一元二次方程的解法第1课时
1．直接开平方法解一元二次方程
(1)定义：我们知道，若x2＝25，则x＝±，即x＝±5，像这种利用平方根的定义通过直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法．
(2)理论依据：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义．由平方根的定义可知，正数有两个平方根，且它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．
(3)用直接开平方法解一元二次方程的基本步骤是：
①将方程转化成(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数；
②当n≥0时，两边开平方便可求出它的根；当n＜0时，方程无实数根．
直接开平方法实际是求一个数平方根的运算．特别注意方程两边开平方时，一边取“±”号，以防漏解．
【例1】用直接开平方法解下列方程：
(1)(x－2)2＝5；
(2)81(x－2)2＝16；
(3)(3y－1)2－8＝0.
分析：先将方程左边化成完全平方式，右边化为非负数的形式，再开平方，从而得其解.
解：(1)因为x－2是5的平方根，
所以x－2＝±.
所以x－2＝或x－2＝－.
所以x1＝2＋，x2＝2－.
(2)原方程可以化为(x－2)2＝，
所以x－2＝±.
所以x－2＝或x－2＝－.
所以x1＝，x2＝.
(3)移项，得(3y－1)2＝8，(3y－1)2＝16，
所以3y－1＝±4.
所以3y－1＝4或3y－1＝－4.
所以y1＝，y2＝－1.
点拨：用直接开平方法解题时，应根据式子的特征，将左边化成完全平方式，右边化为非负数的形式，再开平方，从而得其解，同时注意开平方后各系数符号的变化．
2．配方法解一元二次方程
(1)定义：先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再用直接开平方法来求解的方法．
(2)配方法解一元二次方程的依据
用配方法解一元二次方程是以完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2与直接开平方法为依据，将方程加以变形，从而获得其解的一种方法，这种方法适合于解任何类型的一元二次方程．
(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤
①把一元二次方程化为一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
②方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1；把常数项移到方程的右边．
③方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程写成(x±m)2＝n的形式．
④若n≥0，即可用直接开平方法进行求解；若n＜0，方程无实数根．
例如，求方程x2＋6x－16＝0的解，可按以下流程进行．
【例2】用配方法解下列方程：
(1)x2＋x－1＝0；(2)3x2－1＝－4x.
分析：第(1)题二次项系数是1，只需将方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可配方．第(2)题二次项系数不是1，先将二次项系数化为1，然后再配方．
解：(1)移项，得x2＋x＝1，配方，得x2＋x＋＝1＋，即(x＋)2＝，
所以x＋＝±，即x＋＝或x＋＝－.
所以x1＝，x2＝.
(2)移项，得3x2＋4x＝1，方程两边都除以3，得x2＋x＝，
配方，得x2＋x＋()2＝＋()2，即(x＋)2＝，开平方，得x＋＝±，
所以x1＝，x2＝.
点拨：当方程二次项系数不是1时，要先将二次项系数化为1，然后再进行配方；将二次项系数化为1后，“方程两边同时加上一次项系数一半的平方”这一步是配方的关键．
3．用直接开平方法解两边都是含有未知数的代数式的平方的一元二次方程
当一元二次方程两边都是含有未知数的代数式的平方的形式时，也可用直接开平方法．
例如，关于x的方程(ax＋b)2＝(cx＋d)2，直接开平方，得ax＋b＝±(cx＋d)，然后可化为两个一元一次方程进行求解．
【例3】解方程：x2－6x＋9＝(5－2x)2.
分析：方程左边是一个完全平方式，整理，得(x－3)2，则原方程可化为(x－3)2＝(5－2x)2.方程两边直接开平方即可求解．
解：整理，得(x－3)2＝(5－2x)2.
方程两边开平方，得x－3＝±(5－2x)，
即x－3＝5－2x或x－3＝－(5－2x)，
∴x1＝，x2＝2.
4．配方法中的配方技巧
用配方法解一元二次方程的关键是如何配方，配方法的依据是完全平方公式．
(1)当一元二次方程的二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
(2)当一元二次方程的二次项系数不为1时，应先将二次项系数化为1，再进行配方；或者将系数与二次项看作一个整体，转化成关于这个整体的系数为1的一元二次方程进行配方．如解方程4x2＋4x＝1时，将4x2看作(2x)2，转化为(2x)2＋2(2x)＝1，可在方程两边直接加1，得(2x＋1)2＝2，这样配方更简便．
【例4】用配方法解方程4x2－7x＋2＝0.
分析：将4x2变为(2x)2，把2x看成一个整体进行配方，可使解题过程更简捷．
解：移项，得4x2－7x＝－2，
变形，得(2x)2－2×2x×＝－2，
配方，得(2x)2－2×2x×＋()2＝－2＋()2，
即(2x－)2＝，
∴2x－＝±.
∴x1＝，x2＝.
5．二次多项式的配方
(1)基本思路：二次多项式的配方与解方程中的配方略有不同，二次多项式的配方是恒等变形，为了使二次项系数化为1，各项需提出二次项系数，配方时加上一次项系数一半的平方，同时再减去同样的数，使代数式的值保持不变．
(2)主要步骤
①将二次项系数化为1.
②加上一次项系数一半的平方，同时为保证原式的值不变，再减去所加上的数．
③计算并整理成完全平方形式．
(3)主要用途
①利用配方法能证明二次三项式恒大于零、恒小于零、恒不等于零，以及求最值等问题．
②利用配方变形还可求一些特殊代数式中某些字母的值．
把二次多项式配方，先把它化成二次项系数为1的形式，然后利用配方的原则把它配成完全平方式．由此可见，熟练掌握完全平方公式是解此类题目的关键．
【例5－1】用适当的数填空．
(1)x2＋x＋1＝(x＋______)2＋______；
(2)3x2＋6x＋1＝3(x＋______)2－______.
解析：根据配方的思路，得(1)x2＋x＋1＝x2＋x＋()2－()2＋1＝(x＋)2＋；
(2)3x2＋6x＋1＝3(x2＋2x)＋1＝3(x2＋2x＋1)＋1－3＝3(x＋1)2－2.
答案：(1) (2)1 2
【例5－2】证明代数式－10x2＋7x－4恒小于0.
证明：－10x2＋7x－4＝(－10x2＋7x)－4
＝－10(x2－x)－4
＝－10(x2－x＋－)－4
＝－10[(x－)2－]－4
＝－10(x－)2＋－4＝－10(x－)2－.
∵－10(x－)2≤0，∴－10(x－)2－＜0，
即－10x2＋7x－4＜0.
故代数式－10x2＋7x－4恒小于0.
6．与一元二次方程有关的方案设计问题
(1)方案设计题的意义
方案设计问题是指通过设置实际问题情境，给出若干信息，提出问题的设计要求，要求运用学过的技能和方法，进行设计和操作，以寻求解决问题的方案．
(2)方案设计题的解题思路
图案的设计具有较大的开放性，在设计过程中，要充分发挥想象力，也可以亲自动手操作，并运用所学的相关知识进行作图、计算、推理，从而得出相应的答案．
(3)一元二次方程有两个根，这些根虽然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，解完一元二次方程之后，要按题意检验这些根是不是实际问题的解．,
【例6】如图所示，要建一个面积为130 m2的仓库，仓库的一边靠墙(墙长16 m)，并在与墙平行的一边开一道1 m宽的门，现有32 m长的木板，求仓库的长和宽．
解：设与墙垂直的一边长为x m，则其邻边长为(33－2x) m，
根据题意，得x(33－2x)＝130，
整理，得x2－x＝－65，
配方，得(x－)2＝，
解得x1＝10，x2＝.
当x＝时，33－2x＝20＞16(墙长16 m)，则x＝不合题意，应舍去．
所以x＝10,33－2x＝13.
答：仓库的长为13 m，宽为10 m.
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