第9讲 函数概念与平面直角坐标系
【考纲要求】
1．会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标．
2．掌握坐标平面内点的坐标特征．
3．了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析．
4．能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值.
【命题趋势】
函数作为基础知识，在各地的中考试题中主要以填空题、选择题的形式来考查函数的基本概念、函数自变量的取值范围、函数之间的变化规律及其图象.
【考点探究】
考点一、平面直角坐标系内点的坐标特征
【例1】若点P(a，a－2)在第四象限，则a的取值范围是( )
A．－2＜a＜0 B．0＜a＜2
C．a＞2 D．a＜0
解析：第四象限点的横坐标大于0，纵坐标小于0，结合点的坐标特征构造不等式组
解这个不等式组得0＜a＜2，故选B.
答案：B[
方法总结 解这类题的关键是明确各象限内点的坐标特征，总结规律，再结合规律列出不等式(组)求解．
触类旁通1 在平面直角坐标系中，如果mn＞0，那么点(m，|n|)一定在( )
A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限
C．第二象限或第四象限 D．第三象限或第四象限
考点二、图形的变换与坐标
【例2】在如图所示的方格纸中，把每个小正方形的顶点称为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形，解决下面的问题：
(1)请描述图中的格点△A′B′C′是由格点△ABC通过哪些变换方式得到的？
(2)若以直线a，b为坐标轴建立平面直角坐标系后，点C的坐标为(－3,1)，请写出格点△DEF各顶点的坐标，并求出△DEF的面积．
分析：(1)→→
(2)→→→
解：(1)先将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，再向右平移5个单位得到△A′B′C′(或先平移再旋转也可)．
(2)D(0，－2)，E(－4，－4)，F(2，－3)．
S△DEF＝6×2－×4×2－×2×1－×6×1＝4.
方法总结 在平面直角坐标系中，图形的平移、对称、旋转等变换会引起坐标的变化，同样，坐标的变化也会引起图形的变换，两者紧密结合充分体现了数形结合的思想．
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触类旁通2 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A，C的坐标分别为(－4,5)，(－1,3)．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
(3)写出点B′的坐标．
考点三、函数图象的应用
【例3】如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为t，蚂蚁到O点的直线距离为s，则s关于t的函数图象大致为( )
解析：本题是典型的数形结合问题，通过对图形的观察，可以看出s与t的函数图象应分为三段：(1)当蚂蚁从点O到点A时，s与t成正比例函数关系；(2)当蚂蚁从点A到点B时，s不变；(3)当蚂蚁从点B回到点O时，s与t成一次函数关系，且回到点O时，s为零．
答案：C
方法总结 利用函数关系和图象分析解决实际问题，要透过问题情境准确地寻找出问题的自变量和函数，要看清横坐标和纵坐标表示的是哪两个变量，探求变量和函数之间的变化趋势，仔细观察图象(直线或曲线)的“走势”特点，合理地分析变化过程，准确地结合图象解决实际问题．
触类旁通3 在全民健身环城越野赛中，甲、乙两选手的行程y(千米)随时间(时)变化的图象(全程)如图所示．有下列说法：①起跑后1小时内，甲在乙的前面；②第1小时两人都跑了10千米；③甲比乙先到达终点；④两人都跑了20千米．其中正确的说法有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点四、函数自变量取值范围的确定
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【例4】函数y＝中自变量x的取值范围是( )
A．x≥－3 B．x≥－3且x≠1
C．x≠1 D．x≠－3且x≠1
解析：由题意得x＋3≥0，且x－1≠0，所以x≥－3且x≠1.
答案：B
方法总结 自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义，主要体现在以下几种：①含自变量的解析式是整式：自变量的取值范围是全体实数；②含自变量的解析式是分式：自变量的取值范围是使得分母不为0的实数；③含自变量的解析式是二次根式：自变量的取值范围是使被开方式为非负的实数；④含自变量的解析式既是分式又是二次根式时：自变量的取值范围是它们的公共解，一般列不等式组求解；⑤当函数解析式表示实际问题时：自变量的取值必须使实际问题有意义．
触类旁通4 函数y＝中自变量x的取值范围是( )
A．x≤3 B．x＜3 C．x≠3 D．x＞3
【经典考题】
1．(2013成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，点P(－3,5)关于y轴的对称点的坐标为( )
A．(－3，－5) B．(3,5)
C．(3，－5) D．(5，－3)
2．(2013重庆)年“国际攀岩比赛”在重庆举行，小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是( )
3．(2013湘潭)下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝x－3 D．y＝
4．(2013绍兴)小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家300米的报亭，母亲随即按原速度返回家．父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家．则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系的图象分别是__________(只需填写序号)．
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5．(2013菏泽)如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
【模拟预测】
1．在平面直角坐标系中，点A(2,3)与点B关于x轴对称，则点B的坐标为( )
A．(3,2) B．(－2，－3) C．(－2,3) D．(2，－3)
2．下列函数中，自变量x的取值范围为x＜1的是( )
A．y＝ B．y＝1－
C．y＝ D．y＝＋
3．以平行四边形ABCD的顶点A为原点，直线AD为x轴建立直角坐标系，已知B，D两点的坐标分别为(1,3)，(4,0)，把平行四边形向上平移2个单位，那么C点平移后相应的点的坐标是( )
A．(3,3) B．(5,3) C．(3,5) D．(5,5)
4．若点P(a，a－b)在第四象限，则点Q(b，－a)在( )
A．第四象限 B．第三象限
C．第二象限 D．第一象限
5．在一次“寻宝”游戏中，“寻宝”人找到了如图所标示的两个标志点A(2,3)，B(4,1)，A，B两点到“宝藏”点的距离都是，则“宝藏”点的坐标是( )
A．(1,0) B．(5,4)
C．(1,0)或(5,4) D．(0,1)或(4,5)
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6．小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢走至离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家．下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是( )[来源^*:&中教%网~]
7．如图所示，正方形ABCD的边长为10，点E在CB的延长线上，EB＝10，点P在边CD上运动(C，D两点除外)，EP与AB相交于点F，若CP＝x，四边形FBCP的面积为y，则y关于x的函数关系式是__________．
8．小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2 400 m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96 m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2 min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为s1 m，小明爸爸与家之间的距离为s2 m，图中折线OABD，线段EF分别是表示s1，s2与t之间函数关系的图象．
(1)求s2与t之间的函数关系式；
(2)小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？
参考答案
【考点探究】
触类旁通1．A ∵mn＞0，∴m＞0，n＞0或m＜0，n＜0.
当m＞0，n＞0时，点(m，|n|)在第一象限；
当m＜0，n＜0时，点(m，|n|)在第二象限，故选A．
触类旁通2．解：(1)(2)如图所示．
(3)B′(2,1)．
触类旁通3．C 因为利用图象可判断①②④正确，③错误，故选C.
触类旁通4．B 因为由题意得3－x＞0，所以x＜3.
【经典考题】
1．B 关于y轴对称的两点的坐标，横坐标相反，纵坐标相同．
2．B 根据题意可得，s与t的函数关系的大致图象分为四段：
第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小；
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第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大；
第三段，与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变；
第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为0.
只有B选项的图象符合，故选B.
3．D A项中，自变量x的取值范围是x≠3；B项中，x＞3；C项中，x为全体实数．
4．④，② ∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②；
∵父亲看了10分钟报纸后，用了15分钟返回家，
∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④.
5．解：(1)由题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴．
在Rt△ABE中，AE＝AO＝10，AB＝8，BE＝＝＝6，∴CE＝4，∴E(4,8)．
在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2，
又DE＝OD，∴(8－OD)2＋42＝OD2，
∴OD＝5，∴D(0,5)．
【模拟预测】
1．D 2．D 3．D
4．A 由题意，得a＞0，a－b＜0，所以a＜b，
所以b＞a＞0，－a＜0.
5．C
6．C 小华的爷爷慢走至绿岛公园时间用得长，距离增得慢；到绿岛公园后打了一会儿太极拳，时间在变，距离没有变；回家时时间用得少，离家的距离缩短得快．故选C.
7．y＝x(0＜x＜10) 因为y＝＝＝x(0＜x＜10)．
8．解：(1)2 400÷96＝25(min)，
∴点E，F的坐标分别为(0,2 400)，(25,0)．
设EF的解析式为s2＝kt＋b，则有
解得∴解析式为s2＝－96t＋2 400.
(2)B，D点的坐标分别为(12,2 400)，(22,0)．
由待定系数法可得BD段的解析式为s＝－240t＋5 280，与s2＝－96t＋2 400的交点坐标为(20,480)．
∴小明从家出发，经过20分钟在返回途中追上爸爸，这时他们距离家480 m.
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