直角三角形（一）演示文稿.ppt

第二节 直角三角形（一） 第一章 三角形的证明 一个直角三角形房梁如图所示，其中 BC⊥AC ， ∠ BAC=30° ， AB=10 cm ， CB 1 ⊥AB ， B 1 C⊥AC 1 ，垂 足分别是 B 1 、 C 1 ，那么 BC 的长是多少 ? B 1 C 1 呢 ? 用心想一想，马到功成 解：在 Rt△ABC 中，∠ CAB=30° ， AB=10 cm ， ∴ BC=0.5AB=5 cm ． ∵ CB l ⊥AB ，∴∠ B+∠BCB l =90° 又∵∠ A+∠B=90° ∴∠BCB l =∠A=30° 在 Rt△ACBl 中， BB l =0.5BC=2 ． 5 cm ． ∴ AB 1 =AB-BB l =10-2.5=7.5cm ． ∴在 Rt△AB l C 中，∠ A=30° ∴B 1 C 1 =0.5AB l =3 ． 75cm ． 用心想一想，马到功成 一般的直角三角形的三边具有什么样的性质呢 ? 勾股定理 在直角三角形中 , 两直角边的平方和 等于斜边的平方 . 你会证明吗 ? 证明方法 : 数方格和割补图形的方法 你会利用公理及由其推导出的定理证明吗 ? 勾股定理的证明 已知：如图，在△ ABC 中，∠ C=90° ， BC=a ， AC=b ， AB=c ． 求证： 证明：延长 CB 至 D ，使 BD=b ，作∠ EBD=∠A ，并取 BE=c ， 连接 ED 、 AE( 如图 ) ，则△ ABC≌△BED ． ∴∠ BDE=90° ， ED=a ． ∴四边形 ACDE 是直角梯形． ∴ S 梯形 ACDE = (a+b)(a+b)= (a+b) ． ∴∠ ABE=180° 一∠ ABC 一∠ EBD=180°—90°=90° ， AB=BE ． ∴ S △ABE = ∵S 梯形 ACDE =S △ABE +S △ABC +S △BED ， ∴ 即 ∴ 两直角边的平方和等于斜边的平方 . 勾股定理 直角三角形中 , 在 直角三角形中 , 两直角边的平方和等于斜边的平方 . 反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的 平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形” 的结论．你能证明此结论吗 ? 逆定理的证明 已知：如图，在△ ABC 中， 求证：△ ABC 是直角三角形． 证明：作 Rt△DEF ，使∠ D=90° ， DE=AB ， DF=AC( 如图 ) ， 则 .( 勾股定理 ) ． ∵ DE=AB ， DF=AC ∴ ∴BC= EF ∴△ABC≌△DEF （ SSS ） ∴∠ A=∠D=90°( 全等三角形的对应角相等 ) ． 因此，△ ABC 是直角三角形． 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是直角三角形． 观察上面两个命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系 ? 勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件． 在前面的学习中还有类似的命题吗 ? 1. 两直线平行，内错角相等 . 与 内错角相等，两直线平行 . 2. 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的 直角边就等于斜边的一半 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么 这 条直角边所对的锐角等于 30° 例如 : 议一议 观察下面三组命题： 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗 ? 与同伴交流． 在两个命题中，如果一个命题条件和结论分别是 另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆 命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题，相对 于逆命题来说，另一个就为原命题． 互逆命题 原命题是真命题，而逆命题不一定是真命题 !! 原命题是真命题，而且逆命题也是真命题，那么我 们称它们为互逆定理 . 其中逆命题成为原命题 ( 即原 定理 ) 的逆定理． 互逆定理 大胆尝试！ 举例说出我们已学过的互逆定理 . 大胆尝试，练一练！ 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假 : (1) 四边形是多边形； (2) 两直线平行，同旁内角互补； (3) 如果 ab=0 ，那么 a=0 b=0 解： (1) 多边形是四边形．原命题是真命题，而逆命题是假命题． (2) 同旁内角互补，两直线平行．原命题与逆命题同为 真命题 ． (3) 如果 a=0 ， b=0 ，那么 ab=0 ．原命题是假命题，而逆命题 是真命题． 总结一下吧 ! 1. 了解了勾股定理及逆定理的证明方法 ; 2. 了解了逆命题的概念，会识别两个互逆命题， 知道原命题成立，其逆命题不一定成立 ; 3. 了解了逆定理的概念，知道并非所有的定理 都有逆命题 . 谢谢合作 ! 制作 : 刘正峰