等腰三角形(三).ppt

第一节 等腰三角形 ( 三 ) 第一章 三角形的证明 想一想 问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题 的题设和结论分别是什么？ 问题2.我们是如何证明上述定理的？ 问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？ 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对 的边也相等？ 前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗 ? 议一议 已知：在△ ABC 中，∠ B=∠C ， 求证： AB=AC ． 分析： 只要构造两个全等的三角形，使 AB 与 AC 成为对应边就可以了 . 作角 A 的平分线，或作 BC 上的高，都可以把△ ABC 分成两个全等的三角形． C B A 定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形 . ( 等角对等边 .) 等腰三角形的判定定理： 在△ ABC 中 ∵∠B ＝∠ C （已知）， ∴AB=AC （等角对等边） . 几何的 三种语言 A C B 练习 1 　如图，∠ A = 36 ° ， ∠ DBC = 36 ° ， ∠ C = 72 ° ，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明． A B C D 随堂练习 练习2： 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角， AD∥BC且∠1=∠2． 求证：AB=AC． 随堂练习 想一想 小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 ? 如果成立，你能证明它吗 ? 我们来看一位同学的想法： 如图，在△ ABC 中，已知∠ B≠∠C ，此时 AB 与 AC 要么相等，要么不相等． 假设 AB=AC ，那么根据“等边对等角”定理可得∠ C=∠B ，但已知条件是∠ B≠∠C ．“∠ C=∠B” 与已知条件“∠ B≠∠C” 相矛盾，因此 AB≠AC 你能理解他的推理过程吗 ? C B A 再例如，我们要证明△ ABC 中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法 . 假设有两个角是直角，不妨设∠ A=90° ，∠ B=90° ， 可得∠ A+∠B=180° ，但△ ABC 中∠ A+∠B+∠C=180° “∠A+∠B=180°” 与“∠ A+∠B+∠C=180°” 相矛盾， 因此△ ABC 中不可能有两个直角． 上面的证法有什么共同的特点呢 ? 在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做 反证法 ． 例 1. 证明 : 如果 a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 ,a 5 都是正数 , 且 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 =1, 那么 , 这五个数中至少有一个大于或等于 1/5. 用 反证法 来证 : 证明 : 假设这五个数 全部 小于 1/5, 那么这五个数的和 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 就小于 1. 这与已知这五个数的和 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 =1 相矛盾 . 因此假设不成立 , 原命题成立 , 即这五个数中至少有下个大于或等于 1/5. 隋堂练习 1 1. 用反证法证明： 一个三角形中不能有两个角是直角 已知：△ ABC ． 求证：∠ A 、∠ B 、∠ C 中不能有两个角是直角． 证明： 假设∠ A 、∠ B 、∠ C 中有两个角是直角 ，不妨设∠ A= ∠ B=90 ° ，则 ∠ A+ ∠ B+ ∠ C=90 ° +90 ° + ∠ C ＞ 180 ° ． 这与三角形内角和定理矛盾， 所以∠ A= ∠ B=90 ° 不成立． 所以一个三角形中不能有两个角是直角． 活动与探究 1. 如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18， 求 △AMN的周长 . . 分析： 要求△ AMN 的周长，则需求出 AM+MN+AN ，而这三条边都是未知的．由已知 AB=12 ， AC=18 ，可使我们联想到△ AMN 的周长需转化成与 AB 、 AC 有关系的形式．而已知中的角平分线和平行线告诉我们图形中有等腰三角形出现，因此，找到问题的突破口． N M C B A D 2. 现有等腰三角形纸片 , 如果能从一个角的顶点出发 , 将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片 , 问此时的等腰三角形的顶角的度数 ? 36 ° 90° 108° 活动与探究 （ 1 ）本节课学习了哪些内容？ （ 2 ）等腰三角形的判定方法有哪几种？ （ 3 ）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判 定的区别和联系． （4）举例谈谈用反证法说理的基本思路 课堂小结