第一章 三角形的证明
习题
1
．
7
的第
1
题：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作完此题时你发现了什么
?
用心想一想，马到功成
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
放开手脚 做一做
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发现同样的结论
?
与同伴交流．
Q
P
N
M
F
E
C
B
A
O
证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点
.
用心想一想，马到功成
已知：在△
ABC
中，设
AB
、
BC
的垂直平分线交于点
O.
求证：
O
点在
AC
的垂直平分线上．
证明：
连接
AO
，
BO
，
CO
．
∵点
P
在线段
AB
的垂直平分线上，
∴
OA=OB(
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
)
．
同理
OB=OC
．∴
OA=OC
．
∴
O
点在
AC
的垂直平分线上
(
到线段两个端点距离相等的点
.
在这条线段的垂直平分线上
)
．
∴
AB
、
BC
、
AC
的垂直平分线相交于点
O
C
B
A
O
定理：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
三角形三边的垂直平分线的性质定理
议一议
(1)
已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗
?
如果能，能作几个
?
所作出的三角形都全等吗
?
已知：三角形的一条边
a
和这边上的高
h
求作：△
ABC
，使
BC=a
，
BC
边上的高为
h
这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．
1
A
D
C
B
A
a
h
( )
D
C
B
A
a
h
1
A
D
C
B
A
a
h
1
A
议一议
(2)
已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗
?
如果能，能作几个
?
所作出的三角形都全等吗
?
这样的等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．
如图所示，这些三角形不都全等．
议一议
(3)
已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗
?
能作几个
?
这样的等腰三角形应该只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
你能尝试着用尺规作出这个三角形吗
?
放开手脚 做一做
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．
已知：线段
a
、
h
求作：△
ABC
，使
AB=AC
，
BC=a
，高
AD=h
作法：
1
．作
BC=a
；
2
．作线段
BC
的垂直平分线
MN
交
BC
于
D
点；
3
．以
D
为圆心，
h
长为半径作弧交
MN
于
A
点；
4
．连接
AB
、
AC
∴△
ABC
就是所求作的三角形
N
M
D
C
B
a
h
A
（
1
）例题：已知直线
l
和
l
上一点
P
，用尺规作
l
的垂线，使它经过点
P.
（
2
）拓展：如果点
P
是直线
l
外一点，那么怎样用尺规作
l
的垂线，使它经过点
P
呢？说说你的作法，并与同伴交流
.
课堂小结
,
畅谈收获：
1
．证明了“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，及三角形三条边的垂直平分线交于一点”的结论；
２．根据此结论“已知等腰三角形的底和底边的高，求作等腰三角形”．
课内拓展延伸
求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段．
已知：线段
a
．
求作：等腰直角三角形
ABC
使
BC=a
．
作法：
1
．作线段
BC=a
2
．作线段
BC
的垂直平分线
L
，交
BC
于点
D
．
3
．在
L
上作线段
DA
，使
DA=DB
．
4
．连接
AB
，
AC
．
∴△
ABC
为所求的等腰直角三角形．
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