等腰三角形（二）演示文稿.ppt

第一节 等腰三角形 ( 二 ) 第一章 三角形的证明 想一想 , 做一做 在等腰三角形中作出一些线段 ( 如角平分线、中线、高等 ) ，你能发现其中一些相等的线段吗 ? 你能证明你的结论吗 ? 作图观察 , 我们可以发现： 等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等 ． 我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它． 下面我们就来证明上面提到的线段中的一种： 等腰三角形两底角的平分线相等 ． 已知：如图，在△ ABC 中， AB=AC ， BD 、 CE 是△ ABC 的角平分线． 例 1. 证明 : 等腰三角形两底角的平分线相等 . 用心想一想，马到功成 2 1 E D C B A 求证： BD=CE ． 证明：∵ AB=AC ，∴∠ ABC=∠ACB( 等边对等角 ) ． ∵∠1= ∠ABC ，∠ 2= ∠ACB ，∴∠ 1=∠2 ． 在△ BDC 和△ CEB 中， ∵∠ACB=∠ABC ， BC=CB ，∠ 1=∠2 ． ∴△BDC≌△CEB(ASA) ． ∴BD=CE( 全等三角形的对应边相等 ) ． 已知：如图，在△ ABC 中， AB=AC ， BD 、 CE 是△ ABC 的角平分线． 例 1. 证明 : 等腰三角形两底角的平分线相等 . 用心想一想，马到功成 4 3 E D C B A 求证： BD=CE ． 一题多解 证明：∵ AB=AC ，∴∠ ABC=∠ACB ． ∵∠3= ∠ABC ，∠ 4= ∠ACB ， ∴∠ 3=∠4 ． 在△ ABD 和△ ACE 中， ∵∠3=∠4 ， AB=AC ，∠ A=∠A ． ∴△ABD≌△ACE(ASA) ． ∴BD=CE( 全等三角形的对应边相等 ) ． 大胆尝试，练一练！ 已知：如图，在△ ABC 中， AB=AC ， BD 、 CE 是△ ABC 的高． 1. 证明 : 等腰三角形两腰上的高相等 . 求证： BD=CE ． E D C B A 分析： 要证 BD=CE ，就需证 BD 和 CE 所在的两个三角形的全等． 大胆尝试，练一练！ 已知：如图，在△ ABC 中， AB=AC ， BD 、 CE 是△ ABC 的中线． 2. 证明 : 等腰三角形两腰上的中线相等 . 求证： BD=CE ． E D C B A 分析： 要证 BD=CE ，就需证 BD 和 CE 所在的两个三角形的全等． 刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段 ( 角平分线、中线、高 ) 相等，还有其他的结论吗 ? 你能从上述证明的过程中得到什么启示 ? 把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等．如果是三等分、四等分 …… 结果如何呢 ? 想一想 , 做一做 议一议 1 ．在等腰三角形 ABC 中， (1) 如果∠ ABD= ∠ABC ，∠ ACE= ∠ACB ，那么 BD=CE 吗 ? 如果∠ ABD= ∠ABC ，∠ ACE= ∠ACB 呢 ? 由此，你能得到一个什么结论 ? (2) 如果 AD= AC ， AE= AB ，那么 BD=CE 吗 ? 如果 AD= AC ， AE= AB 呢 ? 由此你得到什么结论 ? 小结 （1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD= ∠ABC，∠ACE= ∠ACB，那么BD=CE. （2）在△ABC中，如果AB=AC，AD= AC， AE= AB，那么BD=CE. 简述为： （1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE. （2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE. 1. 求证： 等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于 60°. 已知：如图，在△ ABC 中， AB=BC=AC 。 求证：∠ A=∠B=∠C=60°. 证明：在 ΔABC 中，∵ AB=AC ， ∴∠B=∠C( 等边对等角 ). 同理：∠ C=∠A ， ∴∠A=∠B=∠C （等量代换） . 又∵∠ A+∠B+∠C ＝ 180° （三角形内角和定理） ∴∠A=∠B=∠C ＝ 60°. 大胆尝试，练一练！ C B A 随堂练习 及时巩固 如图 , 已知△ ABC 和△ BDE 都是等边三角形 , 求证 :AE=CD A B C D E 证明 : ∵ △ABC 和△ BDE 都是等边三角形 ∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60° , BE=BD ∴ △ABE≌△CBD ∴AE=CD . 将不全等的两个等边三角形 △ ABC 和等边三角形 △ DEF 任意摆放 , 请你画出 不少于 5 种 的摆放示意图 , 使得 AE=CF, 同时 满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点 ( 重合的顶点算一个 ), 并说明理由 . A B C E F A B E C F A B C F E 课时小结 1. 等腰三角形中 还有那些 相等的线段 ？ 2.等边三角形有哪些性质？ 3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？