3.4 整式的加减
1．同类项
所含字母相同，并且相同字母的指数也相等的项叫做同类项．在学习同类项时，注意以下几点：
(1)同类项是指几个单项式之间的一种特殊关系，即若干个单项式是同类项必须满足：①所含字母相同，②相同字母的指数也分别相等，两者缺一不可．如0.2x2y与0.2xy2所含字母相同，但相同字母的指数并不相等，因此0.2x2y与0.2xy2不是同类项；
(2)所含字母相同，并且次数也相同的两个单项式不一定是同类项，如4a2b3与－a3b2所含字母都是a，b，两个单项式的次数都是5，但相同字母的指数并不相等，因此不是同类项；
(3)同类项与所含字母的顺序无关，如3x2y与－yx2虽然所含字母x，y的顺序不同，但x的指数都是2，y的指数都是1，因此它们是同类项；
(4)同类项与单项式的系数无关，如3m2n3与－m2n3的系数不同，但它们是同类项，0.2x2y与0.2xy2虽然系数相同，却不是同类项；
(5)作为特例，几个常数项也是同类项，如－125与12,23与32是同类项；若把某些多项式看成一个整体，它们也是同类项，如若把(x－y)看成一个整体，则－4(x－y)与7(x－y)，3(x－y)2与－6(x－y)2都是同类项；
(6)由于π是一个以字母面孔出现的特殊常数，因此在判断同类项时，要注意提高对π的警惕．如在判断－x2y3与0.5πx2y3是否为同类项时，有的同学误把π当作字母而断定－x2y3与0.5πx2y3不是同类项．其实，－x2y3与0.5πx2y3是同类项，原因就在于π是常数，因此－x2y3与0.5πx2y3的字母部分相同．
【例1】 下列各题中的两项是同类项的个数是( )．
(1)2ab2与－4a2b；(2)－2abc与acb；(3)－2a2b与－6a2c；(4)－10与15.
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：判别两项是否是同类项，要看所给的两项是否满足同类项所具备的两个条件．同时还要注意以下几点：①同类项与系数大小没有关系；②同类项与字母的排列顺序没有关系；③几个常数(有理数)也是同类项．本题中(1)不是同类项，因为相同字母的指数不相同；(2)是同类项，因为具备同类项的两个条件；(3)不是同类项，因为两项所含的字母不相同；(4)是同类项，因为几个常数也叫做同类项．
答案：B
谈重点 识别同类项的关键 识别同类项应把握两个方面，一是字母，二是相同字母的指数，与系数、顺序无关．
2．合并同类项
(1)概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
①一个多项式中的同类项可能有几组，应正确找出多项式的同类项，将每组同类项分别合并；②几个常数项也是同类项，也需要合并成一项．
(2)法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变．
①只有同类项才能合并，不是同类项的项不能合并．
②合并同类项，只合并系数，字母和字母的指数不变．
③合并同类项时要彻底，不要漏项．
④合并同类项后的结果，若系数是带分数，一定要化成假分数．
⑤若合并同类项后系数是1或－1，则应省去1.
⑥若合并同类项后系数为0，则合并的结果等于0.
⑦合并同类项的类型比较多，在合并同类项时，要根据题目特点灵活合并．
(3)步骤：
①用各种不同的符号标出同类项，这样可防止弄错，特别可防止漏掉同类项．②利用加法交换律，把同类项连同前面的性质符号写在一起，再用括号括起来．
谈重点 合并同类项的关键 合并同类项的关键是先标出同类项再进行合并，合并同类项时，只把系数相加减，字母及其指数不变．
【例2】 合并同类项4x2－6x＋3－5x2－7x－1.
分析：合并同类项首先要找出同类项，然后再根据合并同类项的法则进行合并．本题的同类项有：4x2和－5x2，－6x和－7x,3和－1.
解：4x2－6x＋3－5x2－7x－1
＝(4x2－5x2)＋(－6x－7x)＋(3－1)
＝－x2－13x＋2.
警误区 合并同类项要注意的问题 合并同类项应注意系数包括前面的符号，如4x2和－5x2是同类项，不要漏掉－5x2前面的“－”号．
3．去括号
(1)为什么要去括号？
在有理数运算中，如有括号，一般要先算括号里面的．但在整式运算中，如有括号，常常无法先算括号里的，此时需先去括号，才能使运算进行下去．如化简5a＋2b＋(3a－4b)，若不先去括号，就无法化简．
(2)怎样去括号？
①利用去括号法则去括号
去括号法则：
括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里各项都不改变正负号；
括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变正负号．
②利用分配律去括号
a(b＋c)＝ab＋ac，这是我们熟知的分配律．如果视括号前的“＋”号为“＋1”，“－”号为“－1”，那么利用分配律也可以去括号．
(3)去括号的注意事项
①把括号和括号前的符号视为一个整体，就是说去括号时，要连同它前面的符号同时去掉．
②若括号前的系数不是“1”，去括号时应灵活选择适当的方法去括号．
③去括号法则是从大量的运算事实中推导出来的，遵循上述去括号的法则可以确保括号去掉后与去掉前两个整式的相等性；如果不遵循法则，括号虽然去掉了，但这种变形不能称是去括号．
【例3】 x－(2x－y)的运算结果为__________．
解析：此题的括号前为“－”号，所以在去括号时，括号里的各项都要改变符号，括号里的项为2x，－y，变号后为－2x，y，所以结果为x－2x＋y，合并同类项，算得最后结果即可．
答案：－x＋y
4．添括号
(1)添括号思路：确定放入括号中的项；确定括号前的符号；决定放入括号中的项是否变号．
①a＋b－c＝a＋(b－c)；
②－a＋b＋c－d＝(－a＋b)＋(c－d)；
③3a－2b＋c＝＋(3a－2b＋c)＝－(－3a＋2b－c)．
(2)添括号法则：
所添括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不改变正负号；
所添括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变正负号．
【例4】 按下列要求，将多项式x3－5x2－4x＋9的后两项用( )括起来：
(1)括号前面带有“＋”号；
(2)括号前面带有“－”号．
分析：首先要确认x3－5x2－4x＋9的后两项是什么——－4x，＋9，要特别注意每一项都包括前面的符号；再次确认添的是什么——是( )及它前面的“＋”号或“－”号．若是“＋”号，则放入括号中的项不改变正负号；若是“－”号，则放入括号中的项要改变正负号．
解：(1)x3－5x2－4x＋9
＝x3－5x2＋(－4x＋9)；
(2)x3－5x2－4x＋9
＝x3－5x2－(4x－9)．
解技巧 添括号问题的解题思路 (1)确认要放入括号中的项；(2)确认括号前的符号，从而决定放入括号中的项是否改变正负号．
5．整式的加减
整式的加减实质上就是“去括号”和“合并同类项”法则的综合运用，一般步骤是：先去括号，再合并同类项．
【例5】 已知A＝2x2－3x＋1，B＝3x2－2x－4，求3A－2B.
分析：A，B分别表示两个多项式，先把这两个多项式分别进行整体代入，然后再去括号，合并同类项．
解：3A－2B＝3(2x2－3x＋1)－2(3x2－2x－4)＝6x2－9x＋3－6x2＋4x＋8＝－5x＋11.
警误区 进行整式的加减要注意的问题 一方面注意把多项式当作整体加上括号；另一方面当括号前面既有数又有“－”号时，注意去括号时的符号变化情况．
6．深入理解同类项以及合并同类项的意义
根据同类项的概念求整式的未知次数是一个重点题型，解决此类问题主要根据同类项的相同字母的指数相同构造关系式．注意解决本题时所体现的方程思想与分类讨论的思想．
考查方式主要有以下两种：①直接告诉两个单项式是同类项，②间接告诉两个单项式是同类项，例如告诉两个单项式的和是单项式，两个单项式能够合并为一项等．
析规律 能合并的项是同类项 只有同类项才能合并，非同类项不能合并．所以如果两个单项式能够合并为一项，则这两个单项式一定是同类项．
【例6－1】 若2xm－1y2与－x2yn的和是单项式，则(－m)n＝__________.
解析：要使2xm－1y2与－x2yn的和是单项式，必须要求这两个单项式是同类项，根据同类项的意义“相同字母的指数分别相同”可得m－1＝2，即m＝3.又知n＝2，所以(－m)n可求．
答案：9
【例6－2】 若a4b3与3am－1bn是同类项，－2axb|y|与3am－1bn是同类项，则x＝__________，y＝__________.
解析：由同类项的概念可知，a4b3与－2axb|y|也是同类项，从而有x＝4，|y|＝3.∴x，y的值可求．
答案：4 ±3
解技巧 由同类项的概念求字母指数的问题的解题思路 解决此类问题时，一定要先求容易计算的字母的次数，不容易计算的字母的次数或者需要借助另一个未知数才能计算的字母的次数可以放在最后计算．
7.代数式的化简求值
已知代数式和代数式中字母的取值，求代数式的值，一般不要直接将字母的取值代入代数式，而应该先将代数式进行化简，然后再代入求值(有时往往要用到整体思想)．若直接代入，将不胜其繁，不可取，请同学们注意．
含多层括号的整式加减实质上就是去括号、合并同类项的化简过程，化简多项式时，如果题中含有多重括号，可由里往外逐层去括号，也可以由外往里逐层去括号，但是要注意内层括号看成一项来处理．
将代数式化简到最简形式后，如果代数式里面不再含有字母，而是一个常数，则代数式的取值就与字母的取值无关．
【例7－1】 求代数式－3x2＋5x－0.5x2＋x－1的值，其中x＝2，说一说你是怎么算的．
分析：代数式中的项－3x2与－0.5x2,5x与x是同类项，要先合并同类项，再代入x的值，从而求代数式的值，先化简再求值可使运算简便．
解：原式＝－3x2＋5x－0.5x2＋x－1＝－3.5x2＋6x－1，当x＝2时，原式＝－3.5×22＋6×2－1＝－14＋12－1＝－3.
【例7－2】 李老师给学生出了一道题：当a＝0.35，b＝－0.28时，求7a3－6a3b＋3a2b＋3a3＋6a3b－3a2b－10a3的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件a＝0.35，b＝－0.28是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说得有道理？为什么？
分析：要判断谁说得有道理，可以先合并同类项，如果最后的结果是个常数，则小聪说得对，否则，小明说得有道理．
解：原式＝(7＋3－10)a3＋(－6＋6)a3b＋(3－3)a2b＝0，合并的结果为0，与a，b的取值无关，所以小聪说得有道理．
8．整式加减中的数学思想的应用
学习整式的加减，不仅要熟练地掌握运算法则进行整式的加减运算，而且还要了解其中蕴涵的数学思想方法．
(1)分类讨论思想
分类讨论思想就是根据问题可能存在的情况，进行分类讨论，防止出现漏解的一种数学思想方法．
(2)由一般到特殊的思想
根据“如果一个命题在一般情况下成立，那么它在特殊情况下也必定成立”的原理，这样就能取特殊值代入求值，则很容易就能求出所求的值．
(3)化归转化思想
化归转化思想就是将需要研究和解决的新问题变为已经学过的老问题来处理的一种数学思想．陌生问题熟悉化，复杂问题简单化，抽象问题具体化，就是化归转化思想的具体表现．
解决此类问题时，分层、分阶梯的分析、思考是一种很好的解题途径．
【例8－1】 若多项式2xn－1－xn＋3xm＋1是五次二项式，试求3n2＋2m－5的值．
分析：求代数式3n2＋2m－5的值，必须根据条件求出n和m的值．从表面上看所给的多项式2xn－1－xn＋3xm＋1有三项，这就说明某两项是相同的，显然2xn－1和xn不可能合并成一项．
解：由多项式2xn－1－xn＋3xm＋1是五次二项式，可分情况讨论：
①若2xn－1与3xm＋1是同类项，而－xn是五次的，
则n＝5，n－1＝4，m＋1＝n－1＝4，得m＝3.
所以3n2＋2m－5＝3×52＋2×3－5＝76；
②若－xn与3xm＋1是同类项，且都是五次的，
则n＝5，m＋1＝5，得m＝4，
所以3n2＋2m－5＝3×52＋2×4－5＝78.
【例8－2】 已知a＋b＋c＝0，abc＞0，求＋＋.
分析：本题可以用特殊值法求解，用特殊值法求解可以把看似复杂的问题变得简单明确．
解：因为a＋b＋c＝0，abc＞0，
所以我们不妨设a＝3，b＝－1，c＝－2，
则原式＝＋＋＝－1＋1＋1＝1.
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