2.4 绝对值
1．绝对值的概念及表示
(1)绝对值的几何意义
我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值．记作|a|.
这是绝对值的几何意义，例如：10到原点的距离是10；－10到原点的距离也是10，所以10与－10的绝对值相等，都是10.记作：|10|＝10，|－10|＝10.
谈重点 绝对值的几何意义 绝对值的几何意义与数的正、负无关，只与表示该数的点到原点的距离有关．
(2)绝对值的代数意义
一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；
一个负数的绝对值是它的相反数．
用字母表示为：若a＞0，则|a|＝a；若a＜0，则|a|＝－a；若a＝0，则|a|＝0.也可以归纳如下：
|a|＝或|a|＝
从代数角度来看：绝对值实际上和四则运算“加、减、乘、除”一样，也是一种运算，绝对值运算的本质就是要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数(即去绝对值)．注意：既可以说0的绝对值是它本身，也可以说0的绝对值是它的相反数．故绝对值是它本身的数是正数和0；绝对值是它的相反数的数是负数和0.
【例1】 根据绝对值的概念，求下列各数的绝对值：
－1.6，，0，－10，＋10，－a(a＞0)．
分析：，＋10是正数，绝对值等于其本身；－1.6，－10是负数，绝对值等于其相反数；0的绝对值是0；因为a＞0，所以－a是负数，其绝对值等于它的相反数a.
解：|－1.6|＝1.6；＝；|0|＝0；
|－10|＝10；|＋10|＝10；|－a|(a＞0)＝a.
2．绝对值的非负性
一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离．由于距离是一个非负数，所以任何一个有理数的绝对值都是非负数，即无论a取何值，都有|a|≥0.例如|2|＝2，|－2|＝2，|0|＝0.
一个数在数轴上表示的点离原点的距离越远，绝对值越大；离原点越近，绝对值越小.0的绝对值可以看成是原点到原点的距离，因此仍然是0.
谈重点 数的大小与绝对值大小的关系 正数越大，它的绝对值越大；负数越小，它的绝对值越大；绝对值最小的数是0.
【例2】 已知|x－4|＋|y－1|＝0，求x，y的值．
分析：因为任何有理数的绝对值都是非负数，即|a|≥0，所以|x－4|≥0，|y－1|≥0，而两个非负数之和为0，则两个数均为0，所以可求出x，y的值．
解：因为|x－4|≥0，|y－1|≥0，
又|x－4|＋|y－1|＝0，
所以只能|x－4|＝0，|y－1|＝0，即x－4＝0，y－1＝0，因此x＝4，y＝1.
析规律 非负数的性质 (1)若干个非负数的和仍是非负数；
(2)有限个非负数的和为0，则每个非负数都为0；
(3)非负数的最小值是0.
3．绝对值的求法
(1)利用数轴确定一个数的绝对值时，首先确定这个数在数轴上表示的点，然后再看一下这个点到原点的距离即可．
(2)利用绝对值计算的法则，首先要判断这个数是正数、零，还是负数．如果绝对值里面的数是非负数，那么这个数的绝对值就是它本身；如果绝对值里面的数是负数，那么这个数的绝对值就是它的相反数，此时去掉绝对值号时，就要把绝对值里的数添上括号，再在括号前面加上负号，如|－5|＝－(－5)＝5.
解技巧 求一个式子的绝对值的方法 求一个式子的绝对值时，要先根据题意判断这个式子的正负性，再根据法则化去绝对值符号．
【例3】 (1)若a＞3，则|a－3|＝__________；
(2)若a＝3，则|a－3|＝__________；
(3)若a＜3，则|a－3|＝__________.
解析：要想正确地化简|a－3|的结果．关键是确定a－3的符号．当a＞3时，a－3＞0，即a－3为正数，由正数的绝对值是它本身，可得结果为a－3；当a＝3时，a－3＝0，所以|a－3|＝|0|＝0；当a＜3时，a－3＜0，即a－3为负数，由负数的绝对值等于它的相反数可得|a－3|＝－(a－3)．
答案：(1)a－3 (2)0 (3)－(a－3)
解技巧 化简含有字母的式子的绝对值的方法 化简含有字母的式子的绝对值时，必须先讨论这个式子的计算结果的正负性，否则会出现错误．
4．绝对值的性质
(1)任何一个有理数均有绝对值，这个绝对值是唯一的，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|；
(2)有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是0，且无最大的绝对值；
(3)绝对值等于其本身的数是正数或0.反过来，如果一个数的绝对值是其本身，那么这个数必是正数或0；
(4)若两个数绝对值的和等于0，则这两个数分别等于0.即若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0；
(5)已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数．
【例4】 如图，点A，B在数轴上对应的有理数分别为m，n，则A，B之间的距离是__________．(用含m，n的式子表示)
解析：由点A，B在数轴上的位置可得，m＜0，n＞0，A，B间的距离AB＝|m|＋|n|＝－m＋n.
答案：－m＋n
5．利用数轴求绝对值问题
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．数a的绝对值记作|a|，例如|5|就是5到原点的距离．
正数的绝对值等于其本身，负数的绝对值为它的相反数．
总结得到：
|a|＝
可知：任何一个数的绝对值总是非负数，即|a|≥0.绝对值为本身的数是非负数；绝对值最小的数是0.
从数轴上观察可知，绝对值为一个正数的数有两个，如|a|＝2，则a＝±2.
注意：从数轴上正负两个方向考虑．
解技巧 利用数轴解决绝对值问题 已知一个数的绝对值求原数时，如果能充分地利用数轴的直观性，能够提高解题的正确性，避免漏解．
【例5－1】 实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简|－b|－|a|的结果是( )．
A．a－b B．b＋a
C．b－a D．－b－a
解析：从数轴上可以看出a＞0，b＜0，所以－b＞0，即－b与a
都是正数，它们的绝对值都等于本身，所以|－b|－|a|＝－b－a.
答案：D
【例5－2】 已知a，b，c中的a，b均为负数，c为正数，且|b|＞|a|＞|c|，
(1)在数轴上表示a，b，c的大致位置；
(2)比较a，b，c的大小．
分析：(1)a，b在原点的左侧，c在原点的右侧，且b到原点的距离最大，a到原点的距离其次，c到原点的距离最小；(2)在数轴上表示的有理数，右边的数总大于左边的数．
解：(1)如图所示．
(2)b＜a＜c.
6.绝对值的化简和计算
化简绝对值符号主要根据绝对值的非负性，解题时看清楚“－”号在绝对值符号的里面还是外面．
如果“－”号在绝对值符号的里面，化简时把“－”号去掉；如果“－”号在绝对值符号的外面，化简时不能把“－”号去掉．
谈重点 化简绝对值符号的关键 化简绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的数是正数还是负数．
【例6】 化简(1)－；(2)＋|－24|；
(3)；(4)|－(－7.5)|；(5)－|－(－0)|.
分析：先判断数的符号，再求绝对值．
解：(1)－＝－；
(2)＋|－24|＝24；
(3)＝3；
(4)|－(－7.5)|＝7.5；
(5)－|－(－0)|＝－|0|＝0.
7．学习绝对值的五大误区
误区一：认为|a|＝a.因为a可以表示正数、负数、0，由绝对值的意义可知，只有当a≥0时，|a|＝a才成立．
例如：已知实数a，b在数轴上的对应位置如图所示，则化简|a|＝a，而|b|＝－b.
误区二：误认为|a|＝|b|，则a＝b.事实上，当|a|＝|b|时，可能a＝b，也可能a＝－b.
绝对值从几何意义上来讲是表示某数的点与原点的距离，互为相反数的两个数，虽然分布在原点的两边，但离原点的距离相等，所以互为相反数的两个数绝对值是相等的，不能由两数绝对值相等就简单的断定两数相等，还有可能互为相反数．
误区三：忽略由绝对值求原数的双值特点．误认为|x|＝a(a≥0)，则x＝a.事实上，当|x|＝a(a≥0)时，x＝±a.
误区四：忽略“0”的特殊性．“0的绝对值是0”可以做两种理解，一种是0的绝对值是它本身(和正数的绝对值相同)，另一种是0的绝对值是它的相反数(和负数的绝对值相同)．
误区五：计算绝对值，混淆绝对值符号与括号的意义．
求多个数的绝对值的四则运算，应按顺序去掉绝对值后再进行运算．解含绝对值与相反数双重运算的计算题，应分清层次按照题意一步一步计算．
【例7－1】 下面推理正确的是( )．
A．若|m|＝|n|，则m＝n
B．若|m|＝n，则m＝n
C．若|m|＝－n，则m＝n
D．若m＝n，则|m|＝|n|
解析：A中，若|m|＝|n|，则m＝±n；B中，若|m|＝n(n一定是非负数)，则m＝±n，例如|±2|＝2，此时m＝±2，n＝2，显然m＝±n；C中，若|m|＝－n，则m＝n或m＝－n，例如|±3|＝－(－3)(n一定是非正数)，此时m＝±3，n＝－3，所以m＝±n.
答案：D
【例7－2】 若m为有理数，且|－m|＝－m，那么m是( )．
A．非正数 B．非负数
C．负数 D．不为零的数
解析：根据“正数或零”的绝对值等于它本身可知，－m≥0，所以它的相反数m≤0，即非正数．
答案：A
【例7－3】 填空：
(1)－(－4)＝__________；
(2)－|－4|＝__________；
(3)|－18|－|－6|＝__________
(4)如果|a|＝|－7|，那么a＝__________.
解析：(1)因为－(－4)表示－4的相反数，而－4的相反数是4，所以－(－4)＝4；(2)因为－|－4|表示|－4|的相反数，而|－4|＝4，所以－|－4|＝－4；(3)因为|－18|＝18，|－6|＝6，所以|－18|－|－6|＝18－6＝12；(4)由绝对值的意义可知绝对值是7的数有两个是±7，所以a＝±7.
答案：(1)4 (2)－4 (3)12 (4)±7
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