【基础演练】
1．(2012·铜仁)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为 ( )
A．6 B．7 C．8 D．9
解析 ∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠BEM，∠ECB＝∠CEN
又∵∠CBE＝∠EBM，∠BCE＝∠NCE
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠NCE
∴BM＝ME，CN＝NE，∴MN＝9，故选D.
答案 D
2．(2012·郑州)等腰三角形的两内角度数之比是1∶2，则顶角的度数是 ( )
A．90° B．45° C．36° D．90°或36°
解析 分两种情况，一种是底角与顶角之比为1∶2时，则顶角为×2＝90°，另一种情况是顶角与底角之比为1∶2时，则顶角为＝36°，
∴顶角为90°或36°.
答案 D
3．(2012·南昌)等腰三角形的两边长分别为6 cm和8 cm，则其周长为________．
解析 当腰为6 cm时，周长为6＋6＋8＝20(cm)；
当腰为8 cm时，周长为8＋8＋6＝22(cm)，
∴填20 cm或22 cm.
答案 20 cm或22 cm
4． (2012·泉州)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AD⊥BC于点D，则BD的长是________．
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解析 ∵AB＝AC，AD⊥BC于D，∴BD＝BC＝3.
答案 3
5．(2012·重庆)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形，若AB＝2，求△ABC的周长．(结果保留根号)．
解析 ∵△ABD是等边三角形，
∴∠B＝60°，∵∠BAC＝90°，
∴∠C＝180°－90°－60°＝30°，∴BC＝2AB＝4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC＝ ＝ ＝2 ，
∴△ABC的周长是AC＋BC＋AB＝2 ＋4＋2＝6＋2 .
答案 6＋2
6. 已知：如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB＝OC，
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．
(1)证明 ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，
∵锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°，
∵∠BEC＋∠BCE＋∠ABC＝∠BDC＋∠DBC
＋∠ACB＝180°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
(2)解 连接AO并延长交BC于E，
∵AB＝AC，OB＝OC，∴AE是BC的垂直平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，∴点O在∠BAC的角平分线上．
【能力提升】
7．(2012·广东广州)如图，在等边三角形ABC中，AB＝6，D
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是BC上一点，且BC＝3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为________．
解析 ∵在等边三角形ABC中，AB＝6，
∴BC＝AB＝6，∵BC＝3BD，∴BD＝BC＝2，
∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE，
∴△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2.故答案为2.
答案 2
8．在钝角三角形ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，AD把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为( )．
A．150° B．124°
C．120° D．108°
解析 根据题意，△ABD、△ADC是等腰三角形，∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠DAC，
而AB＝AC，∠B＝∠C，根据三角形外角的性质，
∠ADC＝∠B＋∠BAD＝2∠B，
设∠B＝x°，则∠DAC＝∠ADC＝2x°，∠BAC＝3x°，
根据三角形内角和，x＋x＋3x＝180，解得x＝36，所以∠BAC＝3x°＝108°.
答案 D
9.如图，△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC的垂直平分线交AB于点D，则△ADC的周长为________．
解析 ∵点D在BC的垂直平分线上，
∴DC＝DB，∴△ADC的周长＝AD＋DC＋AC
＝AD＋DB＋AC＝AB＋AC＝5＋3＝8.
答案 8
10．(2011·广东茂名)如图， 已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝________度．
解析 根据等边三角形三个角相等的性质，可知∠ACB＝60°，根据等腰三角形底角相等的性质即可得出∠E的度数：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°.又∵CG＝CD，
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∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°.又∵DF＝DE，
∴∠E＝15°.故答案为∠E＝15°.
答案 15°
11．(2012·汕头)若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为________度．
解析 ∵外角为70°是一个锐角，只能是顶角的外角，∴顶角为110°，
∴底角为35°.
答案 35
12．(2012·烟台)如图，等边△ABC的边长为1 cm，D，E分别是AB，AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为________cm.
解析 阴影部分的周长就是△ABC的周长．
答案 3
13．如图，CD是等边△ABC的角平分线，延长CB到E，使BE＝BD，F是AE的中点，已知CD＝6 cm，求DF的长．
解 ∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°
又∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝30°，且CD⊥AB，D是AB的中点，又∵F是AE的中点
∴DF是△AEB的中位线 ∴DF＝EB
又∵BE＝BD ∴DF＝DB
Rt△DBC中，∵∠DCB＝30°，CD＝6
∴BD＝CD·tan∠DCB＝6×＝2
∴DF＝×2＝(cm)．
14．(2012·菏泽)如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA.
(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若点 M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.
证明 (1)在Rt△ABC中，
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∵AC＝BC
∴∠BAC＝∠ABC＝45°，
又∵∠CAD＝∠CBD＝15°
∴∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴AD＝BD，∠ADB＝120°
∴△ADC≌△BDC(SAS)，∠BDE＝60°
∴∠ADC＝∠BDC＝120°
∴∠MDC＝60°，∴∠BDE＝∠CDE，
∴DE平分∠BDC.
(2)连CM由(1)知∠MDC＝60°
又∵DC＝DM，∴△DCM是等边三角形
∴∠CME＝120°，又∵AC＝CE，
∴∠CAE＝∠CEA＝15°.∴∠CEA＝∠CBD＝15°
由(1)知∠BDC＝120°，∴∠BDC＝∠EMC
∴△BDC≌△EMC，∴ME＝BD.
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