等腰三角形（四）演示文稿.ppt

第一节 等腰三角形(四) 第一章 三角形的证明 (1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形? (2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流． 想一想 分析：有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角． 定理： 有一个角是60°.的等腰三角形是等边 三角形． 等边三角形的判定定理： 求证：三个角都相等的三角形是等边三角形． 已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C． 求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵∠A=∠B， ∴BC=AC(等角对等边)． 又∵∠A=∠C， ∴BC=AB(等角对等边)． ∴AB=BC=CA， 即△ABC是等边三角形． 随堂练习 C B A 性质 判定的条件 等腰三角形 (含等边三角形) 等边对等角 等角对等边 “三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高互相重合 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个角都相等，且每个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的性质和判定： 用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由． 由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗? 做一做 D ( 1 ) C B A ( 2 ) B C A D 定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°． 求证：BC= AB． C B A D 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD． ∵∠ACB=90°∴∠ACD=90° ∵AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等)． ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)． ∴BC= BD= AB． 等腰三角形的底角为15°腰长为2a，求腰上的高． [例题] 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高； 求：CD的长. C B A D 解：∵∠ABC=∠ACB=15° ∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30° ∴CD= AC= ×2a= a(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半)． 一个问题“反过来”思考，就可能形成一个真命题．你能举个例子吗? 例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命题；“等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°”，反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形”． 但有些命题“反过来”就不成立．例“对顶角相等”反过来“相等的角是对顶角”就不成立． 想一想 试一试 命题“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真命题吗？如果是，请你证明它． D C B A 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC= AB． 求证：∠BAC=30° 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°． 又∵AC=AC． ∴△ACB≌△ACD(SAS)． ∴AB=AD． ∵CD=BC，∴BC= BD． 又∵BC= AB，∴AB=BD．∴AB=AD=BD， 即△ABD是等边三角形． ∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°． 解： ∵　 DE ⊥ AC ， BC ⊥ AC ，∠ A = 30 ° ， ∴ 　 BC = AB ， DE = AD ．　 又　 AD = AB ， ∴ 　 DE = AD = 1 . 85 （ m ） ．　　 ∴ 　 BC = 3 . 7 （ m ）．　 答： 立柱 BC 的长是 3 . 7 m ， DE 的长是 1 . 85 m ．　　 性质运用 　　例　如图是屋架设计图的一部分，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱 BC 、 DE 垂直于横梁 AC ， AB = 7 . 4 cm ， ∠ A = 30 ° ，立柱 BC 、 DE 要多长？ A B C D E 等边三角形性质： 等边三角形的各角都相等， 并且每一个角都等于60 ° . 推论1： 三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论⒉ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 定理： 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 课时小结 课时小结 1、等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类的思想方法． +底和腰相等 +有一个角是60° 等腰三角形 等边三角形 三个角相等 三角形 等边三角形 2、推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系.