2014年中考数学相似三角形总复习课件及练习
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资料简介
‎【基础演练】‎ ‎1.(2012·陕西)如图,在△ABC中,AD,BE是两条中线,则S△EDC∶S△ABC= (  )‎ A.1∶2     B.2∶3‎ C.1∶3 D.1∶4‎ 解析 ∵AD、BE是两条中线,‎ ‎∴DE是△ABC的中位线,‎ ‎∴DE∥AB,=,∴△EDC∽△ABC,‎ ‎∴===.‎ 故选D.‎ 答案 D                 ‎ ‎2. (2012·北海)如图,梯形ABCD中AD∥BC,对角线AC、BD相交于点O,若AO∶CO=2∶3,AD=4,则BC等于 (  )‎ A.12 B.‎8 ‎ C.7 D.6‎ 解析 ∵梯形ABCD中AD∥BC,‎ ‎∴∠ADO=∠OBC,∠AOD=∠BOC,‎ ‎∴△AOD∽△COB,∵AO∶CO=2∶3,AD=4,‎ ‎∴==,∴=,解得BC=6.‎ 故选D.‎ 答案 D ‎3.(2012·张家界)已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25,则△ABC与 - 9 -‎ ‎△DEF的相似比为________.‎ 解析 因为△ABC∽△DEF,所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方,‎ 因为S△ABC∶S△DEF=4∶25=,所以△ABC与△DEF的相似比为2∶5.‎ 答案 2∶5‎ ‎4.(2012·孝感)如图,在 △ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D,若AC=2,则AD的长是 (  )‎ A.    B. C.-1 D.+1‎ 解析 ∵∠A=∠DBC=36°,∠C为公共角,‎ ‎∴△ABC∽△BDC,且AD=BD=BC.‎ 设BD=x,则BC=x,CD=2-x.‎ 由于=,∴=,‎ 整理得:x2+2x-4=0,解得:x=-1±,‎ ‎∵x为正数,∴x=-1+.故选C.‎ 答案 C ‎5.(2012·宜宾)如图,在四边形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD,CD=AB,点E、F分别为AB、AD的中点,则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为 (  )                 ‎ A. B. C. D. 解析 连结BD ‎∵E、F分别为AB、AD中点,‎ ‎∴EF=BD EF∥BD,‎ - 9 -‎ ‎∴△AEF∽△ABD,‎ ‎∴==,∴=,‎ ‎∵CD=AB,CB⊥DC,AB∥CD,‎ ‎∴==,‎ ‎∴==,故选C 答案 C ‎6.(2012·衢州)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线交AC于点D,点O是AB上一点,⊙O过B、D两点,且分别交AB、BC于点E、F.‎ ‎(1)求证:AC是⊙O的切线;‎ ‎(2)已知AB=10,BC=6,求⊙O的半径r.‎ ‎(1)证明 连接OD,∵OB=OD,‎ ‎∴∠OBD=∠ODB.‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABD=∠DBC,‎ ‎∴∠ODB=∠DBC,‎ ‎∴OD∥BC.‎ 又∠C=90°,∴OD⊥AC,∴AC是⊙O的切线.‎ ‎(2)解 ∵OD∥BC,∴△AOD∽△ABC,‎ ‎∴=,∴=,解得r=.‎ ‎7.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度,学校数学应用实践小组做了如下的探索:根据光的反射定律,利用一面镜子和皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离树(AB)‎8.7 m的点E处,然后观测者沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=‎2.7 m,观测者目高 - 9 -‎ CD=‎1.6 m,则树高AB约是________.(精确到‎0.1 m)‎ 解析 由题意知∠CDE=∠ABE=90°,又由光的反射原理可知∠CED=∠AEB,‎ ‎∴△CED∽△AEB.∴=,∴=,‎ ‎∴AB≈‎5.2米.‎ 答案 ‎‎5.2 m ‎8.如图,△ABC是一张锐角三角形的硬纸片,AD是边BC上的高,BC=‎40 cm,AD=‎30 cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在BC上,顶点G、H分别在AC、AB上,AD与HG的交点为M. 求矩形的长与宽.‎ 解 ∵四边形EFGH为矩形,∴HG∥EF,‎ ‎∴△AHG∽△ABC,又∵AD⊥BC,∴AM⊥HG,‎ ‎∴= ‎∵四边形HEDM为矩形,‎ ‎∴MD=HE,‎ ‎∵HG=2HE,设HE=x,则HG=2x,DM=x,‎ ‎∴=,解得x=12,‎ ‎∴HG=2×12=24,‎ ‎∴矩形的长和宽分别为‎24 cm和‎12 cm.‎ ‎【能力提升】‎ ‎9.如图,在平行四边形ABCD中,CD=10,F是AB边 - 9 -‎ 上一点,DF交AC于点E,且=,则=________,BF=________.‎ 解析 △AFE∽△CDE,=为相似比,所以面积比为相似比的平方,即.由比例式==,所以AF=4,则BF=6.‎ 答案  6‎ ‎10.(2012·日照中考)如图,在正方形ABCD中,E是BC上的一点,连结AE,作BF⊥AE,垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G.‎ 求证:(1)CG=BH,‎ ‎(2)FC2=BF·GF,‎ ‎(3)=.‎ 证明 (1)∵BF⊥AE,CG∥AE,∴CG⊥BF.‎ ‎∵在正方形ABCD中,∠ABH+∠CBG=90°,‎ ‎∠CBG+∠BCG=90°,∠BAH+∠ABH=90°,‎ ‎∴∠BAH=∠CBG,∠ABH=∠BCG,‎ AB=BC,∴△ABH≌△BCG,∴CG=BH;‎ ‎(2)∵∠BFC=∠CFG,∠BCF=∠CGF=90°,‎ ‎∴△CFG∽△BFC,∴=,‎ 即FC2=BF·GF;‎ ‎(3)由(2)可知,△BCG∽△BFC ‎∴=,∴BC2=BG·BF,‎ - 9 -‎ ‎∵AB=BC,∴AB2=BG·BF,‎ ‎∴== 即=.‎ ‎11.(2012·长沙)如图,已知正方形ABCD中,BE平分∠DBC且交CD边于点E,将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,并延长BE交DF于点G.‎ ‎(1)求证:△BDG∽△DEG;‎ ‎(2)若EG·BG=4,求BE的长.‎ ‎(1)证明 ∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置,∴△BCE≌△DCF,‎ ‎∴∠FDC=∠EBC,∵BE平分∠DBC,‎ ‎∴∠DBE=∠EBC,∴∠FDC=∠EBD,‎ ‎∵∠DGE=∠DGE,∴△BDG∽△DEG.‎ ‎(2)解 ∵△BCE≌△DCF,‎ ‎∴∠F=∠BEC,∠EBC=∠FDC,‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠DCB=90°,∠DBC=∠BDC=45°,‎ ‎∵BE平分∠DBC,‎ ‎∴∠DBE=∠EBC=22.5°=∠FDC,‎ ‎∴∠BDF=45°+22.5°=67.5°,‎ ‎∠F=90°-22.5°=67.5°=∠BDF,‎ ‎∴BD=BF,∵△BCE≌△DCF,‎ ‎∴∠F=∠BEC=67.5°=∠DEG,‎ ‎∴∠DGB=180°-22.5°-67.5°=90°,‎ 即BG⊥DF,∵BD=BF,∴DF=2DG,‎ ‎∵△BDG∽△DEG,BG·EG=4,‎ - 9 -‎ ‎∴=,‎ ‎∴BG·EG=DG·DG=4,‎ ‎∴DG=2,∴BE=DF=2DG=4.‎ ‎12.(2012·梅州)如图,AC是⊙O的直径,弦BD交AC于点E.‎ ‎(1)求证:△ADE∽△BCE;‎ ‎(2)如果AD2=AE·AC,求证:CD=CB.‎ 证明 (1)如图∵∠A与∠B是对的圆周角,‎ ‎∴∠A=∠B,又∵∠1=∠2,‎ ‎∴△ADE∽△BCE.‎ ‎(2)如图,∵AD2=AE·AC,∴=,‎ 又∵∠A=∠A,‎ ‎∴△ADE∽△ACD,‎ ‎∴∠AED=∠ADC,‎ 又∵AC是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ADC=90°,‎ 即∠AED=90°,‎ ‎∴直径AC⊥BD,∴CD=CB.‎ ‎13.(2012·河南)类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学 - 9 -‎ 学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整,原题:如图1,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.若=3,求的值.‎ ‎(1)尝试探究:‎ 在图1中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是________,‎ CG和EH的数量关系是________,‎ 的值是________.‎ ‎(2)类比延伸:‎ 如图2,在原题条件下,若=m(m>0)则的值是________(用含有m的代数式表示),试写出解答过程.‎ ‎(3)拓展迁移:‎ 如图3,梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC的延长线上的一点,AE和BD相交于点F,若=a,=b(a>0,b>0)则的值是________(用含a、b的代数式表示).‎ ‎ 图1′‎ 解析 (1)依题意,过点E作EH∥AB交BG于点H,如图1′所示,则有△ABF∽△EHF ‎∴==3,‎ ‎∴AB=3EH ‎∵▱ABCD,EH∥AB ‎∴EH∥CD - 9 -‎ 又∵E为BC的中点,‎ ‎∴EH为△BCG的中位线,‎ ‎∴CG=2EH,∴=== ‎(2)如图2′所示,作EH∥AB交BG于点H,‎ ‎ 图2′‎ 则△EFH∽△AFB ‎∴==m,‎ ‎∴AB=mEH ‎∵▱ABCD ‎∴AB=CD=mEH ‎∵EH∥AB∥CD ‎∴△BEH∽△BCG ‎∴==2,∴CG=2EH,∴== ‎(3)如图3′所示,过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H,则有EH∥AB∥CD ‎ 图3′‎ ‎∵EH∥CD ‎∴△BCD∽△BEH ‎∴==b,‎ ‎∴CD=bEH 又=a,‎ ‎∴AB=aCD=abEH ‎∵EH∥AB,∴△ABF∽△EHF ‎∴===ab ‎∴===ab+1‎ 答案 (1)AB=3EH CG=2EH  (2) (3)ab+1‎ - 9 -‎

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