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2014年中考数学阅读理解型问题复习

时间:2014-02-05 22:53:54作者:佚名教案来源:网络
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中考考点精讲
考点一: 阅读试题提供新定义、新定理,解决新问题
例1  (2013•六盘水)阅读材料:
关于三角函数还有如下的公式:
sin(α±β)=sinαcosβ±cosasinβ;
tan(α±β)= 。
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.
例:tan15°=tan(45°-30°)= = =2-。
根据以上阅读材料,请选择适当的公式解答下面问题
(1)计算:sin15°;
(2)乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一(图1),小华想用所学知识来测量该铁塔的高度,如图2,小华站在离塔底A距离7米的C处,测得塔顶的仰角为75°,小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米,请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度.(精确到0.1米,参考数据=1.732, =1.414)

思路分析:(1)把15°化为45°-30°以后,再利用公式sin(α±β)=sinαcosβ±cosasinβ计算,即可求出sin15°的值;
(2)先根据锐角三角函数的定义求出BE的长,再根据AB=AE+BE即可得出结论.
解:(1)sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=;

(2)在Rt△BDE中,∵∠BED=90°,∠BDE=75°,DE=AC=7米,
∴BE=DE•tan∠BDE=DE•tan75°.
∵tan75°=tan(45°+30°)== = =2+。
∴BE=7(2+)=14+7,
∴AB=AE+BE=1.62+14+7≈27.7(米).
答:乌蒙铁塔的高度约为27.7米.
点评:本题考查了:
(1)特殊角的三角函数值的应用,属于新题型,解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解.
(2)解直角三角形的应用-仰角俯角问题,先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键

对应训练
1.(2013•沈阳)定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”.
性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等.
理解:如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是“友好三角形”,并且S△ACD=S△BCD.
应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O.
(1)求证:△AOB和△AOE是“友好三角形”;
(2)连接OD,若△AOE和△DOE是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积.
探究:在△ABC中,∠A=30°,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,△ACD和△BCD是“友好三角形”,将△ACD沿CD所在直线翻折,得
到△A′CD,若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,请直接写出△ABC的面积.

1.分析:(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABFE是平行四边形,然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得△AOE和△AOB是友好三角形;
(2)△AOE和△DOE是“友好三角形”,即可得到E是AD的中点,则可以求得△ABE、△ABF的面积,根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF即可求解.
探究:画出符合条件的两种情况:①求出四边形A′DCB是平行四边形,求出BC和A′D推出∠ACB=90°,根据三角形面积公式求出即可;②求出高CQ,求出△A′DC的面积.即可求出△ABC的面积.

解答:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∵AE=BF,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴OE=OB,
∴△AOE和△AOB是友好三角形.
(2)解:∵△AOE和△DOE是友好三角形,
∴S△AOE=S△DOE,AE=ED=AD=3,
∵△AOB与△AOE是友好三角形,
∴S△AOB=S△AOE.
∵△AOE≌△FOB,
∴S△AOE=S△FOB,
∴S△AOD=S△ABF,
∴S四边形CDOF=S矩形ABCD-2S△ABF=4×6-2××4×3=12.
探究:
解:分为两种情况:①如图1,

∵S△ACD=S△BCD.
∴AD=BD=AB,
∵沿CD折叠A和A′重合,
∴AD=A′D=AB=×4=2,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC,
∴DO=OB,A′O=CO,
∴四边形A′DCB是平行四边形,
∴BC=A′D=2,
过B作BM⊥AC于M,
∵AB=4,∠BAC=30°,
∴BM=AB=2=BC,
即C和M重合,
∴∠ACB=90°,
由勾股定理得:AC==2,
∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2;
②如图2,

∵S△ACD=S△BCD.
∴AD=BD=AB,
∵沿CD折叠A和A′重合,
∴AD=A′D=AB=×4=2,
∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的,
∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC,
∴DO=OA′,BO=CO,
∴四边形A′DCB是平行四边形,
∴BD=A′C=2,
过C作CQ⊥A′D于Q,
∵A′C=2,∠DA′C=∠BAC=30°,
∴CQ=A′C=1,
∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2;
即△ABC的面积是2或2.
点评:本题考查了平行四边形性质和判定,三角形的面积,勾股定理的应用,解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理.题目比较好,但是有一定的难度.

考点二、阅读试题信息,归纳总结提炼数学思想方法
例2  (2013•齐齐哈尔)在国道202公路改建工程中,某路段长4000米,由甲乙两个工程队拟在30天内(含30天)合作完成,已知两个工程队各有10名工人(设甲乙两个工程队的工人全部参与生产,甲工程队每人每天的工作量相同,乙工程队每人每天的工作量相同),甲工程队1天、乙工程队2天共修路200米;甲工程队2天,乙工程队3天共修路350米.
(1)试问甲乙两个工程队每天分别修路多少米?
(2)甲乙两个工程队施工10天后,由于工作需要需从甲队抽调m人去学习新技术,总部要求在规定时间内完成,请问甲队可以抽调多少人?
(3)已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元,乙工程队每天的施工费用为0.35万元,要使该工程的施工费用最低,甲乙两队需各做多少天?最低费用为多少?
思路分析:(1)设甲队每天修路x米,乙队每天修路y米,然后根据两队修路的长度分别为200米和350米两个等量关系列出方程组,然后解方程组即可得解;
(2)根据甲队抽调m人后两队所修路的长度不小于4000米,列出一元一次不等式,然后求出m的取值范围,再根据m是正整数解答;
(3)设甲工程队修a天,乙工程队修b天,根据所修路的长度为4000米列出方程整理并用a表示出b,再根据0≤b≤30表示出a的取值范围,再根据总费用等于两队的费用之和列式整理,然后根据一次函数的增减性解答.
解:(1)设甲队每天修路x米,乙队每天修路y米,
依题意得,,
解得,
答:甲工程队每天修路100米,乙工程队每天修路50米;

(2)依题意得,10×100+20××100+30×50≥4000,
解得,m≤,
∵0<m<10,
∴0<m≤,
∵m为正整数,
∴m=1或2,
∴甲队可以抽调1人或2人;

(3)设甲工程队修a天,乙工程队修b天,
依题意得,100a+50b=4000,
所以,b=80-2a,
∵0≤b≤30,
∴0≤80-2a≤30,
解得25≤a≤40,
又∵0≤a≤30,
∴25≤a≤30,
设总费用为W元,依题意得,
W=0.6a+0.35b,
=0.6a+0.35(80-2a),
=-0.1a+28,
∵-0.1<0,
∴当a=30时,W最小=-0.1×30+28=25(万元),
此时b=80-2a=80-2×30=20(天).
答:甲工程队需做30天,乙工程队需做20天,最低费用为25万元.
点评:本题考查了一次函数的应用,二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用,读懂题目信息,理清题中熟练关系,准确找出等量关系与不等量关系分别列出方程组和不等式是解题的关键,(3)先根据总工作量表示出甲乙两个工程队的天数的关系是解题的关键.
对应训练
2.(2013•宁波)某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机,这两种手机的进价和售价如下表所示:
 甲 乙
进价(元/部) 4000 2500
售价(元/部) 4300 3000
该商场计划购进两种手机若干部,共需15.5万元,预计全部销售后可获毛利润共2.1万元.
(毛利润=(售价-进价)×销售量)
(1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部?
(2)通过市场调研,该商场决定在原计划的基础上,减少甲种手机的购进数量,增加乙种手机的购进数量.已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍,而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元,该商场怎样进货,使全部销售后获得的毛利润最大?并求出最大毛利润.
2.解:(1)设商场计划购进甲种手机x部,乙种手机y部,由题意,得

解得:,
答:商场计划购进甲种手机20部,乙种手机30部;

(2)设甲种手机减少a部,则乙种手机增加2a部,由题意,得
0.4(20-a)+0.25(30+2a)≤16,
解得:a≤5.
设全部销售后获得的毛利润为W元,由题意,得
W=0.03(20-a)+0.05(30+2a)
=0.07a+2.1
∵k=0.07>0,
∴W随a的增大而增大,
∴当a=5时,W最大=2.45.
答:当该商场购进甲种手机15部,乙种手机40部时,全部销售后获利最大.最大毛利润为2.45万元.
考点三、阅读相关信息,通过归纳探索,发现规律,得出结论
例3  (2013•连云港)小明在一次数学兴趣小组活动中,对一个数学问题作如下探究:
问题情境:如图1,四边形ABCD中,AD∥BC,点E为DC边的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,求证:S四边形ABCD=S△ABF(S表示面积)

问题迁移:如图2:在已知锐角∠AOB内有一个定点P.过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现,△MON的面积存在最小值,请问当直线MN在什么位置时,△MON的面积最小,并说明理由.

实际应用:如图3,若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情,防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线,建立一个面积最小的三角形隔离区△MON.若测得∠AOB=66°,∠POB=30°,OP=4km,试求△MON的面积.(结果精确到0.1km2)(参考数据:sin66°≈0.91,tan66°≈2.25, ≈1.73)
拓展延伸:如图4,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A、B、C、P的坐标分别为(6,0)(6,3)(,)、(4、2),过点p的直线l与四边形OABC一组对边相交,将四边形OABC分成两个四边形,求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值.
思路分析:问题情境:根据可以求得△ADE≌△FCE,就可以得出S△ADE=S△FCE就可以得出结论;
问题迁移:根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,过点M作MG∥OB交EF于G.由全等三角形的性质可以得出结论;
实际运用:如图3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分别为P1,M1,再根据条件由三角函数值就可以求出结论;
拓展延伸:分情况讨论当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N,延长OC、AB交于点D,由条件可以得出AD=6,就可以求出△OAD的面积,再根据问题迁移的结论就可以求出最大值;
当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N,延长CB交x轴于T,由B、C的坐标可得直线BC的解析式,就可以求出T的坐标,从而求出△OCT的面积,再由问题迁移的结论可以求出最大值,通过比较久可以求出结论.
解:问题情境:∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE.
∵点E为DC边的中点,
∴DE=CE.
∵在△ADE和△FCE中,

∴△ADE≌△FCE(AAS),
∴S△ADE=S△FCE,
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE,
即S四边形ABCD=S△ABF;

问题迁移:出当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小,如图2,

过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F,设PF<PE,过点M作MG∥OB交EF于G,
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON.
∵S四边形MOFG<S△EOF,
∴S△MON<S△EOF,
∴当点P是MN的中点时S△MON最小;

实际运用:如图3,作PP1⊥OB,MM1⊥OB,垂足分别为P1,M1,

在Rt△OPP1中,
∵∠POB=30°,
∴PP1=OP=2,OP1=2.
由问题迁移的结论知道,当PM=PN时,△MON的面积最小,
∴MM1=2PP1=4,M1P1=P1N.
在Rt△OMM1中,
tan∠AOB=,
2.25=,
∴OM1=,
∴M1P1=P1N=2-,
∴ON=OP1+P1N=2+2-=4-.
∴S△MON=ON•MM1=(4-)×4=8-≈10.3km2.

拓展延伸:①如图4,当过点P的直线l与四边形OABC的一组对边OC、AB分别交于点M、N,延长OC、AB交于点D,
∵C(,),
∴∠AOC=45°,
∴AO=AD.
∴A(6,0),
∴OA=6,
∴AD=6.
∴S△AOD=×6×6=18,
由问题迁移的结论可知,当PN=PM时,△MND的面积最小,
∴四边形ANMO的面积最大.
作PP1⊥OA,MM1⊥OA,垂足分别为P1,M1,
∴M1P1=P1A=2,
∴OM1=M1M=2,
∴MN∥OA,
∴S四边形OANM=S△OMM1+S四边形ANPP1=×2×2+2×4=10
②如图5,当过点P的直线l与四边形OABC的另一组对边CB、OA分别交M、N,延长CB交x轴于T,

∵C(,)、B(6,3),设直线BC的解析式为y=kx+b,由题意,得

解得:,
∴y=-x+9,
当y=0时,x=9,
∴T(9,0).
∴S△OCT=××9=.
由问题迁移的结论可知,当PM=PN时,△MNT的面积最小,
∴四边形CMNO的面积最大.
∴NP1=M1P1,MM1=2PP1=4,
∴4=-x+9,
∴x=5,
∴M(5,4),
∴OM1=5.
∵P(4,2),
∴OP1=4,
∴P1M1=NP1=1,
∴ON=3,
∴NT=6.
∴S△MNT=×4×6=12,
∴S四边形OCMN=-12=<10.
∴综上所述:截得四边形面积的最大值为10.


对应训练
3.(2013•江西)某学校活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
●操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是          
(填序号即可)
①AF=AG=AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB.
●数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD与ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程;
●类比探究:
在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状.答:         

思路分析:操作发现:由条件可以通过三角形全等和轴对称的性质,直角三角形的性质就可以得出结论;
数学思考:作AB、AC的中点F、G,连接DF,MF,EG,MG,根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形,从而得出△DFM≌△MGE,根据其性质就可以得出结论;
类比探究:作AB、AC的中点F、G,连接DF,MF,EG,MG,DF和MG相交于H,根据三角形的中位线的性质K可以得出△DFM≌△MGE,由全等三角形的性质就可以得出结论;
解:●操作发现:
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形,
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°,∠ADB=∠AEC=90°
∵在△ADB和△AEC中,

∴△ADB≌△AEC(AAS),
∴BD=CE,AD=AE,
∵DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,
∴AF=BF=DF=AB,AG=GC=GE=AC.
∵AB=AC,
∴AF=AG=AB,故①正确;
∵M是BC的中点,
∴BM=CM.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE,
即∠DBM=∠ECM.
∵在△DBM和△ECM中

∴△DBM≌△ECM(SAS),
∴MD=ME.故②正确;
如图,连接AM,根据前面的证明可以得出将图形1,沿AM对折左右两部分能完全重合,

∴整个图形是轴对称图形,故③正确.
∵AB=AC,BM=CM,
∴AM⊥BC,
∴∠AMB=∠AMC=90°,
∵∠ADM=90°,
∴四边形ADBM四点共圆,
∴∠AMD=∠ABD=45°.
∵AM是对称轴,
∴∠AME=∠AMD=45°,
∴∠DME=90°,
∴MD⊥ME,故④正确,
故答案为:①②③④


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