1.5 有理数的乘除
1．有理数的乘法
(1)有理数的乘法法则
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
如：－3×(－2)＝＋(3×2)＝6，
(－2)×3＝－(2×3)＝－6.
②任何数与零相乘仍得零．
如：(－5)×0＝0.
(2)有理数乘法的步骤
第一步：确定积的符号；
第二步：计算各因数的绝对值；
第三步：计算绝对值的积．
由于绝对值总是正数或0，因此绝对值相乘就是小学中的算术乘法．由此可见，有理数乘法实质上就是通过符号法则，归结为算术的乘法完成的．
解技巧 有理数的乘法运算技巧
(1)两个有理数相乘时，先确定积的符号，再把绝对值相乘，带分数相乘时，要先把带分数化为假分数，分数与小数相乘时，一般统一写成分数．
(2)一个数同零相乘，仍得零，同1相乘，仍得原数，同－1相乘得原数的相反数．
(3)两数相乘，若把一个因数换成它的相反数，则所得的积是原来积的相反数．
【例1】 计算：
(1)×0.2；
(2)13×(－4)；
(3)(－1.3)×(－5)；
(4)；
(5).
分析：利用乘法法则进行计算．这里(1)中是正数和正数相乘，因而得正；(2)中是正数和负数相乘，因而得负；(3)中是负数与负数相乘，因而得正；(4)中是负数和负数相乘，因而得正；(5)中是负数和零相乘，因而得零．小数和带分数一般化为分数或假分数．
解：(1)原式＝×＝；
(2)原式＝－(13×4)＝－52；
(3)原式＝＋(1.3×5)＝6.5；
(4)原式＝；
(5)原式＝0.
2.倒数
(1)倒数的概念
如果两个有理数的乘积为1，我们称这两个有理数互为倒数，如2与，与分别互为倒数．
用字母表示：若ab＝1，则a，b互为倒数，反之，若a，b互为倒数，则ab＝1.
(2)倒数的求法
若a≠0，则a的倒数是，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0无倒数．为了方便，一般采用如下方法：
①非零整数——直接写成这个数分之一．如：4的倒数是，－6的倒数是－.
②分数的倒数——把分子、分母颠倒写即可；带分数要化为假分数，小数要化为分数后再把分子、分母颠倒位置写．如：－的倒数是－；－0.25的倒数是－4，－1的倒数是－.
③倒数等于本身的数是±1，零没有倒数．
辨误区 倒数与相反数的区别
一定要注意倒数的概念和相反数的概念的区分，互为相反数的两数之和为零，互为倒数的两数之积为1，同时正数的倒数仍为正数，负数的倒数仍为负数．
【例2】 求下列各数的倒数．
(1)－3；(2)；(3)－0.2；(4)3.
分析：求一个整数的倒数直接写成这个数分之一即可；求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒位置即可；求一个小数的倒数，先把这个小数化成分数，再求其倒数；求一个带分数的倒数，要先化为假分数再求．
解：(1)－3的倒数为－；(2)的倒数为；(3)由于－0.2＝－，所以－0.2的倒数为－5；(4)由于3＝，所以3的倒数为.
3．有理数乘法法则的推广
(1)几个数相乘，有一个因数为零，积为零．如：1×2×(－5)×0×6＝0.
(2)几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．
(3)由上面的法则可以知道：
几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后，再把每个因数的绝对值相乘．这就是多个因数求积的常用方法．
解技巧 多个有理数相乘的技巧
多个有理数相乘时，先观察因数中有没有0.如果有0，积就是0；如果没有0，一般按从左向右的顺序计算绝对值的积作为积的绝对值．
【例3】 计算：(1)；
(2)(＋5.9)×(－1 992)×(＋1 993)×(－2 000)×0；
(3)(－5)×8×(－7)×(－0.25)．
分析：(1)四个因数只有一个是负数，所以结果是负数，再把带分数化为假分数，约分之后得出结果；(2)因为乘式中含有一个因数0，故积为零；(3)式子中的负数有3个，所以结果是负数．多个有理数进行运算时，应一次确定结果的符号，再计算各因数绝对值的积，这样既简捷又不易出错．
解：(1)
＝－×××
＝－7.
(2)(＋5.9)×(－1 992)×(＋1 993)×(－2 000)×0＝0.
(3)(－5)×8×(－7)×(－0.25)
＝－(5×8×7×0.25)
＝－70.
4.有理数的除法
(1)有理数除法的意义
在有理数运算中，除法的意义依然是乘法的逆运算，即已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算．除法可以转化为乘法来进行．
(2)有理数的除法法则
①有理数的除法法则一(直接相除的法则)：
Ⅰ.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
Ⅱ.零除以一个不为零的数，仍得零．零不能作除数．
用字母表示：
Ⅰ.若a＞0，b＞0，则＝；若a＜0，b＜0，则＝；
若a＜0，b＞0，则＝－；若a＞0，b＜0，则＝－.
Ⅱ.若a≠0，则＝0.
②有理数的除法法则二(化除为乘的法则)：
除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数．
用字母表示：
a÷b＝a×(b≠0)．
析规律 两个除法法则的区别
对于除法的两个法则，在计算时根据具体情况，灵活运用，一般在不能整除的情况下应用法则二，在能整除的情况下，应用法则一比较简便．
【例4】 计算：
(1)(－16)÷(－4)；
(2)；
(3)；
(4)0÷(－20)．
分析：在做除法时，选择哪一个除法法则，应从运算是否方便考虑，和乘法一样，做除法时，先要把带分数化为假分数．
解：(1)(－16)÷(－4)＝16÷4＝4；
(2)；
(3)＝×＝；
(4)0÷(－20)＝0.
5．有理数的乘、除混合运算
(1)有理数的乘、除混合运算
①形式
a÷b÷c；a×b÷c；a÷b×c，这些都是有理数的乘、除混合运算．
②方法
有理数的乘、除混合运算，先将除法转化为乘法，然后按照乘法法则确定积的符号，最后求出结果．如，计算：(－81)÷2×÷(－15)．
③运算顺序
对于连除或乘除混合运算问题，我们可以按从左到右的顺序依次进行计算，也可以直接把除法转化为乘法来计算．
(2)有理数的四则混合运算
对于含有加、减、乘、除的有理数的混合运算，运算顺序是：如没有括号，应先做乘除运算，后做加减运算；如有括号，应先做括号里的运算，再做其他运算．
【例5－1】 计算：
(1)(－)×(－3)÷(－1)÷3；
(2)－2÷1.125×(－8)．
分析：乘除混合运算要按从左到右顺序进行．对于有理数的乘除法混合运算，应将它们统一为有理数的乘法运算．先由负因数的个数确定结果的符号，再把带分数化为假分数，同时把小数也化为分数，最后考虑约分．
解：(1)(－)×(－3)÷(－1)÷3
＝(－)×(－)×(－)×
＝－×××＝－；
(2)－2÷1.125×(－8)
＝÷×8
＝××8＝16.
【例5－2】 计算：(－)×(＋)÷(－)÷(－).
分析：本题是有理数的加减乘除混合运算，可按四则混合运算的顺序进行计算，有括号的要先算括号里面的．
解：(－)×(＋)÷(－)÷(－)
＝－××(－20)×(－3)
＝－(××20×3)＝－.
6．有理数的乘法的运算律
(1)乘法交换律
两个数相乘，交换因数的位置，积不变．
即ab＝ba.
(2)乘法结合律
三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变．
即(ab)c＝a(bc)．
(3)分配律
一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
即a(b＋c)＝ab＋ac.
分配律在有理数的运算以及今后的有关代数式运算及变形中运用非常广泛，它的正向运用(即从左到右)与逆向运用(即从右到左)对于不同形式的计算与变形都起着简化的作用，应注意灵活运用．如，计算：(1－－)×(－1)，考虑前一个括号里面的各个因数的分子都是7，而后面括号里面的因数的分母是7，可以直接利用乘法的分配律简化运算．
【例6】 用简便方法计算：
(1) (－＋－＋)×(－24)；
(2)－13×－0.34×＋×(－13)－×0.34.
分析：第(1)题中有(－24)是括号中各分母的公倍数，所以应利用分配律变形；第(2)题把－0.34×与×(－13)交换位置，然后利用结合律将前两项结合、后两项结合，即分成两组，再分别在每组中逆用分配律即可．
解：(1)原式＝×(－24)＋×(－24)＋×24＋×(－24)
＝12－4＋9－10＝7.
(2)原式＝－13×＋×(－13)－0.34×－×0.34＝＋
＝
＝(－13)×1＋0.34×(－1)
＝－13－0.34
＝－13.34.
7．有理数混合运算的技巧
进行有理数的乘除运算，除了注意运算顺序和运算法则之外，还要注意一些运算技巧，力求使运算简便．解答有理数除法运算有关的问题时，我们应注意利用有理数的除法法则，将有理数的除法运算转化为有理数的乘法运算．如果被除数或除数中有小数应先化为分数，有带分数应先化为假分数，便于约分，简化运算．
辨误区 除法没有分配律
除法没有分配律，如在有理数的除法运算中，如果按a÷(b＋c)＝a÷b＋a÷c进行分配就错了．除法是没有分配律的，从而不能运用分配律．像6÷3×有时会习惯性地将3和分母中的3约分，这是错误的，应严格按运算顺序进行计算，并经过一定练习才能灵活进行有理数的混合运算．
有理数的乘、除混合运算的性质有：
①a÷b÷c＝a÷(b×c)＝a÷c÷b.
即一个数除以另一个数所得的商再除以第三个数，等于第一个数除以第二、三两数的积；也等于第一个数除以第三个数所得的商再除以第二个数．
如：740÷(37×4)＝740÷37÷4＝20÷4＝5.
②a×b÷c＝a×(b÷c)＝(a÷c)×b.
即两个数的积除以第三个数，等于其中任意一个乘数除以第三个数，再与另一个乘数相乘．
如：136×73÷68＝2×73＝146.
③a÷b×c＝a÷(b÷c)．
即第一个数除以第二个数所得的商再乘以第三个数，等于先求出第二个数除以第三个数的商，再用第一个数除以这个商．如：480 000÷144×12＝480 000÷(144÷12)＝480 000÷12＝40 000.
以上三个公式中，添括号或去括号都有规律．
添括号时，如果一个数的前面是乘号，那么这个数前面添上括号后，括到括号里面的运算符号不变；如果一个数的前面是除号，那么在这个数前面添上括号后，括到括号里面的运算符号要改变，乘号变除号，除号变乘号．
【例7－1】 计算：(1)÷；
(2)÷.
分析：(1)先将除法转化为乘法，运用了分配律后使运算简便；第(2)题属于易错题，因为除法没有分配律，只有乘法才有分配律，而一些学生往往因不看清题目而错误地运用运算律．
解：(1)方法一：÷＝×60＝×60＝23.
方法二：÷
＝(－＋)×60
＝×60－×60＋×60＝23.
(2)方法一：÷(－＋)
＝÷(－＋)＝÷＝.
方法二：∵÷＝(－＋)×60＝×60－×60＋×60＝23，
∴根据倒数的定义有÷(－＋)＝.
【例7－2】 计算：(－48)×.
分析：在有理数的计算中，如果能够准确地确定运算结果的符号，则可省去一些不必要的括号，运算步骤的简明与流畅可以提高运算的正确率．
解：(－48)×
＝48×－48×－48×
＝32－36－4＝－8.
【例7－3】 计算：－3.5×35.2＋(－7)×32.4.
分析：仔细观察算式的特点，可以发现3.5和7存在倍数关系，不妨将7写成3.5×2，然后逆用分配律来简化计算．
解：－3.5×35.2＋(－7)×32.4
＝－3.5×35.2＋(－3.5)×2×32.4
＝－3.5×(35.2＋2×32.4)
＝－3.5×100＝－350.
【例7－4】 计算：0.25÷×(－).
分析：本题如果先计算0.25÷的结果再乘以，运算过程就很繁杂，而且容易出错．仔细观察每一个数的特点，考虑0.25×4＝1，可将68分解成4×17., 去括号时，如果括号的前面是乘号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号不变；如果括号的前面是除号，那么去掉括号后，括号里面的运算符号要改变，乘号变除号，除号变乘号．
解：0.25÷×(－)＝0.25×68×(－)
＝0.25×4×17×(－)＝(0.25×4)×＝1×(－15)＝－15.
8．计算器的使用
计算器是一种方便实用的计算工具，计算速度快，计算准确，操作方便．使用时要特别注意以下几点：(1)按下数字键后，应看清显示器上的显示是否正确；(2)用计算器进行有理数的加减运算时，按式子的顺序从左向右按；(3)用计算器进行有理数的乘除运算时，特别是有负数出现时，先应按，再输入其绝对值；(4)对于加减乘除混合运算，只要按算式的书写顺序输入，计算器会按要求求出结果．
【例8】 用计算器计算：－15.13＋4.85＋(－7.69)－(－13.88)．
分析：不同的计算器用法不一样，要注意，使用计算器能进行一些较为复杂的运算．
解：用带符号键的计算器计算．
按键顺序：
.
得到－4.09.
9．有理数的混合运算在实际问题中的应用
有理数的混合运算在现实生活中有着广泛的应用，是解决其他数学问题的基础，也是解应用题的基础，多以实际应用、规律探究型问题的形式出现．
尤其是运算律在现实生活中的应用更加广泛．在现实生活中我们经常会遇到一些较大的或者较复杂的数的混合运算，这时就要利用运算律进行转化，使运算简化．
解决实际问题的关键是根据问题情境找出数量关系，将实际问题转化为所学的数学问题．
有理数的混合运算可以解决一些实际应用题，如：银行利息计算、话费计算等．解决这类问题的关键是将实际问题抽象成数学问题，用运算符号正确表达出关系式，注意单位和解题格式．
【例9－1】 某校体育器材室共有60个篮球．一天课外活动，有3个班级分别计划借篮球总数的、和.请你算一算，这60个篮球够借吗？如果够了，还多几个篮球？如果不够，还缺几个？
分析：本题可以转化为：求一个数的几分之几是多少的数学模型，所以用乘法来解答．
解：60×
＝60×1－60×－60×－60×
＝60－30－20－15＝－5(个)．
答：不够借，还缺5个篮球．
【例9－2】 根据实验测定，高度每增加1 km，气温大约下降6 ℃，小王是一位登山运动员，他在攀登山峰的途中发回信息，报告他所在的位置的气温是－15 ℃，如果当时地面的气温是3 ℃，则小王所在的位置离地面的高度是多少？
分析：地面的温度是3 ℃，小王所在的位置是－15 ℃，我们可以根据温度差与高度每增加1 km气温大约下降6 ℃之间的关系，通过计算得到小王所在位置的高度．
解：[3－(－15)]÷6×1＝3(km)．
所以小王所在的位置离地面的高度为3 km.
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