【基础演练】
1.(2012·陕西)如图,在△ABC中,AD,BE是两条中线,则S△EDC∶S△ABC= ( )
A.1∶2 B.2∶3
C.1∶3 D.1∶4
解析 ∵AD、BE是两条中线,
∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AB,=,∴△EDC∽△ABC,
∴===.
故选D.
答案 D
2. (2012·北海)如图,梯形ABCD中AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,若AO∶CO=2∶3,AD=4,则BC等于 ( )
A.12 B.8 C.7 D.6
解析 ∵梯形ABCD中AD∥BC,
∴∠ADO=∠OBC,∠AOD=∠BOC,
∴△AOD∽△COB,∵AO∶CO=2∶3,AD=4,
∴==,∴=,解得BC=6.
故选D.
答案 D
3.(2012·张家界)已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25,则△ABC与
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△DEF的相似比为________.
解析 因为△ABC∽△DEF,所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方,
因为S△ABC∶S△DEF=4∶25=,所以△ABC与△DEF的相似比为2∶5.
答案 2∶5
4.(2012·孝感)如图,在 △ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是 ( )
A. B.
C.-1 D.+1
解析 ∵∠A=∠DBC=36°,∠C为公共角,
∴△ABC∽△BDC,且AD=BD=BC.
设BD=x,则BC=x,CD=2-x.
由于=,∴=,
整理得:x2+2x-4=0,解得:x=-1±,
∵x为正数,∴x=-1+.故选C.
答案 C
5.(2012·宜宾)如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD,CD=AB,点E、F分别为AB、AD的中点,则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为 ( )
A. B. C. D.
解析 连结BD
∵E、F分别为AB、AD中点,
∴EF=BD EF∥BD,
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∴△AEF∽△ABD,
∴==,∴=,
∵CD=AB,CB⊥DC,AB∥CD,
∴==,
∴==,故选C
答案 C
6.(2012·衢州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,点O是AB上一点,⊙O过B、D两点,且分别交AB、BC于点E、F.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)已知AB=10,BC=6,求⊙O的半径r.
(1)证明 连接OD,∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ODB=∠DBC,
∴OD∥BC.
又∠C=90°,∴OD⊥AC,∴AC是⊙O的切线.
(2)解 ∵OD∥BC,∴△AOD∽△ABC,
∴=,∴=,解得r=.
7.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度,学校数学应用实践小组做了如下的探索:根据光的反射定律,利用一面镜子和皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离树(AB)8.7 m的点E处,然后观测者沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7 m,观测者目高
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CD=1.6 m,则树高AB约是________.(精确到0.1 m)
解析 由题意知∠CDE=∠ABE=90°,又由光的反射原理可知∠CED=∠AEB,
∴△CED∽△AEB.∴=,∴=,
∴AB≈5.2米.
答案 5.2 m
8.如图,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=40 cm,AD=30 cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G、H分别在AC、AB上,AD与HG的交点为M. 求矩形的长与宽.
解 ∵四边形EFGH为矩形,∴HG∥EF,
∴△AHG∽△ABC,又∵AD⊥BC,∴AM⊥HG,
∴=
∵四边形HEDM为矩形,
∴MD=HE,
∵HG=2HE,设HE=x,则HG=2x,DM=x,
∴=,解得x=12,
∴HG=2×12=24,
∴矩形的长和宽分别为24 cm和12 cm.
【能力提升】
9.如图,在平行四边形ABCD中,CD=10,F是AB边
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上一点,DF交AC于点E,且=,则=________,BF=________.
解析 △AFE∽△CDE,=为相似比,所以面积比为相似比的平方,即.由比例式==,所以AF=4,则BF=6.
答案 6
10.(2012·日照中考)如图,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连结AE,作BF⊥AE,垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.
求证:(1)CG=BH,
(2)FC2=BF·GF,
(3)=.
证明 (1)∵BF⊥AE,CG∥AE,∴CG⊥BF.
∵在正方形ABCD中,∠ABH+∠CBG=90°,
∠CBG+∠BCG=90°,∠BAH+∠ABH=90°,
∴∠BAH=∠CBG,∠ABH=∠BCG,
AB=BC,∴△ABH≌△BCG,∴CG=BH;
(2)∵∠BFC=∠CFG,∠BCF=∠CGF=90°,
∴△CFG∽△BFC,∴=,
即FC2=BF·GF;
(3)由(2)可知,△BCG∽△BFC
∴=,∴BC2=BG·BF,
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∵AB=BC,∴AB2=BG·BF,
∴==
即=.
11.(2012·长沙)如图,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G.
(1)求证:△BDG∽△DEG;
(2)若EG·BG=4,求BE的长.
(1)证明 ∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,∴△BCE≌△DCF,
∴∠FDC=∠EBC,∵BE平分∠DBC,
∴∠DBE=∠EBC,∴∠FDC=∠EBD,
∵∠DGE=∠DGE,∴△BDG∽△DEG.
(2)解 ∵△BCE≌△DCF,
∴∠F=∠BEC,∠EBC=∠FDC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DCB=90°,∠DBC=∠BDC=45°,
∵BE平分∠DBC,
∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC,
∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°,
∠F=90°-22.5°=67.5°=∠BDF,
∴BD=BF,∵△BCE≌△DCF,
∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG,
∴∠DGB=180°-22.5°-67.5°=90°,
即BG⊥DF,∵BD=BF,∴DF=2DG,
∵△BDG∽△DEG,BG·EG=4,
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∴=,
∴BG·EG=DG·DG=4,
∴DG=2,∴BE=DF=2DG=4.
12.(2012·梅州)如图,AC是⊙O的直径,弦BD交AC于点E.
(1)求证:△ADE∽△BCE;
(2)如果AD2=AE·AC,求证:CD=CB.
证明 (1)如图∵∠A与∠B是对的圆周角,
∴∠A=∠B,又∵∠1=∠2,
∴△ADE∽△BCE.
(2)如图,∵AD2=AE·AC,∴=,
又∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACD,
∴∠AED=∠ADC,
又∵AC是⊙O的直径,
∴∠ADC=90°,
即∠AED=90°,
∴直径AC⊥BD,∴CD=CB.
13.(2012·河南)类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学
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学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整,原题:如图1,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.若=3,求的值.
(1)尝试探究:
在图1中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是________,
CG和EH的数量关系是________,
的值是________.
(2)类比延伸:
如图2,在原题条件下,若=m(m>0)则的值是________(用含有m的代数式表示),试写出解答过程.
(3)拓展迁移:
如图3,梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC的延长线上的一点,AE和BD相交于点F,若=a,=b(a>0,b>0)则的值是________(用含a、b的代数式表示).
图1′
解析 (1)依题意,过点E作EH∥AB交BG于点H,如图1′所示,则有△ABF∽△EHF
∴==3,
∴AB=3EH
∵▱ABCD,EH∥AB
∴EH∥CD
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又∵E为BC的中点,
∴EH为△BCG的中位线,
∴CG=2EH,∴===
(2)如图2′所示,作EH∥AB交BG于点H,
图2′
则△EFH∽△AFB
∴==m,
∴AB=mEH
∵▱ABCD
∴AB=CD=mEH
∵EH∥AB∥CD
∴△BEH∽△BCG
∴==2,∴CG=2EH,∴==
(3)如图3′所示,过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H,则有EH∥AB∥CD
图3′
∵EH∥CD
∴△BCD∽△BEH
∴==b,
∴CD=bEH
又=a,
∴AB=aCD=abEH
∵EH∥AB,∴△ABF∽△EHF
∴===ab
∴===ab+1
答案 (1)AB=3EH CG=2EH (2) (3)ab+1
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