浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第三十五讲 直线与圆、圆与圆的位置关系》课件.ppt

第三十五讲 直线与圆、圆与圆的位置关系 课 前 必 读 考纲要求 1. 了解切线的概念； 2. 探索切线与过切点的半径之间的关系； 3. 能判定一条直线是否为圆的切线； 4. 会过圆上一点画圆的切线； 5. 探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系； 6. 了解三角形的内心 . . 学.科.网 考情分析 近三 年浙 江省 中考 情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 切线的性质 (8 分 ) 解答题 中等 2011 年 圆和圆的位置关系 (3 分 ) . 学.科.网 选择题 容易 2012 年 切线的判定 (8 分 ) 解答题 中等 网 络 构 建 切线性质有窍门 见切点连半径 得到垂直难变易 判定切线有两法 连半径证垂直 作垂直证半径 仔细审题莫出错 . 学.科.网 考 点 梳 理 1 ．直线和圆相切，圆心到直线的距离 _____ 圆的半径． 2 ．圆的切线 _______ 过切点的半径． 切线的性质 等于 垂直于 名师助学 1 ．“见切点，连半径 ” ，是解决有关切线问题的重要方法； 2 ．切线的性质常与直角三角形、全等三角形、相似三角形等知识相结合解决问题． 切线的判定方法有： (1) 切线的定义：与圆有 __________ 的直线是圆的切线． (2) 和圆心的距离 _____ 圆的半径的直线是圆的切线． (3) 经过半径的外端，并且 _____ 这条半径的直线是圆的切线． 切线的判定 唯一公共点 等于 垂直 设大圆的半径为 R ，小圆的半径为 r ，圆心距为 d ，则圆和圆的位置关系与其对应关系可简略地表示如下： 圆和圆的位置关系 位置 外离 外切 相交 内切 内含 图形 公共点个数 无 1 2 1 无 d 与 R 、 r 的数量关系 ______ ______ ____________ ______ ______ d ＞ R ＋ r d ＝ R ＋ r R － r ＜ d ＜ R ＋ r d ＝ R － r d ＜ R － r 名师助学 两圆相切包含两种情况，内切和外切，解题时既要考虑到两圆内切，又要考虑到两圆外切． 对 接 中 考 常考角度 1 ．已知圆的切线，求某些角的度数或线段的长； 2 ．圆的切线与直角三角形、相似三角形等知识，相结合提出问题． 对接点一：切线的性质 【 例题 1 】 (2012· 嘉兴 ) 如图， AB 是 ⊙ O 的弦， BC 与 ⊙ O 相切于点 B ，连接 OA 、 OB . 若 ∠ ABC ＝ 70 °，则 ∠ A 等于 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A ． 15 °　　　　　 B ． 20 ° C ． 30 ° D ． 70 ° 分析 　由 BC 与 ⊙ O 相切于点 B ，根据切线的性质，即可求得 ∠ OBC ＝ 90 °，又由 ∠ ABC ＝ 70 °，即可求得 ∠ OBA 的度数，然后由 OA ＝ OB ，利用等边对等角的知识，即可求得 ∠ A 的度数． 解析 　 ∵ BC 与 ⊙ O 相切于点 B ， ∴ OB ⊥ BC ， ∴∠ OBC ＝ 90 °， ∵∠ ABC ＝ 70 °， ∴∠ OBA ＝ ∠ OBC － ∠ ABC ＝ 90 °－ 70 °＝ 20 °， ∵ OA ＝ OB ， ∴∠ A ＝ ∠ OBA ＝ 20 ° . 故选 B. 答案 　 B 已知直线与圆相切， “ 见切点，连半径 ” 是常作的辅助线． 【 预测 1 】 如图， ⊙ O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30 °，切线 CD 与 AB 的延长线交于点 D ，若 ⊙ O 的半径为 3 ，则 CD 的长为 ( 　　 ) 答案 　 D 【 预测 2 】 如图，两个同心圆的半径分别为 4 cm 和 5 cm ，大圆的一条弦 AB 与小圆相切，则弦 AB 的长为 ( 　　 ) A ． 3 cm 　　　　 B ． 4 cm C ． 6 cm D ． 8 cm 答案　 C 常考角度 判定一条直线是圆的切线． 对接点二：切线的判定 【 例题 2 】 (2012· 温州 ) 如图， △ ABC 中， ∠ ACB ＝ 90 °， D 是边 AB 上一点，且 ∠ A ＝ 2∠ DCB . E 是 BC 边上的一点，以 EC 为直径的 ⊙ O 经过点 D . (1) 求证： AB 是 ⊙ O 的切线； (2) 若 CD 的弦心距为 1 ， BE ＝ EO ，求 BD 的长． 分析 　 (1) 连结 OD ，由 OD ＝ OC 和外角定理可得出 ∠ DOB ＝ 2∠ DCB ，又 ∠ A ＝ 2∠ DCB ，可得出 ∠ A ＝ ∠ DOB ，又 ∠ ACB ＝ 90 °，可知两锐角互余，得 ∠ B 与 ∠ DOB 互余，即 OD 垂直于 BD ，得证： (2) 过点 O 作 OM ⊥ CD ，得到 △ BDO 为直角三角形，由 BE ＝ OE ＝ OD ，得 ∠ B ＝ 30 °，再由 OD ＝ OC 外角等可得 ∠ DCB ＝ 30 °， OC ＝ 2 OM ，求出 OC 的长，进而得 OD 、 OB 的长，利用勾股定理得 BD 的长． (1) 证明 　连接 OD ，如图所示： ∵ OD ＝ OC ， ∴∠ DCB ＝ ∠ ODC ， 又 ∠ DOB 为 △ COD 的外角， ∴∠ DOB ＝ ∠ DCB ＋ ∠ ODC ＝ 2∠ DCB ， 又 ∵∠ A ＝ 2∠ DCB ，∴∠ A ＝ ∠ DOB ， ∵∠ ACB ＝ 90 °，∴∠ A ＋ ∠ B ＝ 90 °， ∴∠ DOB ＋ ∠ B ＝ 90 °， ∴∠ BDO ＝ 90 °，∴ OD ⊥ AB ， ∴ AB 是 ⊙ O 的切线： 1. 切线的判定常用以下两种方法：一是连半径证垂直，二是作垂直证半径； 2 ．根据题目的已知和所学的定理等作出恰当的辅助线． 【 预测 3 】 如图，点 A 、 B 、 D 在 ⊙ O 上， ∠ A ＝ 25 °， OD 的延长线交直线 BC 于点 C ，且 ∠ OCB ＝ 40 °，直线 BC 与 ⊙ O 的位置关系为 ________ ． 解析 　 ∵∠ BOC ＝ 2∠ A ＝ 50 °， ∠ OCB ＝ 40 °， ∴在 △ OBC 中，∠ OBC ＝ 180 °－ 50 °－ 40 °＝ 90 ° . ∴直线 BC 与 ⊙ O 相切． 答案 　相切 【 预测 4 】 如图， △ OAC 中，以 O 为圆心， OA 为半径作 ⊙ O ，作 OB ⊥ OC 交 ⊙ O 于 B ，垂足为 O ，连接 AB 交 OC 于点 D ， ∠ CAD ＝ ∠ CDA . (1) 判断 AC 与 ⊙ O 的位置关系，并证明你的结论； (2) 若 OA ＝ 5 ， OD ＝ 1 ，求线段 AC 的长． 解　 (1) 线段 AC 是 ⊙ O 的切线； 理由如下：∵∠ CAD ＝ ∠ CDA ( 已知 ) ， ∠ BDO ＝ ∠ CDA ( 对顶角相等 ) ， ∴∠ BDO ＝ ∠ CAD ( 等量代换 ) ； 又 ∵ OA ＝ OB (⊙ O 的半径 ) ， ∴∠ B ＝ ∠ OAB ( 等边对等角 ) ； ∵ OB ⊥ OC ( 已知 ) ， ∴∠ B ＋ ∠ BDO ＝ ∠ OAB ＋ ∠ CAD ＝ 90 °，即 ∠ OAC ＝ 90 °， ∴线段 AC 是 ⊙ O 的切线； (2) 设 AC ＝ x ， ∵∠ CAD ＝ ∠ CDA ， ∴ DC ＝ AC ＝ x ， ∵ OA ＝ 5 ， OD ＝ 1 ， ∴ OC ＝ OD ＋ DC ＝ 1 ＋ x ， ∵由 (1) 知 AC 是 ⊙ O 的切线． ∴在 Rt △ OAC 中， OC 2 ＝ AC 2 ＋ OA 2 ， 即 (1 ＋ x ) 2 ＝ x 2 ＋ 5 2 ，解得 x ＝ 12 ， 即 AC ＝ 12. 常考角度 1 ．已知两圆的圆心距与两圆半径的关系，判断两圆的位置关系； 2 ．已知两圆的位置关系，判断圆心距与两圆半径的关系． 对接点三：圆与圆的位置关系 【 例题 3 】 (2012· 温州 ) 已知 ⊙ O 1 与 ⊙ O 2 外切， O 1 O 2 ＝ 8 cm ， ⊙ O 1 的半径为 5 cm ，则 ⊙ O 2 的半径是 ( 　　 ) A ． 13 cm B ． 8 cm C ． 6 cm D ． 3 cm 解析 　根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是 8 － 5 ＝ 3(cm) ．故选 D. 答案 　 D 1. 熟记圆与圆的五种位置关系，圆心距与两圆半径的数量关系； 2 ．两圆相切包含两种情况：内切和外切，解题时别漏解． 【 预测 5 】 已知两圆半径 r 1 、 r 2 分别是方程 x 2 － 7 x ＋ 10 ＝ 0 的两根，两圆的圆心距为 7 ，则两圆的位置关系是 ( 　　 ) A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．外离 解析 　 ∵ x 2 － 7 x ＋ 10 ＝ 0 ， ∴ ( x － 2)( x － 5) ＝ 0 ， ∴ x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝ 5 ， 即两圆半径 r 1 、 r 2 分别是 2 ， 5 ， ∵ 2 ＋ 5 ＝ 7 ，两圆的圆心距为 7 ， ∴两圆的位置关系是外切．故选 C. 答案 　 C 【 预测 6 】 在直角坐标系中，分别以点 A (0 ， 3) 与点 B (4 ， 0) 为圆心，以 8 与 3 为半径作 ⊙ A 和 ⊙ B ，则这两圆的位置关系为 ________ ． 答案 　内切 易 错 防 范 问题 1. 判定一条直线是圆的切线时，方法选择出现 失误； 问题 2. 两圆相切解题时漏解． 直线和圆、圆和圆的位置关系中常见错误 【 例题 4 】 (2012· 合肥 ) 如图， △ ABC 中， AB ＝ AC ， O 是 BC 的中点，以 O 为圆心的圆与 AB 相切于点 D . 求证： AC 是 ⊙ O 的切线． [ 错解 ] 　连结 OD 、 OE ， ∵∠ B ＝ ∠ C ， OB ＝ OC ， OD ＝ OE ， ∴△ BOD ≌△ COE ， ∴∠ ODB ＝ ∠ OEC ， ∵ AB 切 ⊙ O 于点 D ， ∴∠ ODB ＝ 90 °， ∴∠ OEC ＝ 90 ° ∴ AC 是 ⊙ O 的切线． [ 错因分析 ] 　错误的原因是用了已知中没有的条件，即连结 OE ，所以由此得出的结论也是不成立的． [ 正解 ] 　连接 OD 、 OA ，作 OE ⊥ AC 于 E . ∵ AB ＝ AC ， OB ＝ OC ， ∴ AO 是 ∠ BAC 的平分线． ∵ AB 是 ⊙ O 的切线． ∴ OD ⊥ AB . 又 ∵ OE ⊥ AC ， ∴ OE ＝ OD . ∴ AC 是 ⊙ O 的切线． 判定一条直线是圆的切线，必须满足两个条件：一经过半径端点，二垂直于半径． 课 时 跟 踪 检 测 点击链接