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回顾与思考 第一章 三角形的证明 用心想一想，马到功成 1 ．你能说说作为证明基础的几条公理吗？ 公理： 同位角相等，两直线平行； 公理： 两直线平行，同位角相等； 公理： 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； 公理： 三边对应相等的两个三角形全等； 公理： 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； 公理： 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 用心想一想，马到功成 ２．向你的同伴讲述一两个命题的证明思路和证明方法． ① 综合法：从已知出发利用学过的公理和已证明的定理进行合情推理和演绎推理； ②反证法． 用心想一想，马到功成 ３．你能说出一对互逆命题吗？它们的真假性如何？ http://www.bnup.com.cn 用心想一想，马到功成 ４．任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分． 已知：如图，∠ AOB 求作 ： (1) 射线 OC ，使 ∠ AOC= ∠ BOC ； (2) 射线 OD 、 OE ，使 ∠ AOD= ∠ DOC= ∠ COE= ∠ EOB 作法 : (1) 1 、在 OA 和 OB 上分别分别截取 OM 、 ON ，使 OM=ON ． 　　　 2 ．分别以 M 、 N 为圆心，以大于 MN 的长为半径作弧，两弧在∠ AOB 内交于点 C ． 　　　 3 ．作射线 OC 　　　 OC 就是∠ AOB 的平分线． N M B O A Ｃ 用心想一想，马到功成 ４．任意画一个角，利用尺规将其二等分、四等分． 已知：如图，∠ AOB 求作 ： (1) 射线 OC ，使 ∠ AOC= ∠ BOC ； (2) 射线 OD 、 OE ，使 ∠ AOD= ∠ DOC= ∠ COE= ∠ EOB 作法 : (2) 同上，分别在 ∠ AOC 和 ∠ BOC 内部作射线 OD 、 OE ． E D B O A Ｃ N M 建立本章的知识框架图 本章所证明的命题大多与等腰三角形和直角三角形有关，主要包括哪些呢？ 等腰三角形（含等边三角形）、直角三角形的性质定理及判定定理；线段垂直平分线的性质定理及判定定理；角平分线的性质定理及判定定理． 1 ．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理： （ 1 ）与等腰三角形、等边三角形有关的结论： 性质： 等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角； 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等。 等边三角形的 三条边都相等， 三个角都相等，并且每个角都等于 60 ° ； 等边三角形的三条角平分线、三条中线、三条高互相相等。 1 ．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理： （１）与等腰三角形、等边三角形有关的结论： 判定： 有两个角相等的三角形是等腰三角形； 有一个角是 60 °的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形。 1 ．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理： （ 2 ）与直角三角形有关的结论： 勾股定理的逆定理； 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30 °，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等。 (HL) 1 ．通过探索、猜测、计算、证明得到的定理： （ 3 ）与一般三角形有关的结论： 在一个三角形中，两个角不相等，它们所对的边也不相等（用反证法证明）。 2 ．命题的逆命题及其真假 ： 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。其中一个命题称为另一个命题的逆命题。 一个命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理。其中一个定理称为另一个定理的逆定理。例如勾股定理及其逆定理。 3 ．尺规作图 线段垂直平分线的性质定理和判定定理；用尺规作线段的垂直平分线；已知底边和底边上的高，用尺规作等腰三角形。 角平分线的性质定理和判定定理；用尺规作已知角的平分线。 http://www.bnup.com.cn 例题讲解 例 1 、已知：如图， D 是△ ABC 的 BC 边上的中点， DE⊥AC ， DF⊥AB ，垂足分别是 E 、 F ，且 DE=DF. 求证：△ ABC 是等腰三角形 . E F C D A B 分析： 要证△ ABC 是等腰三角形，可证∠ B=∠C. 例题讲解 例 2 、如图，在△ ABC 中， AB=AC ， AB 的垂直平分线交 AC 于点 E ，已知△ BCE 的周长为 8 ， AC － BC=2. 求 AB 与 BC 的长 . E D C A B 分析： 由已知 AC － BC=2 ，即 AB － BC=2 ，要求 AB 和 BC 的长，利用方程的思想，需找另一个 AB 与 BC 的关系。 课时小结 本章的内容总结如下： 通过探索、猜测、计算、证明得到的定理 与等腰三角形、等边三角形有关的结论 与直角三角形有关的结论 与一般三角形有关的结论 命题的逆命题及其真假 尺规作图 线段的垂直平分线 角的平分线