第7讲 一元一次不等式(组)
【考纲要求】
1．了解不等式(组)有关的概念．
2．理解不等式的基本性质；会解简单的一元一次不等式(组)；并能在数轴上表示出其解集．
3．能列出一元一次不等式(组)解决实际问题.
【命题趋势】
不等式(组)在中考中以解不等式(组)、求不等式(组)的特殊解为主．而紧密联系日常生活实际的不等式(组)的应用，更是中考的热点内容，且难度大，综合性强.
【考点探究】
考点一、不等式的性质
【例1】已知a，b，c均为实数，若a＞b，c≠0，下列结论不一定正确的是( )
A．a＋c＞b＋c B．c－a＜c－b
C．＞ D．a2＞ab＞b2
解析：∵a＞b，∴－a＜－b，根据不等式性质一知，A，B均正确．
∵c≠0，∴c2＞0，根据不等式性质二知C项正确．D项中当a＝1，b＝－2时，a2＜b2，故D不正确．
答案：D
方法总结 不等式的基本性质是不等式变形的依据，是我们应掌握的基本知识．特别要注意的是，不等式的两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变．
触类旁通1 下列不等式变形正确的是( )
A．由a＞b，得ac＞bc B．由a＞b，得－2a＜－2b[
C．由a＞b，得－a＞－b D．由a＞b，得a－2＜b－2
考点二、不等式(组)的解集的数轴表示
【例2】不等式8－2x＞0的解集在数轴上表示正确的是( )
解析：不等式8－2x＞0的解集是x＜4，故选C.
答案：C[
方法总结 不等式(组)的解集可以在数轴上直观地表示出来，具体表示方法是先确定边界点，解集包含边界点，则边界点是实心圆点；解集不包含边界点，则边界点是空心圆圈；再确定方向，大向右，小向左．
触类旁通2 不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
考点三、不等式(组)的解法
【例3】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来[
解：
解不等式①，得x≥1，
解不等式②，得x＜4.
所以，不等式组的解集为1≤x＜4.
在数轴上表示为
方法总结 1．解不等式与解方程类似，不同之处在于系数化为1时，若不等式两边同时乘(或除)以一个负数，要改变不等号的方向．
2．解不等式组的方法是分别解不等式组中各个不等式，再利用数轴求出这些不等式的公共部分．解不等式组与解方程组截然不同，不能将两个不等式相加或相减，否则将可能出现错误．
3．在把两个不等式的解集表示在数轴上时，要特别注意是“点”还是“圈”，方向是“向左”还是“向右”．
触类旁通3 求满足不等式组的整数解．
考点四、确定不等式(组)中字母的取值范围
【例4】关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是( )
A．－5≤a≤－ B．－5≤a＜－
C．－5＜a≤－ D．－5＜a＜－
解析：解原不等式组，得2－3a＜x＜21.
由已知条件可知2－3a＜x＜21包含4个整数解，这4个整数解应为17,18,19,20，这时2－3a应满足16≤2－3a＜17，解得－5＜a≤－，故应选C.
答案：C
方法总结 根据不等式(组)的解集确定待定系数的取值范围，解决此类问题时，一般先求出含有字母系数的不等式(组)的解集，再根据已知不等式(组)的解集情形，求出字母的取值范围．
触类旁通4 若不等式组有解，则a的取值范围是( )
A．a＞－1 B．a≥－1
C．a≤1 D．a＜1
考点五、不等式(组)的应用
【例5】某家电商场计划用32 400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台，三种家电的进价和售价如下表所示：
(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案？
(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴．在(1)的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？
解：(1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(15－2x)台．依题意，得
解得6≤x≤7.∵x为正整数，∴x＝6或7.
方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；
方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台．
(2)方案1需补贴：(6×2 100＋6×2 500＋3×1 700)×13%＝4 251(元)；
方案2需补贴：(7×2 100＋7×2 500＋1×1 700)×13%＝4 407(元)．
∴国家财政最多需补贴农民4 407元．
方法总结
1．利用不等式(组)解决实际问题，关键是要抓住题目中表示不等关系的语句，列出不等式，问题的答案不仅要根据解集，还要根据使实际问题有意义确定．
2．在利用不等式组解决实际问题中的方案选择、优化设计以及最大利润等问题时，为防止漏解和便于比较，我们常用分类讨论的思想方法，对方案的优劣进行探讨．
触类旁通5 某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需要资金7 000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需要资金4 120元．
(1)每台电脑机箱、液晶显示器的进价各是多少元？
(2)该经销商计划购进这两种商品共50台，而可用于购买这两种商品的资金不超过22 240元．根据市场行情，销售电脑机箱、液晶显示器一台分别可获利10元和160元．该经销商希望销售完这两种商品，所获利润不少于4 100元．试问：该经销商有哪几种进货方案？哪种方案获利最大？最大利润是多少？
【经典考题】
1．(2013武汉)在数轴上表示不等式x－1＜0的解集，正确的是( )
2．(2013临沂)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
3．(2013凉山)设a，b，c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )
A．c＜b＜a B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．b＜a＜c
4．(四川广安)不等式2x＋9≥3(x＋2)的正整数解是__________．
5．(2013济宁)解不等式组并在数轴上表示出它的解集．
6．(2013益阳)为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A，B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1 220元，问购进A，B两种树苗各多少棵？
(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【模拟预测】
1．若a＞b，则( )
A．a＞－b B．a＜－b[
C．－2a＞－2b D．－2a＜－2b
2．不等式x＞1在数轴上表示正确的是( )
3．现用甲、乙两种运输车将46吨物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排( )
A．4辆 B．5辆 C．6辆 D．7辆
4．不等式组的解在数轴上表示为( )
5．关于x的不等式－2x＋a≤2的解集如图所示，那么a的值是( )
A．－4 B．－2 C．0 D．2
6．若关于x，y的二元一次方程组的解满足x＋y＜2，则a的取值范围为__________．
7．关于x的不等式3x－a≤0，只有两个正整数解，则a的取值范围是__________．
8．已知关于x，y的方程组的解x，y都是正数，求m的取值范围．
参考答案
【考点探究】
触类旁通1．B 运用不等式的性质时，应注意不等式的两边同时乘以或者除以一个负数，不等式的方向要改变．
触类旁通2．A 因为由2x＋1≤3，得x≤1，
所以－3＜x≤1.
触类旁通3．解：解不等式①，得x＞－2.
解不等式②，得x≤6.
在同一数轴上表示不等式①②的解集如下：
∴原不等式组的解集为－2＜x≤6.
∴原不等式组的整数解为x＝－1,0,1,2,3,4,5,6.
点评：求不等式组的特殊解时，首先应先求出每个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后再寻找出符合条件的特殊解．
触类旁通4．A 解不等式组得因为“大小小大中间找”，满足有解的条件，所以－a＜1，解得a＞－1.
触类旁通5．解：(1)设每台电脑机箱的进价是x元，液晶显示器的进价是y元，得解得
答：每台电脑机箱的进价是60元，液晶显示器的进价是800元．
(2)设购进电脑机箱z台，
得解得24≤z≤26.[
因为z是整数，所以z＝24或25或26.
利润10z＋160(50－z)＝8 000－150z，可见z越小利润就越大，故z＝24时利润最大为4 400元．
答：该经销商有3种进货方案：①进24台电脑机箱，26台液晶显示器；②进25台电脑机箱，25台液晶显示器；③进26台电脑机箱，24台液晶显示器．第①种方案利润最大为4 400元．
点评：在列方程组解应用题时，关键是找相等关系，可结合图象法、列表法等，将题目的已知和结论借助一些辅助工具分析，从而快速找出相等关系；而在列不等式解决实际问题时，要找准题目当中的“大于”“不小于”“超过”“不足”“住不满”等一些表示不等关系的“关键词”．
【经典考题】
1．B 解不等式x－1＜0得x＜1，数轴上是圆圈，且在1的左边．
2．A ∵由①得x＜3，由②得x≥－1，
∴不等式组的解集为－1≤x＜3，在数轴上表示为
故选A.
3．A 由图可知，2c＝b，b＜a，所以c＜b＜a.
4．1,2,3 解不等式得x≤3，所以正整数解是1,2,3.
5．解：
由不等式①得x＜5，
由不等式②得x≥－1.
把①②的解集在数轴上表示为
所以，原不等式组的解集为－1≤x＜5.
6．解：(1)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，根据题意得：80x＋60(17－x)＝1 220，解得x＝10，
∴17－x＝7.
答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵．
(2)设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗(17－x)棵，根据题意得：17－x＜x，解得x＞8，购进A，B两种树苗所需费用为80x＋60(17－x)＝20x＋1 020，
则费用最省需x取最小整数9，此时17－x＝8，这时所需费用为20×9＋1 020＝1 200(元)．
答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵．这时所需费用为1 200元．
【模拟预测】
1．D 2．C
3．C 设甲种运输车x辆，由题意，得5x＋4(10－x)≥46，解得x≥6，所以甲种运输车至少应安排6辆．
4．C 解2x－1＞1，得x＞1，解4－2x≤0，得x≥2，故选C.
5．C 解不等式－2x＋a≤2，得x≥，从数轴看出它的解集为x≥－1，所以＝－1，即a＝0.
6．a＜4 由两方程相加得4x＋4y＝4＋a，
所以x＋y＝1＋＜2，解得a＜4.
7．6≤a＜9 解不等式3x－a≤0，得x≤，由题意得2≤＜3，∴6≤a＜9.
8．解：解方程组得
因为x，y都是正数，所以
解这个不等式组，得＜m＜7.
所以m的取值范围是＜m＜7.
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