浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第二十二讲 全等三角形》课件.ppt

第二十二讲 全等三角形 课 前 必 读 考纲要求 1. 了解全等三角形的概念； 2. 探索并掌握两个三角形全等的条件； 3. 了解线段的垂直平分线、角平分线的概念和性质 . 考情分析 近三 年浙 江省 中考 情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 全等三角形的性质 (3 分 ) 填空题 容易 2011 年 线段的垂直平分线 (3 分 ) 选择题 中等 2012 年 全等三角形的判定 (3 分 ) 选择题 容易 网 络 构 建 全等性质两要素 对应边角全相等 全等判定三条件 总得有边方实现 三边对等最易找 两边一角需夹角 两角一边任意边 角角边或角边角 学.科.网 考 点 梳 理 证明三角形全等的一般思路 三角形全等的判定 SAS SSS ASA AAS AAS ASA AAS SAS 名师助学 1 ．仔细观察图形，注意隐含条件的挖掘，如：公共边、公共角、对顶角等； 2 ．切忌错用 “SSA ”、 “AAA ”． 学.科.网 1 ．全等三角形的对应边 ______ ． 2 ．全等三角形的对应角 ______ ． 学.科.网 全等三角形的性质 相等 相等 名师助学 1 ．全等三角形的性质主要对证明线段相等、角相等或倍数关系起着 “ 桥梁 ” 作用； 2 ．全等三角形的性质常与三角形全等的判定及平行四边形、圆等图形的性质综合应用． 1 ．角平分线 (1) 性质：如图，若 ∠ MOC ＝ ∠ NOC ， ________ ， ________ ，则 CM ＝ CN . (2) 判定：如图，若 CM ＝ CN ， ________ ， ________ ，则 ∠ MOC ＝ ∠ NOC . 学.科.网 角平分线、线段垂直平分线的性质 CM ⊥ OA CN ⊥ OB CM ⊥ OA CN ⊥ OB 2 ． 线段垂直平分线 ： (1) 性质：如图，若直线 l ⊥ AB 于 O ，且 OA ＝ OB ，则 ________ ． (2) 判定：如图，若 ________ ，则点 C 在直线 l 上． AC ＝ BC AC ＝ BC 名师助学 角平分线、线段垂直平分线的性质主要用来证明角相等、线段相等． 对 接 中 考 常考角度 1 ．一般三角形全等的判定； 2 ．直角三角形全等的判定； 3 ．三角形全等的判定在实际问题中的应用． 对接点一：全等三角形的判定 【 例题 1 】 (2012· 义乌 ) 如图，在 △ ABC 中，点 D 是 BC 的中点，作射线 AD ，在线段 AD 及其延长线上分别取点 E ， F ，连接 CE ， BF . 添加一个条件，使得△ BDF ≌△ CDE ，并加以证明．你添加的条件是 ________( 不添加辅助线 ) ． 分析 　由点 D 是 BC 的中点知 BD ＝ CD ，隐含条件是 ∠ EDC ＝ ∠ BDF ，已知一边一角，再添加一边或一角相等，均可得两个三角形全等． 证明　 ( 以添加 DE ＝ DF 为例 ) ∵点 D 是 BC 中点 ∴ BD ＝ CD 又 ∵∠ EDC ＝ ∠ FDB DE ＝ DF ∴△ BDF ≌△ CDE (SAS) 1. 熟记三角形全等的条件： SSS 、 SAS 、 ASA 、 AAS 、 HL ； 2 ．仔细观察图形，注意隐含条件的挖掘，如：公共边、公共角、对顶角等． 【 预测 1 】 如图， AC 、 BD 是长方形 ABCD 的对角线，过点 D 作 DE ∥ AC 交 BC 的延长线于 E ，则图中与 △ ABC 全等的三角形共有 ( 　　 ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 解析 　 ①∵ AB ＝ DC ， ∠ D ＝ ∠ B ， AC ＝ DB ， ∴△ ABC ≌△ ADC ； ②∵ AB ＝ DC ， ∠ ABC ＝ ∠ DCE ， BC ＝ BC ， ∴△ ABC ≌△ DBC ； ③∵ AB ＝ DC ， ∠ DAB ＝ ∠ CBA ， BC ＝ AD ， ∴△ ABC ≌△ ABD ； ④∵ DE ∥ AC ， ∴∠ ACB ＝ ∠ DEC ， ∵ AB ＝ DC ， ∠ ABC ＝ ∠ DCE ， ∴△ ABC ≌△ DCE . 故选 D. 答案 　 D 【 预测 2 】 要测量河两岸相对的两点 A ， B 的距离，先在 AB 的垂线 BF 上取两点 C ， D ，使 CD ＝ BC ，再定出 BF 的垂线 DE ，使 A ， C ， E 在一条直线上 ( 如图所示 ) ，可以说明 △ EDC ≌△ ABC ，得 ED ＝ AB ，因此测得 ED 的长就是 AB 的长，判定 △ EDC ≌△ ABC 最恰当的理由是 ( 　　 ) A ．边角边 B ．角边角 C ．边边边 D ．边边角 解析　 ∵ BF ⊥ AB ， DE ⊥ BD ∴∠ ABC ＝ ∠ BDE 又 ∵ CD ＝ BC ， ∠ ACB ＝ ∠ DCE ∴△ EDC ≌△ ABC (ASA) ． 故选 B. 答案 　 B 常考角度 1 ．全等三角形的对应边相等，对应角相等； 2 ．全等三角形的性质与判定及平行四边形、圆等 的综合考查． 对接点二：全等三角形的性质 【 例题 2 】 (2012· 柳州 ) 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端 M 、 N 的距离，如果 △ PQO ≌△ NMO ，则只需测出其长度的线段是 ( 　　 ) A ． PO B ． PQ C ． MO D ． MQ 分析　 利用全等三角形对应边相等可知要想求得 MN 的长，只需求得其对应边 PQ 的长，据此可以得到答案． 解析 　要想利用 △ PQO ≌△ NMO 求得 MN 的长，只需求得线段 PQ 的长．故选 B. 答案 　 B 1. 仔细观察图形，找准对应边 、对应角； 2 ．全等三角形的性质常与三角形全等的判定，四边形等知识相结合进行考查． 【 预测 3 】 如图，在 △ ABC 中 AD ⊥ BC ， CE ⊥ AB ，垂足分别为 D 、 E ， AD 、 CE 交于点 H ，已知 EH ＝ EB ＝ 3 ， AE ＝ 4 ，则 CH 的长是 ( 　　 ) A ． 1 　　　 B ． 2 C ． 3 D ． 4 解析 　在 △ ABC 中， AD ⊥ BC ， CE ⊥ AB ， ∴∠ AEH ＝ ∠ ADB ＝ 90 °； ∵∠ EAH ＋ ∠ AHE ＝ 90 °， ∠ DHC ＋ ∠ BCH ＝ 90 °， ∵∠ EHA ＝ ∠ DHC ( 对顶角相等 ) ， ∴∠ EAH ＝ ∠ DCH ( 等量代换 ) ； ∵在 △ BCE 和 △ HAE 中 ∴△ AEH ≌△ CEB (AAS) ； ∴ AE ＝ CE ； ∵ EH ＝ EB ＝ 3 ， AE ＝ 4 ， ∴ CE ＝ 4 ∴ CH ＝ CE － EH ＝ AE － EH ＝ 4 － 3 ＝ 1. 故选 A. 答案 　 A 【 预测 4 】 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面夹角 ∠ ABC 与 ∠ DFE 的度数和是 ( 　　 ) A ． 60 ° B ． 90 ° C ． 120 ° D ． 150 ° 解析 　 ∵ 滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， ∵ BC ＝ EF ， AC ＝ DF ， ∴ Rt △ ABC ≌ Rt △ DEF ， ∴∠ 2 ＝ ∠3 ， ∠1 ＝ ∠4 ， ∵∠ 3 ＋ ∠4 ＝ 90 °， ∴∠ ABC ＋ ∠ DFE ＝ 90 ° . 故选 B. 答案 　 B 常考角度 1 ．角平分线的性质常与等腰三角形及轴对称结合在一起考查； 2 ．垂直平分线与等腰三角形的相关知识结合，证明线段或角相等． 对接点三：角平分线、线段垂直平分线的性质 【 例题 3 】 (2012· 金华 ) 如图，在等腰 △ ABC 中， AB ＝ AC ， ∠ BAC ＝ 50 °， ∠ BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O ，点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，则 ∠ OEC 的度数是 ________ ． 分析 　利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出 ∠ OBC ＝ 40 °，及 ∠ OBC ＝ ∠ OCB ＝ 40 °，再利用翻折变换的性质得出 EO ＝ EC ， ∠ ECO ＝ ∠ EOC ，进而求出即可． 解析 　连接 BO ∵∠ BAC ＝ 50 °， ∠ BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O ， ∴∠ OAB ＝ ∠ ABO ＝ 25 °， ∵ AB ＝ AC ， ∠ BAC ＝ 50 ° ∴∠ ABC ＝ ∠ ACB ＝ 65 °， ∴∠ OBC ＝ 65 °－ 25 °＝ 40 °， ∴△ ABO ≌△ ACO (SAS) ， ∴ BO ＝ CO ， ∴∠ OBC ＝ ∠ OCB ＝ 40 °， ∵点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合， ∴ EO ＝ EC ， ∠ EOC ＝ ∠ OCE ＝ 40 ° ∴∠ OEC ＝ 180 °－ ∠ EOC － ∠ OCE ＝ 180 °－ 40 °－ 40 ° ＝ 100 ° 答案　 100 ° 1. 角平分线常添加过角平分线上一点作角的两边的垂线段或把与角平分线垂直的线段延长与角的两边相交构造等腰三角形； 2 ．线段的垂直平分线，常把垂直平分线上的点和线段的端点连结起来构造等腰三角形． 【 预测 5 】 如图， OP 平分 ∠ MON ， PA ⊥ ON 于点 A ，点 Q 是射线 OM 上一动点，若 PA ＝ 2 ，则 PQ 的最小值为 ( 　　 ) A ． 1 　　　　　 B ． 2 C ． 3 D ． 4 解析 　过点 P 作 PQ ⊥ OM ，垂足为 Q ，则 PQ 为最短距离， ∵ OP 平分 ∠ MON ， PA ⊥ ON ， PQ ⊥ OM ∴ PA ＝ PQ ＝ 2. 故选 B. 答案 　 B 【 预测 6 】 如图，等腰 △ ABC 的周长为 21 ，底边 BC ＝ 5 ， AB 的垂直平分线 DE 交 AB 于点 D ，交 AC 于点 E ，则△ BEC 的周长为 ( 　　 ) A ． 13 B ． 14 C ． 15 D ． 16 解析 　 ∵ DE 垂直平分 AB ， ∴ AE ＝ BE ∵ BC ＝ 5 ， AB ＋ AC ＋ BC ＝ 21 ∴ AB ＋ AC ＝ 16 ∵△ ABC 是等腰三角形 ∴ AB ＝ AC ＝ 8 △ BEC 的周长＝ BE ＋ EC ＋ BC ＝ AE ＋ EC ＋ BC ＝ AC ＋ BC ＝ 8 ＋ 5 ＝ 13 故选 A. 答案 　 A 易 错 防 范 问题：对角平分线的性质理解不清 全等三角形中常见错误 【 例题 4 】 (2012· 泰州 ) 如图， P 是 ∠ AOB 平分线上一点， C 、 D 分别在 OA 、 OB 上，且 OC ＝ OD ， PC ＝ 2. 则 PD ＝ ________ ． [ 错解 ] 　 ∵ OP 是 ∠ AOB 的平分线， OC ＝ OD ， ∴ PD ＝ PC ＝ 2. [ 错因分析 ] 　错解的原因是对角平分线性质的条件没有透彻地理解．定理中的 “ 距离 ” 是指点到直线的距离，即垂线段的长度，题目中并没有给出 PC ⊥ OA ， PD ⊥ OB 的条件． [ 正解 ] 　在 △ COP 和 △ DOP 中， ∵ OC ＝ OD ， ∠ COP ＝ ∠ DOP ， OP ＝ OP ， ∴△ COP ≌△ DOP ， 所以 PD ＝ PC ＝ 2.   1. 理解角平分线的性质要透彻； 2 ．距离指点到直线的距离，即垂线段的长度． 课 时 跟 踪 检 测 点击链接