2.11 有理数的乘方
1．有理数乘方的概念
(1)乘方的意义：
一般地，n个相同的因数a相乘：，记作an，即＝an，这种求几个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方(或a的n次幂)．
(2)乘方的表示方法
(3)学习乘方的意义，需要注意的几个方面：
①注意乘方的双重含义
乘方指的是求几个相同因数的积的运算，其结果叫做幂．由此不难发现，乘方具有双重含义：一是乘方表示一种运算；二是乘方表示一种特殊的乘法运算的结果．
如25中，25可以看成一种运算，表示有5个2相乘，即25＝2×2×2×2×2，这时，25应读作2的五次方；另一方面，25又可看成5个2相乘的结果，即2×2×2×2×2＝25，这时25却读作2的5次幂；
②注意乘方底数的书写格式
乘方的书写一定要规范，不然会引起误会．当底数是负数或分数时，一定要记住添上括号，以体现底数是负数或分数的整体性．如(－3)×(－3)×(－3)×(－3)应记作(－3)4，不能记作－34.(－3)4与－34表示的意义和结果完全不同．前者表示4个－3相乘，结果为81；后者为4个3相乘的积的相反数，结果为－81.再如×××××应记作6，不能记作；
③一个数可以看成这个数本身的一次方，如3就是31，a就是a1，只是指数1通常省略不写；
④an与－an的区别：ⅰ.an表示n个a相乘，底数是a，指数是n，读作：a的n次方．ⅱ.－an表示n个a乘积的相反数，底数是a，指数是n，读作：a的n次方的相反数．
如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作－3的3次方，表示3个－3相乘，(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．－33＝－(3×3×3)＝－27.所以(－3)3与－33的结果虽然都是－27，但表示的含义并不同．
⑤注意乘方运算的转化．计算乘方运算的结果时，应将乘方运算转化为乘法运算来完成．
如计算(－5)3时，应将它转化为计算(－5)×(－5)×(－5)的积；再如计算4时，应将它转化为计算×××的积．
【例1】 把下列各式写成乘方的形式，并指出底数，指数各是什么？
(1)(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)；
(2)×××；
(3)a×a×a×…×a(2 011个a)．
分析：以上三题都是相同因数相乘，可用乘方的形式表示，相同因数为底数，相同因数的个数为指数，指数写在右上角．
解：(1)(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)×(－8.3)＝(－8.3)5；
(2)×××＝4；
(3)a×a×a×…×a(2 011个a)＝a2 011.
警误区 书写乘方的注意事项 当底数是负数或分数时，写成乘方的形式时，底数一定要加上括号，如(1)，(2)两题．
2．乘方运算的符号法则
(1)有理数乘方的符号法则：①正数的任何次幂是正数；②负数的偶次幂是正数，奇次幂是负数；③0的任何次幂等于0；1的任何次幂等于1.
(2)根据乘方的符号法则和乘方运算的转化，关于乘方有如下几个性质：
①0的任何正整数次幂都是0；互为相反数的偶次幂相等；互为相反数的奇次幂互为相反数．如0n＝0(n是正整数)；(－4)6＝46；(－4)3＝－43.
②进行乘方运算时与其他运算一样，先要确定符号，再计算出绝对值，同时还应注意(－a)2n＝a2n，(－a)2n＋1＝－a2n＋1(n是正整数)，由乘方的法则我们还知道：a2n≥0，即任何有理数的偶次幂是非负数．
谈重点 决定乘方结果的符号的因素 有理数乘方结果的符号取决于：一底数的符号，二指数的奇偶．
【例2】 利用有理数乘方运算的符号法则计算：
(1)(－3)2；(2)1.53；(3)4；(4)(－1)11；
(5)(－1)2；(6)(－1)2n；(7)(－1)2n－1.
分析：根据有理数乘方的符号法则：(2)正数的任何次幂都是正数，(1)(3)(5)(6)是负数的偶次幂，结果为正；(4)(7)是负数的奇次幂，结果为负．
解：(1)(－3)2＝3×3＝9；
(2)1.53＝1.5×1.5×1.5＝3.375；
(3)4＝×××＝；
(4)(－1)11＝－1；
(5)(－1)2＝1；
(6)(－1)2n＝1；
(7)(－1)2n－1＝－1.
3．有理数乘方的运算
有理数乘方运算的思路：确定幂的符号；确定幂的绝对值．
有理数的乘方是一种特殊的乘法运算——因数相同的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
因此有理数的乘方运算可以转化为乘法来运算，先根据有理数乘方的符号法则确定幂的符号，再根据乘方的意义把乘方转化为乘法，来运算幂的绝对值，最后得出幂的结果．
例如计算(－5)3，先确定幂的符号为“－”号，再计算53＝125，即(－5)3＝－125；再如，计算(－2)×32时，先算32＝9，再算(－2)×9＝－18.
正确理解有理数乘方的意义是进行乘方运算的前提，千万不能把底数与指数直接相乘．
在进行有理数的乘方运算时要辨别清楚底数和指数，以及符号问题，避免出错．
【例3－1】 计算：(1)－33；(2)(－2)2；(3)(－3×2)3；(4)－(－2)3.
分析：运算时，先确定符号，再计算乘方．(1)负号在幂的前面，结果是负数；(2)负数的偶次幂，结果是正数；(3)先计算底数－3×2＝－6，再计算(－6)3；(4)先计算(－2)3，其结果是负数，再加上前面的负号，最后结果是正数．
解：(1)－33＝－(3×3×3)＝－27；
(2)(－2)2＝4；
(3)(－3×2)3＝(－6)3＝－216；
(4)－(－2)3＝－(－8)＝8.
警误区 勿把底数乘指数 在进行乘方运算时，一定要避免出现把底数与指数直接相乘的运算错误．如－33＝－(3×3)＝－9，这是由于没有理解乘方的意义导致的．
【例3－2】 计算(－0.25)10×412的值．
分析：直接求(－0.25)10和412比较麻烦，但仔细观察可以发现(－0.25)10＝0.2510，表示10个0.25相乘，而412表示12个4相乘，这就提醒我们利用乘法的交换律和结合律，比较容易求出结果．
解：(－0.25)10×412＝(0.25)10×412
＝[(0.25)10×410]×42＝(0.25×4)10×42
＝1×16＝16.
4.有理数乘方运算的应用
有理数的乘方运算在现实生活中有广泛的应用，给生活中经常出现的大数的读写带来了极大的方便．
现代高科技技术离不开数学技术，数学也是一门神奇的艺术，它那神奇的力量常常让人感到意外和惊奇！
比如，一层楼高约3米，一张纸的厚度只有0.1毫米，0.1毫米与3米相比几乎可以忽略不计，如果我们将纸对折、再对折，如此这样对折20次后，其厚度将比30层楼房还要高，这就是有理数乘方的神奇魔力，在现实生活中有着很广泛的应用．
数学是一门规律性很强的学科，只要掌握了它的规律，很多问题都可以迎刃而解了，乘方的规律也不例外．同学们要认真思考，仔细观察找到有理数乘方应用的规律．
【例4】 “兰州拉面”在学校门口开了一个连锁店，今天开张，做拉面的张师傅站在门口进行广告宣传，当众拉起了拉面．他精湛的拉面技术赢得了围观顾客的阵阵喝彩，吃面的人更是络绎不绝．张师傅先是用一根直径约13厘米的粗面条，把两头捏起来拉长，然后再把两头捏起来拉长，不断地这样，张师傅共拉了10次，在他手里出现了一根根直径约0.1毫米的细面条．
算一算：张师傅拉10次共拉出了多少根细面条？若拉n次呢？(请把探索的结果填入下表中)
次数
1
2
3
4
5
6
…
10
…
n
面条根数
分析：第一次拉出21＝2根，第二次拉出22＝4根，第三次拉出23＝8根，所以第n次拉出2n根．
解：拉面的根数与拉面的次数n有关系，拉面的根数＝2n.
次数
1
2
3
4
5
6
…
10
…
n
面条根数
2
4
8
16
32
64
…
210
…
2n
5．与乘方相关的探究题
探究题是近几年中考中的亮点，渗透多个知识点，形式多样．解题时，一般遵循从特殊到一般的探究思路，先准确计算几个特例的结果，再通过对这些结果的分析、归纳得到一个较一般的结论，最后再应用这个结论解决问题．
由于乘方是一种新运算，它是一种特殊的乘法，特殊在因数相同，是同学们新接触的运算，所以解决问题时要注意，当底数是分数或负数时，写成幂时底数要加括号．
与有理数的乘方有关的探究题主要有以下几种：(1)个位数字是几，在中考中经常涉及到，例如3n的个位数字是3,9,7,1,3,9,7,1，…依次循环；(2)拉面的条数、折纸的张数、握手的次数、绳子的长度、细胞分裂的个数等，都利用2n或n求解．
【例5－1】 有一张厚度是0.1毫米的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1毫米．
(1)对折2次后，厚度为多少毫米？
(2)对折20次后，厚度为多少毫米？
分析：此题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出对应关系．根据问题容易得到当对折两次后厚度为4×0.1＝22×0.1毫米，对折3次后厚度变为8×0.1＝23×0.1毫米，对折4次是16×0.1＝24×0.1毫米，对折5次是32×0.1＝25×0.1毫米，……，从中探寻规律，解答问题．
解：(1)0.1×22＝0.4(毫米)．
(2)(220×0.1)毫米．
【例5－2】 1米长的小棒，第1次截去一半，第2次截去剩下的一半，如此截下去，第7次后剩下的小棒有多少米长？
分析：此题的关键是找出每次截完后，剩下的小棒占整根棒的比例与所截次数之间的关系．
解：第7次后剩下的小棒有7×1＝(米)．
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