2014年春季学期八下数学等腰三角形(第4课时)教案和课件 北师大版
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资料简介
第一节 等腰三角形(四) 第一章 三角形的证明 (1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形? (2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流. 想一想 分析:有一个角是60°,在等腰三角形中有两种情况:(1)这个角是底角;(2)这个角是顶角. 定理: 有一个角是60°.的等腰三角形是等边 三角形. 等边三角形的判定定理: 求证:三个角都相等的三角形是等边三角形. 已知:△ABC中,∠A=∠B=∠C. 求证:△ABC是等边三角形. 证明:∵∠A=∠B, ∴BC=AC(等角对等边). 又∵∠A=∠C, ∴BC=AB(等角对等边). ∴AB=BC=CA, 即△ABC是等边三角形. 随堂练习 C B A 性质 判定的条件 等腰三角形 (含等边三角形) 等边对等角 等角对等边 “三线合一”,即等腰三角形顶角平分线,底边上的中线、高互相重合 有一角是60°的等腰三角形是等边三角形 等边三角形三个角都相等,且每个角都是60° 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的性质和判定: 用含30°角的两个三角尺,你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由. 由此你能想到,在直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗? 做一做 D ( 1 ) C B A ( 2 ) B C A D 定理: 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°. 求证:BC= AB. C B A D 证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD. ∵∠ACB=90°∴∠ACD=90° ∵AC=AC,∴△ABC≌△ADC(SAS). ∴AB=AD(全等三角形的对应边相等). ∴△ABD是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形). ∴BC= BD= AB. 等腰三角形的底角为15°腰长为2a,求腰上的高. [例题] 已知:如图,在△ABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高; 求:CD的长. C B A D 解:∵∠ABC=∠ACB=15° ∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=15°+15°=30° ∴CD= AC= ×2a= a(在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半). 一个问题“反过来”思考,就可能形成一个真命题.你能举个例子吗? 例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命题;“等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60°”,反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形”. 但有些命题“反过来”就不成立.例“对顶角相等”反过来“相等的角是对顶角”就不成立. 想一想 试一试 命题“在三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真命题吗?如果是,请你证明它. D C B A 已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC= AB. 求证:∠BAC=30° 证明:延长BC至D,使CD=BC,连接AD. ∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°. 又∵AC=AC. ∴△ACB≌△ACD(SAS). ∴AB=AD. ∵CD=BC,∴BC= BD. 又∵BC= AB,∴AB=BD.∴AB=AD=BD, 即△ABD是等边三角形. ∴∠B=60°.在Rt△ABC中,∠BAC=30°. 解: ∵  DE ⊥ AC , BC ⊥ AC ,∠ A = 30 ° , ∴   BC = AB , DE = AD .  又  AD = AB , ∴   DE = AD = 1 . 85 ( m ) .   ∴   BC = 3 . 7 ( m ).  答: 立柱 BC 的长是 3 . 7 m , DE 的长是 1 . 85 m .   性质运用   例 如图是屋架设计图的一部分,点 D 是斜梁 AB 的中点,立柱 BC 、 DE 垂直于横梁 AC , AB = 7 . 4 cm , ∠ A = 30 ° ,立柱 BC 、 DE 要多长? A B C D E 等边三角形性质: 等边三角形的各角都相等, 并且每一个角都等于60 ° . 推论1: 三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论⒉ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 定理: 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 课时小结 课时小结 1、等腰三角形成为等边三角形的条件,并对这个结论的证明有意识地渗透分类的思想方法. +底和腰相等 +有一个角是60° 等腰三角形 等边三角形 三个角相等 三角形 等边三角形 2、推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系.

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