课时课题：第一章 第四节 角平分线 第2课时
授课人：市中区龙子心中学
课型：新授课
授课时间：2014年3月5日 星期三 第1、2节课
教学目标：
1.经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，进一步体会证明的必要性．
2.掌握三角形三个内角的平分线的性质，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
3.综合运用角平分线的性质定理和判定定理解决几何中的问题．
教学重点与难点：
重点：三角形三个内角的平分线的性质．
难点：.综合运用角平分线的判定和性质定理解决几何中的问题．
教法与学法指导：
充分发挥学生的主体作用，设计问题让学生做，错误原因让学生说，方法与结论让学生归纳，采用启发式和讨论式教学，探索、归纳总结.
课前准备：多媒体课件
第一环节 问题导学 交流展示
【出示幻灯片】
如图，我校园内有一块有三条路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供师生小憩 ，使小亭中心到三条路的距离相等，请你确定小亭中心的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【师】这是一个我们学校真实的问题，谁能解决？
【生】
在三角形的内部，分别作出两个内角的平分线，在其交点位置建小亭，能使它到三条路的距离相等.
【师】你能解释一下其中的道理吗？
【生】昨天做作业，我通过尺规作图发现三角形的三个内角的角平分线交于一点，根据角平分线的性质定理还可知这点到三角形三边的距离相等．
【师】昨天作业大家都完成了没有?
【生】完成了，我们也发现三角形的三条角平分线交于一点．
【教师活动】使用实物展台展示一名学生的尺规作一个三角形的角平分线，师生达成共识．
【师】 如何利用我们学过的公理和已证的定理来证明这个结论呢？可以类比我们学过的知识解决吗？
【生】可以类比三角形三条边的垂直平分线交于一点的方法来证明．
【师】很好！你还记得我们是怎样证明的吗？
【师】先是设有其中两边的垂直平分线交于一点，然后利用线段垂直平分线的判定定理，说明这一点在第三边的垂直平分线上．
【师】你掌握的很好！下面我们就类比这种方法来证明它.
【设计意图】通过一道现实问题自然引出对三角形内角平分线性质的探究，通过类比线段垂直平分线和角平分线之间的相似性，使学生初步感受到了数学中的和谐，对数学对象之间的相互联系有了感性的体验，从而找出解决问题方法．
第二环节 合作探究 训练反馈
【出示幻灯片】
P
C
B
A
D
E
F
N
M
例2 求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等。
【师】请同学们类比三角形三边垂直平分线交于一点的证法写出已知、求证来，并尝试完成证明过程．
【学生活动】试着完成，学生感觉还是有难度，课堂陷入讨论的氛围中．
【教师活动】巡视课堂，参与学生的小组讨论，与学生一起完成论证过程．
【出示幻灯片】
P
C
B
A
D
E
F
N
M
已知：如图，在△ABC中，的角平分线BM、CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别是D,E,F．
求证：∠BAC的角平分线经过点P, 且PD = PE = PF．
证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：PE＝PF．∴PD = PE = PF．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
即∠BAC的角平分线经过点P．
【师】三角形三条角平分线相交于一点，这一点成为三角形的内心，三角形内心到三角形三边距离相等，这些我们将在九年级继续研究，这里只要求同学们理解记住这个结论．下面我们利用它解决两道题：【出示幻灯片】
随堂练习
1．如图，在△ABC中，∠B、∠C的角平分线交于点0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（ ）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能确定
２．通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的.如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，求△ABC的面积 ．
【学生活动】积极动脑，合作竞学，运用今日所学找到解题思路。
【分析】第一题学生能马上说出答案．第二题有难度，应该留给学生充分思考的时间，可以提示：S△ABC=S△APC+S△APB+S△BPC.
【生1】三角形三条角平分线相交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等。可得：OD=OE，故选C．
【生2】设P点到AB、BC、AC的距离分别为a、b、c，根据三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等得a=b=c=1， ∵△ABC的周长为10，即AB+BC+AC=10 又∵S△ABC=
S△APC+S△APB+S△BPC=×AB×a+×BC×b+×AC×c=×(AB+BC+AC)×a=×10×1=5
∴△ABC的面积为5．
【设计意图】此处内容的证明与前面探讨三角形三边的垂直平分线的位置关系相似，因此在证明结论时，引导学生类比三角形三边垂直平分线的位置关系的证明思路和方法进行思考，
设计两道练习题目的是加深学生对定理的理解与应用．
第三环节 例题讲解，应用提升
【出示幻灯片】
例3如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
【师】这是一道综合的题目，题目中不光把计算和证明贴在一起，而且需要运用我们前面所学的多个定理。同学们可以在较大的范围内思考问题，先从条件出发，想一想由条件可以得到哪些结论?然后从结论出发，思考如果要证明结论成立或计算出结果，都需要什么结果?
【学生活动】积极动脑思考，讨论解题方法．
【教师活动】巡视课堂，参与讨论，引导个别学生思考问题．
（留给学生足够的时间，给学生自己动脑的机会．）
【师】哪位同学来讲解一下你的做题思路？
【生1】第(1)问中，求AC的长，可以求出BC的长，而BC＝CD＋DB，CD＝4cm，根据角平分线的性质，DE＝CD＝4cm，而BD在等腰直角三角形DBE中，再根据勾股定理便可求出DB的长．
【生2】第(2)问中，求证AB＝AC＋CD．可以先证明△ACD≌△AED得AC＝AE，然后证明CD=DE＝BE．利用转化的思想AB＝AE＋BE=AC+CD．
【师】这两位同学分析得很到位，请同学们试着自己写出解题过程，还有没听明白的可以单独问一下．
【学生活动】在自己练习本上写出解题过程．
【教师活动】指导个别学生的书写格式，了解学生对本道例题的掌握情况。利用实物展台展示一名学生的解题过程，师生共析。
【生】(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
∠C＝90°，DE⊥AB．
∴DE＝CD＝4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．
∵AC＝BC．
∴∠B＝∠BAC(等边对等角)．
∵∠C＝90°，
∴∠B＝×90°＝45°．
∴∠BDE＝90°－45°＝45°．
∴BE＝DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
BD＝＝cm(勾股定理)，
∴AC＝BC＝CD＋BD＝(4＋)cm．
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC＝AE．
∵BE＝DE＝CD，
∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD．
【随堂练习】教材第３１页．
【设计意图】通过本道例题的分析和解决，使学生能够熟练应用角平分线定理，进一步规范做题格式和证明步骤．课堂发挥学生主体地位，激发学生思考，提高分析问题，解决问题的能力．
第四环节 课堂小结 盘点收获
【师】本节课你收获了什么?你还有何困惑？
【生１】通过本课学习我知道了三角形三条角平分线相交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等．
【生２】我们可以用三角形角平分线的性质定理和判定定理解决一些数学问题和实际问题.
【生３】我学会了类比的思想方法.
达标测试
1、以下说法正确的是 ．
①在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个．
②在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个．
③三角形三条角平分线交于一点．
④三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形．
２、如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.
3、如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且交BE于E。求证：AE平分∠FAC。
4、如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点D，过点D作AB、AC的（或延长线）垂线，垂足分别是M、N。求证：BM=CN。
板书设计
例2 求证：三角形三条角平分线相交于一点，
并且这点到三角形三边的距离相等。
例3
（1）解：
（2）证明：
教学反思：
本节实际上还是研究角平分线性质定理及判定定理的应用，通过类比的方法证明三角形三条角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等．学生并不是很生疏，还是比较容易理解的．值得注意的地方是学生对角平分线的性质定理的运用还不够灵活，因此第二环节设计两道课外练习题，使同学们能熟练这些应用。另外，学生对于辅助线的应用、对于证明及及计算的解题步骤的书写还不够规范，这些都需要今后加强练习．
不足之处：教学语言不精练，对自己、对学生自信心不够强，有的话重复了好几遍，另外课堂提问质量不高．
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