浙江省永嘉县桥下镇瓯渠中学2014届九年级数学总复习《第三十一讲 图形的旋转与中心对称》课件.ppt

第三十一讲 图形的旋转与中心对称 课 前 必 读 考纲要求 1. 通过具体实例认识旋转，中心对称和中心对称图形； 2. 探索旋转的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离 相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等，了 解旋转前后对应线段与旋转角之间的关系； 3. 了解线段、正三角形、平行四边形、正多边形、圆等 基本图形哪些是中心对称图形，哪些不是中心对称图 形； 4. 能作出简单平面图形旋转后的图形，能利用旋转进行 图案设计，认识旋转在现实生活中的作用； 5. 了解旋转与坐标，中心对称与坐标的关系 . 学.科.网 考情分析 近三 年浙 江省 中考 情况 年份 考查点 题型 难易度 2010 年 中心对称图形和中心对称 (3 分 ) 选择题 容易 2011 年 旋转的性质的综合应用 (8 分 ) 解答题 稍难 2012 年 坐标与旋转变换 (3 分 ) . 学.科.网 填空题 中等 网 络 构 建 旋转变换三要素 中心方向和角度 变换前后图不变 ( 大小和形状 ) 图绕中心在旋转 点 ( 每对对应点 ) 心 ( 旋转中心 ) 连线角 ( 夹角 ) 不变 图遇坐标若旋转 数形结合真灵验 . 学.科.网 考 点 梳 理 1 ．由一个图形改变为另一个图形，在改变的过程中，原图形上的 _______ 都绕一个固定的点，按同一个 _____ ，转动同一个 _____ ，这样的图形改变叫做图形的旋转变换，简称旋转，这个固定的点叫做 _________ ． 2 ． 旋转的三要素 ： _________ 、 _________ 、 _________ ． . 学.科.网 旋转变换的概念 所有点 角度 方向 旋转中心 旋转中心 旋转方向 旋转角度 3 ．画出旋转后图形的方法和步骤 (1) 连接中心与图形的各顶点 ( 或关键点 ) ； (2) 逐一按规定的方向和旋转角进行旋转各顶点 ( 或 关键点 ) ； (3) 根据原图形的形状画出旋转后的图形． 1 ．旋转变换不改变图形的 _____ 和 _____ ，即旋转变换前后的图形全等． 2 ．对应点到旋转中心的距离 _____ ，对应点与旋转中心连线所成的角度等于 ___________ ． 3 ．任何一条线段与旋转 ( 旋转角在 0 °～ 180 °之间 ) 后的像所夹的锐角与旋转角的关系是 ___________ ． 旋转变换的性质 形状 大小 相等 旋转的角度 相等或互补 名师助学 旋转往往与直角三角形、等腰三角形、三角函数、勾股定理和方程进行综合． 1 ． 中心对称 ：把一个图形绕着某一点旋转 _____ ，如果它能够与 ___________ 重合，那么，就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做 _________ ． 2 ． 中心对称图形 ：把一个图形绕着某一个点旋转 ______ ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 _____ ，那么这个图形叫做中心对称图形． 3 ． 联系 ：都是把一个图形绕着某一点旋转 _____ ． 中心对称和中心对称图形 180 ° 另一个图形 对称中心 180 ° 重合 180 ° 4 ． 区别 ：中心对称是一个图形绕着一个点旋转 180 °后能够和 ___________ 重合，中心对称图形是旋转后的图形能与 _______ 互相重合． 5 ． 性质 ： (1) 对称点所连线段都经过 _________ ，而且被对称中心所 _____ ； (2) 中心对称的两个图形是 _______ 图形． 另一个图形 它本身 对称中心 平分 全等的 名师助学 要会用辩证统一的观点理解中心对称和中心对称图形，即将中心对称图形看成是被过对称中心的直线分成的两个图形，那么，这两个图形就关于这点中心对称；若把成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个图形就是中心对称图形． 1 ．点 P ( x ， y ) 关于原点的对称点 _____________ ． 2 ．点 P ( x ， y ) 绕原点逆时针旋转 90 °后的点的坐标， ____________ ． 3 ．点 P ( x ， y ) 绕原点逆时针旋转 270 °后点的坐标， ____________ ． 4 ．坐标平面内图形的旋转可转化为图形上的关键点的旋转． 旋转与坐标 P 1 ( － x ，－ y ) P 1 ( － y ， x ) P 1 ( y ，－ x ) 名师助学 坐标平面内点的旋转的有关计算往往用到解直角三角形，勾股定理等知识． 对 接 中 考 常考角度 1 ．识别中心对称图形； 2 ．画出已知图形的中心对称图形． 对接点一：中心对称和中心对称图形 【 例题 1 】 (2012· 台州 ) 下面四个汽车标志图案中是中心对称图形的是 ( 　　 ) 分析 　根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转 180 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解． 解析 　根据中心对称的定义可得： A 、 C 、 D 都不符合中心对称的定义．故选 B. 答案 　 B 【 例题 2 】 (2012· 丽水 ) 在方格纸中，选择标有序号 ①②③④ 中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A ．① B ．② C ．③ D ．④ 分析 　通过观察发现，当涂黑 ② 时，所形成的图形关于点 A 中心对称． 解析 　如图，把标有序号 ② 的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形．故选 B. 答案 　 B 中心对称是旋转的一种特殊情况，它具有旋转的所有性质．判断一个图形是否是中心对称图形的关键是绕对称中心旋转 180 °后能否和原来的图形重合． 【 预测 1 】 下列图形中，中心对称图形有 ( 　　 ) A ． 4 个 B ． 3 个 C ． 2 个 D ． 1 个 解析 　根据中心对称图形的定义可知，第一、二、三个都是中心对称图形，第四个不是，共 3 个． 答案 　 B 【 预测 2 】 如图，画出 △ ABC 关于 P 点成中心对称的图形． 解析 　首先确定 A 、 B 、 C 三点关于点 P 成中心对称的三点 A 1 、 B 1 、 C 1 ，顺次连接 A 1 B 1 、 B 1 C 1 、 C 1 A 1 ， △ A 1 B 1 C 1 就是 △ ABC 关于 P 点成中心对称的图形． 答案 　 常考角度 1 ．旋转的性质； 2 ．对已知图形按要求进行旋转操作，发现操作过 程中的规律． 对接点二：旋转及其性质 【 例题 3 】 (2012· 北京 ) 在 △ ABC 中， BA ＝ BC ， ∠ BAC ＝ α ， M 是 AC 的中点， P 是线段 BM 上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 α 得到线段 PQ . (1) 若 α ＝ 60 °且点 P 与点 M 重合 ( 如图 1) ，线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D ，请补全图形，并写出 ∠ CDB 的度数； (2) 在图 2 中，点 P 不与点 B ， M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D ，猜想 ∠ CDB 的大小 ( 用含 α 的代数式表示 ) ，并加以证明； (3) 对于适当大小的 α ，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置 ( 不与点 B ， M 重合 ) 时，能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D ，且 PQ ＝ QD ，请直接写出 α 的范围． 分析　 (1) 利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出 △ CMQ 是等边三角形，即可得出答案； (2) 首先利用已知得出 △ APD ≌△ CPD ，进而得出 ∠ PAD ＋ ∠ PQD ＝ ∠ PQC ＋ ∠ PQD ＝ 180 °，即可求出； (3) 由 (2) 得出 ∠ CDB ＝ 90 °－ α ，且 PQ ＝ QD ，进而得出 ∠ PAD ＝ ∠ PCQ ＝ ∠ PQC ＝ 2∠ CDB ＝ 180 °－ 2 α ，得出 α 的取值范围即可． 解　 (1)∵ BA ＝ BC ， ∠ BAC ＝ 60 °， M 是 AC 的中点， ∴ BM ⊥ AC ， AM ＝ MC ， ∵将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 α 得到线段 PQ ， ∴ AM ＝ MQ ， ∠ AMQ ＝ 120 °， ∴ CM ＝ MQ ， ∠ CMQ ＝ 60 °， ∴△ CMQ 是等边三角形， ∴∠ ACQ ＝ 60 °， ∴∠ CDB ＝ 30 °； (2) 连接 PA ， PC ， AD ， ∵ AB ＝ BC ， M 是 AC 的中点， ∴ BM ⊥ AC ， ∴ AD ＝ CD ， AP ＝ PC ， PD ＝ PD ， ∴△ APD ≌△ CPD ， ∴∠ ADB ＝ ∠ CDB ， ∠ PAD ＝ ∠ PCD ， 又 ∵ PQ ＝ PA ， ∴ PQ ＝ PC ， ∠ ADC ＝ 2∠ CDB ， ∠ PQC ＝ ∠ PCD ＝ ∠ PAD ， ∴∠ PAD ＋ ∠ PQD ＝ ∠ PQC ＋ ∠ PQD ＝ 180 °， ∴∠ APQ ＋ ∠ ADC ＝ 360 °－ (∠ PAD ＋ ∠ PQD ) ＝ 180 °， ∴∠ ADC ＝ 180 °－ ∠ APQ ＝ 180 °－ 2 α ， ∴ 2 ∠ CDB ＝ 180 °－ 2 α ， ∴∠ CDB ＝ 90 °－ α ； (3)∵∠ CDB ＝ 90 °－ α ，且 PQ ＝ QD ， ∴∠ PAD ＝ ∠ PCQ ＝ ∠ PQC ＝ 2∠ CDB ＝ 180 °－ 2 α ， ∵点 P 不与点 B ， M 重合， ∴∠ BAD ＞ ∠ PAD ＞ ∠ MAD ， ∴ 2 α ＞ 180 °－ 2 α ＞ α ， ∴ 45 °＜ α ＜ 60 ° . 图形的旋转主要考查作图、计算和证明，旋转往往是综合题的一部分，多与全等三角形，等腰三角形、直角三角形、勾股定理、方程等知识进行综合，有时难度较大，解题时要学会化整为零． 【 预测 3 】 在 △ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 2 ， ∠ ABC ＝ 120 °，将 △ ABC 绕点 B 顺时针旋转角 α (0 ＜ α ＜ 120 ° ) ，得 △ A 1 BC 1 ， A 1 B 交 AC 于点 E ， A 1 C 1 分别交 AC 、 BC 于 D 、 F 两点． (1) 如图 ① ，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA 1 与 FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论； (2) 如图 ② ，当 α ＝ 30 °时，试判断四边形 BC 1 DA 的形状，并说明理由； (3) 在 (2) 的情况下，求 ED 的长． 解 　答 EA 1 ＝ FC . 证明：如题图 ①∵ AB ＝ BC ， ∴∠ A ＝ ∠ C 由旋转的性质可知： ∠ C ＝ ∠ C 1 　 BC ＝ BC 1 ， AB ＝ A 1 B ， ∠ ABC ＝ ∠ A 1 BC 1 ， ∴∠ A ＝ ∠ C 1 ， AB ＝ BC 1 ， ∠ ABE ＝ ∠ CBF ， ∴△ ABE ≌△ C 1 BF 　 (ASA) ∴ BE ＝ BF ，∴ A 1 E ＝ FC . (2) 如题图 ② ， ∵∠ ABC ＝ ∠ A 1 BC 1 ＝ 120 ° AB ＝ BC ＝ A 1 B ＝ C 1 B ∴∠ A ＝ ∠ C ＝ ∠ A 1 ＝ ∠ C 1 ＝ 30 ° 又 ∵∠ ABA 1 ＝ ∠ C 1 BC ＝ 30 ° ∴∠ ABC 1 ＝ 150 ° ∴∠ ADC 1 ＝ 360 °－ 150 °－ 30 °－ 30 °＝ 150 ° ∴四边形 ABC 1 D 为平行四边形， 又 ∵ AB ＝ BC 1 ∴四边形 BC 1 DA 为菱形． 常考角度 1 ．图形在坐标平面内旋转； 2 ．计算旋转变换后点的坐标． 对接点三：旋转与坐标 答案　 A 把图形放在一平面直角坐标系中，多以点的坐标变化为考查目标，通过计算考查旋转性质的应用，重点是关注旋转角；常与勾股定理，三角函数结合进行计算． 【 预测 4 】 如图，菱形 OABC 的顶点 O 在坐标原点，顶点 A 在 x 轴上， ∠ B ＝ 120 °， OA ＝ 2 ，将菱形 OABC 绕原点顺时针旋转 105 °至 OA ′ B ′ C ′ 的位置，则点 B ′ 的坐标为 ( 　　 ) 答案 　 A 易 错 防 范 问题 1. 对旋转角的概念理解不准； 问题 2. 中心对称图形的识别不准，抓不住关键； 问题 3. 综合运用时易忽略旋转的性质． 图形的旋转与中心对称常见错误 A ． 150 ° B ． 120 ° C ． 90 ° D ． 60 ° [ 错解 ] 　选 C  [ 错因分析 ] 　错误的原因在于没有正确找出对应线段，从而把旋转角度弄错了． [ 正解 ] 　由旋转的概念可知， OA 与 OC ， OB 与 OD 是对应的线段，而 ∠ AOC ＝ ∠ BOD ＝ 60 °＋ 90 °＝ 150 °， ∴ 选 A. 【 例题 5 】 (2012· 沈阳 ) 如图，已知 △ OAB 是正三角形， OC ⊥ OB ， OC ＝ OB ，将 △ OAB 绕点 O 按逆时针方向旋转，得到 △ OCD ，则旋转的角度是 ( 　　 ) 1. 正确理解旋转角的概念，由对应线段或对应点确定旋转角． 2 ．中心对称图形是绕对称中心旋转 180 °后与其本身重合； 3 ．旋转过程中图形的边长和角都不变． 课 时 跟 踪 检 测 点击链接