＋＋12；
(2)＋＋＋＋.
分析：进行三个以上的有理数加法运算时，常常运用加法的交换律和结合律，把同号的数相结合，把互为相反数的两个数相结合，把同号的数中的同分母的分数相结合，以达到计算简便、迅速的目的．
解：(1)原式＝(2＋12)＋＝14＋(－11)＝3；
(2)原式＝＋＋＝－1＋0＋＝－.
4.有理数的加、减混合运算
(1)加减法统一成加法
①有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式．如：(－12)－(＋8)＋(－6)－(－5)＝(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)．
②在和式里，通常把各个加数的括号省略不写，写成省略加号的和的形式．如：(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)＝－12－8－6＋5.
③和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“负12，负8，负6，正5的和”，即把各个数中间的符号作为后面的这个数的性质符号来读；二是按运算意义读作“负12减8减6加5”，即把各个数中间的符号作为运算符号来读．
(2)有理数加、减混合运算的方法和步骤
由于减法可以转化为加法，所以在进行有理数的加减混合运算时，首先要将混合运算的式子写成省略括号的和式的形式，然后按加法法则和运算律进行简便运算．
第一步：用减法法则将减法转化为加法；
第二步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算．
(3)进行有理数的加减混合运算的注意事项
①交换加数的位置时，一定要连同加数前的符号一起移动；
②如果需要添括号，一定要连同加数前的符号一起括进括号内，并将原来已省略的括号写出来；
③省略加号和括号的“和”与小学里的“和”是有区别的，小学里的“和”是一个具体的数，并且和一定不小于任何一个加数，而这里的“和”则是表示的是有理数的加法运算，也表示相加的结果．有理数的“和”可以大于任何一个加数，也可以小于任何一个加数，和可能是正数、负数或零．
【例4－1】 把下列各式写成省略加号的和的形式：
(1)(－26)－(－7)＋(－10)－(－3)；
(2)(－30)－(－8)＋(－12)－(－5)．
分析：先统一成加法，再省略括号和加号．在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化．
解：(1)(－26)－(－7)＋(－10)－(－3)
＝－26＋(＋7)＋(－10)＋(＋3)
＝－26＋7－10＋3.
(2)(－30)－(－8)＋(－12)－(－5)
＝(－30)＋(＋8)＋(－12)＋(＋5)
＝－30＋8－12＋5.
【例4－2】 计算：
(1)0－3－6＋11－5；
(2)－＋＋；
(3)(－5)－(－21)＋(－12)＋8－(－4)－18；
(4)(＋10.4)－7.5＋12.7－(－3.6)＋(－1.7)－2.5.
分析：(1)本题是省略括号和加号后的和的形式，在五个加数中，考虑到－3，11，－5三个加数分母都是7，便于运算，所以把这三个加数放在一起；(2)把加减混合运算统一成加法运算后结果为＋＋＋，考虑到，，便于通分，把它们结合起来，可使计算较为简便；(3)统一成加法后，可采用同号结合法，即把正数与正数、负数与负数分别相加；(4)统一成加法后，可采用凑整结合法，即把相加得整数的加数先结合．
解：(1)0－3－6＋11－5
＝(0－6)＋
＝－6＋＝－2.
(2)－＋＋
＝＋＋＋
＝＋
＝(－1)＋
＝－1.
(3)(－5)－(－21)＋(－12)＋8－(－4)－18
＝－5＋21－12＋8＋4－18
＝(21＋8＋4)＋(－5－12－18)
＝33－35＝－2.
(4)(＋10.4)－7.5＋12.7－(－3.6)＋(－1.7)－2.5
＝10.4－7.5＋12.7＋3.6－1.7－2.5
＝(10.4＋3.6)＋(12.7－1.7)＋(－7.5－2.5)
＝14＋11－10＝15.
5．含有字母的有理数加法的运算
我们可以用字母表示有理数加法的运算法则：
①同号两数相加：
若a＞0，b＞0，则a＋b＝＋(|a|＋|b|)；
若a＜0，b＜0，则a＋b＝－(|a|＋|b|)．
②异号两数相加：
若a＞0，b＜0，且|a|＝|b|，则a＋b＝0；
若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a＋b＝＋(|a|－|b|)；
若a＞0，b＜0，且|a|＜|b|，则a＋b＝－(|b|－|a|)．
③一个数与0相加：a＋0＝a.
【例5－1】 根据加法法则填空：
(1)如果a＞0，b＞0，那么a＋b__________0；
(2)如果a＜0，b＜0，那么a＋b__________0；
(3)如果a＞0，b＜0，|a|＞|b|，那么a＋b________0；
(4)如果a＜0，b＞0，|a|＞|b|，那么a＋b________0.
答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜
【例5－2】 已知有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，且|a|＞|b|＞|c|，则
(1)|a＋(－b)|＝__________；
(2)|a＋b|＝__________；
(3)|a＋c|＝__________；
(4)|b＋(－c)|＝__________；
(5)|b＋c|＝__________.
答案：(1)|a|＋|b| (2)|a|－|b| (3)|a|＋|c| (4)|b|＋|c| (5)|b|－|c|
6.有理数加减混合运算的注意事项
(1)运用加法交换律，在交换各数的位置时要连同它们前面的符号一起交换，千万不要把符号漏掉．
(2)应用加法结合律时，应充分考虑同号加数结合、同分母或便于通分的加数结合、凑整的加数结合、互为相反数的加数结合等情形，从而选择适当的方法，使运算简便．
(3)若分数、小数混在一块运算时，可以把它们统一成分数或小数再运算．
(4)如果有大括号和小括号应当先进行小括号里的运算，再进行大括号里的运算．
反之，进行有理数的加减混合运算，有时候需要添加括号，此时一定要连同加数的符号一起括进括号内，并将原来已省略的加号写进来．
辨误区 拆分负的带分数
负的带分数拆分为整数与分数的和时，易将负整数与负分数的和错拆为负整数与正分数的和．
【例6】 计算：(1)(－8)＋(－7.5)＋(－21)＋(＋3)；
(2)＋4－.
分析：
把分母不同的分数的加减混合运算统一成加法之后，应用运算律使同分母分数相加可以简化运算．
解：(1)(－8)＋(－7.5)＋(－21)＋(＋3)
＝－8－7.5－21＋3
＝－8－21－7.5＋3
＝(－8－21)－(7.5－3)
＝－30－4＝－34.
(2)＋4－
＝5－3＋4－
＝5－－3＋4
＝(5－)－(3－4)
＝5＋1＝6.
7．有理数加减法的运用
学习有理数的加减法后，可以和前面学过的数轴、相反数、绝对值综合出题，把有理数的知识融合得更紧密，理解得更深刻．
(1)有理数的加法与绝对值
在有些计算中，含有绝对值符号，这就要用绝对值的概念，先去掉绝对值符号，再按有理数混合运算法则进行计算．几个非负数的和等于0，则每个加数必等于0.
(2)有理数的加法与有理数的大小比较
学习加法后，在比较大小的数中，出现了和的形式或差的形式(差可以化成和)．特别是以字母表示的数．这就需要用加法法则来判断数的正负，或判断数对应的点在数轴上的位置关系，从而确定两个数的大小关系．
(3)有理数加法在实际问题中的应用
在实际问题中，要应用有理数的加法法则求解问题，注意运算技巧的使用．
【例7－1】 若|x－3|与|y＋3|互为相反数，求x＋y的值．
解：根据题意得|x－3|＋|y＋3|＝0.
则x－3＝0，y＋3＝0，所以x＝3，y＝－3.
所以x＋y＝3＋(－3)＝0.
【例7－2】 一小吃店一周中每天的盈亏情况如下(盈利为正)：128.3元，－25.6元，－15元，－7元，36.5元，98元，27元，这一周总的盈亏情况如何？
分析：正数表示盈利，负数表示亏损，这些数的代数和就是总的盈亏情况，如果代数和为正，则总的情况是盈利，否则是亏损．
解：128.3＋(－25.6)＋(－15)＋(－7)＋36.5＋98＋27
＝(128.3＋36.5＋98＋27)＋(－25.6－15－7)
＝289.8－47.6＝242.2.
答：一周总的盈亏情况是盈利242.2元．
【例7－3】 一农业银行某天上午9：00～12：00办理了7笔储蓄业务；取出9.5万元，存入5万元，取出8万元，存入12万元，存入25万元，取出10.25万元，取出2万元．这天上午该银行的现金增减情况怎样？
分析：可以设存入为正，取出为负，用正、负数分别表示这7笔业务，求它们的和即可判断现金的增减情况．若结果为正数，则表明现金增加了；若结果为负数，则表明现金减少了．
解：(－9.5)＋(＋5)＋(－8)＋(＋12)＋(＋25)＋(－10.25)＋(－2)＝[(－9.5)＋(－8)＋(－10.25)＋(－2)]＋[5＋(＋12)＋(＋25)]＝－29.75＋42＝12.25(万元)．
答：这天上午该银行的现金增加了12.25万元．
8.有理数减法的应用
(1)有理数减法的应用比较常见的题型有：计算高度，计算温差，计算销售利润，计算距离，计算时差等．
有理数减法的应用题虽然比较简单，但却能让大家主动地从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，充分体现课程标准所要求的“数学应用意识”．因此，我们要有意识地加强数学知识与现实生活联系密切的问题的训练，提高自己的能力．
(2)利用有理数减法求数轴上两点间的距离
求数轴上两点间的距离是有理数减法最典型的应用之一，数轴上任意两点之间的距离，都可以用数轴上表示这两点的有理数的差的绝对值来表示．
【例8－1】 如图所示的数轴上，表示－2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示2和－5的两点之间的距离是______，数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是______．
解析：数轴上表示－2和5两点之间的距离是|－2－5|或|5－(－2)|；数轴上表示2和－5两点之间的距离是|2－(－5)|或|－5－2|；数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是|－1－(－3)|或|－3－(－1)|.
答案：7 7 2
【例8－2】 以地面为基准，A处高为＋2.5米，B处高为－17.8米，C处高为－32.4米，问：
(1)A处比B处高多少米？
(2)B处与C处哪个地方高？高多少米？
解：(1)＋2.5－(－17.8)＝2.5＋17.8＝20.3(米)，
所以A处比B处高20.3米．
(2)－17.8－(－32.4)＝－17.8＋32.4＝14.6(米)，
所以B处比C处高，高了14.6米．
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