奇妙的对称美
北京紫禁城内的古建筑群非常注重对称美。通过紫禁城的核心位置，贯穿着一条中轴线：从外城永定门开始，经过内城正阳门，然后进入宫廷广场的大明门（清朝改为“大清门”，辛亥革命后又改为“中华门”），穿过广场，便是皇城上的承天门（即现在的“天安门”），承天门内有端门，端门以内迎面而来的才是紫禁城正面的午门，又叫五凤楼。在这条中轴线的东西两段，对称排列着内外两城最重要的建筑群，东面是天坛，西面是山川坛（后改称“先农坛”），以及太庙和社稷坛（即如今的“劳动人民文化宫”和“中山公园”）。进入午门之后，所有建筑物都采用了更加严格的对称排列形式。其中，只有代表皇权统治中心的前朝三大殿——太和殿、中和殿、保和殿，及内廷后三宫——乾清宫、交泰殿、坤宁宫，才端端正正地布置在正中央，且每座大殿上的蟠龙宝座，都坐落在中轴线上。
对称也是艺术家们创造艺术作品的重要准则。像中国古代的近体诗中的对仗、民间常用的对联等，都有一种内在的对称关系。对称还是自然界的一种普遍现象，不少植物、动物都有自己的对称形式。比如，人体就是以鼻尖、肚脐眼的连线为对称轴的对称形体，眼、耳、鼻、手、脚都是对称生长的。眼睛的对称使人观看物体能够更加准确；双耳的对称能使所听到的声音具有较强的立体感，以确定声源的位置；双手、双脚的对称能保持人体的平衡。
生活中的对称美也彼彼皆是，闹钟、飞机、电扇、屋架等的功能和属性完全不同，但是它们的形状态却有一个共同特征——对称。人们把闹钟、飞机、电扇制造成对称形式，不仅为了美观，而且还有一定的科学道理：闹钟的对称保证了走时的均匀性，飞机的对称使其能够在空中保持平衡。
无论是艺术家的创造，还是日常生活中图案的设计，都有对称的身影。初步掌握对称的奥妙，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐，并能根据自己的设想创造出对称的作品，装点我们美丽的生活。
只要你细心观察，就不难发现：对称就在我们身边。
数学美的和谐之对称美
对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大。数学则是它根本。美和对称紧密相连。
虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。
在数学中，对称的概念略有拓广（常把某些具有关联或对立的概念视为对称），这样对称美便成了数学美中的一个重要组成部分，同时也为人们研究数学提供了某些启示。“对称”实在是一件不容易发生的事，因为自然界的现象，人类觉得它有对称，一方面是很自然的，一方面以要追求它的准确性。自然是否呈现“对称”曾被历史上的哲学家们长期地争论过。
对称的概念源于数学（更确切地讲是欧几里得几何）。对称在天文学（甚至自然界）上的研究，则始于两千多年前的古希腊人。古希腊人十分留意各种“对称”现象，以至他们竟创立了一种学说，认为世界一切规律都是从对称来的，他们觉得最对称的东西是圆，所以他们把天文学中的天体的运行轨道画成圆，后来圆上加圆，这一来就发展为希腊后来的天文学。
自然似乎巧妙地利用了对称规律的简单的数学表示，数学推理的内在的优美和出色的完善，以及由此而来的用数学推理去揭示物理学理论的复杂性和深度，是鼓舞物理学家的丰富源泉，人们期望自然界具有人们所希望的规律性。
“对称”在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称多项式等，从奇偶性上或可分解性上区分数也可以视为对称，从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系，“共轭”概念也蕴含着“对称”性，“对偶”关系也可视为“对称”的一种形式。自然对数的产生也是因为受到常用对数的真数与对数的增长不对称（匀称）性的启发而产生的。
笛沙格（Desargues）定理和它的对偶情形（1825年，葛尔刚J.D.Gergonne）
笛沙格（Desargues）定理
笛沙格（Desargues）定理的对偶
如果两个三角形，连接其对应顶点的直线过同一点，则对应边相交的三个点在同一直线上。
如果两个三角形，连接其对应顶边的点在同一条直线上，则其对应顶点的三条连线过同一点。
帕斯卡（Pascal）定理及其对偶化（施坦纳J.Steiner）
帕斯卡（Pascal）定理
帕斯卡（Pascal）定理的对偶
在点圆锥曲线上取六个点A、B、C、D、E、F，若A、B连线与D、E连线交于一点P，B、C连线与E、F连线交于一点Q，C、D连线与F、A连线交于一点R，则P、Q、R三点在同一直线l上。
在线圆锥曲线上取六条直线a、b、c、d、e、f，若a、b交点与d、e交点连线为p，b、c交点与e、f交点连线为q，c、d交点与f、a交点连线为r，则p、q、r三线过同一点L。
对称是数学们长期追求的目标，甚至有时把它作为一种尺度。数学中不少概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来的。数学中的对称美除了作为数学自身的属性外，也可以看成启迪人们思维、研究问题的方法。
?在其它科学领域很多科学家也是因为坚信宇宙美具有对称性这一特点，作出了许多划时代意义的科学发现。在“五维空间”中存在着我们的宇宙和另外一个“隐藏”的宇宙（对称的宇宙），这个新理论是由美国普林斯顿大学、宾西法尼亚大学和英国剑桥大学的物理学家共同提出的，他们认为：我们的宇宙和一个“隐藏”的宇宙共同“镶嵌”在“五维空间”中，在我们的宇宙早期，这两个宇宙发生了一次碰撞，相撞产生的能量生成了我们宇宙中的物质和能量。
数学模型的对称之美
在数学中，对称活跃地存在于各种模型里。线性函数、基本初等函数、平面及立体几何……对称的图形中，又可以演绎出轴对称和中心对称两大类。在代数中，函数以其实用的功能与奇妙的变换为人们所熟悉和喜爱，其中一个很重要的原因，是它的对称性。在线性代数的矩阵中，对称引导着问题的解决方向。从自然界象出来的数学，更是赖对称以存在的。
关键词：对称 ;平面及立体几何 ;线性函数 ;基本函数 ;数学公式
如我们所知，在自然界中，对称作为一种物态的表现形式，可以说无处不在。蝴蝶美丽的双翼，各类兽、禽的五官肢体，甚至皮毛的纹理，都蕴含着对称的因素。同样的，在数学中，对称亦然活跃地存在于各种模型里。线性函数、基本初等函数、平面及立体几何……无处难觅其踪影。在这里，我愿以己之拙笔，表达出对于这种存在于数学中的对称之美的感悟和体会。
在二维的空间内，我们可以信手勾勒出很多别致的图形，或对称，或不对称。对称的图形中，又可以演绎出轴对称和中心对称两大类。轴对称，顾名思义，即以一条直线为轴，两侧图形相同，一侧的图形沿轴线翻转，与另一侧的图形完全重合。典型如矩形，等腰三角形。再看中心对称，以一点为中心，将一图形绕其旋转180°得另一图形，那么两图形即关于这一点成中心对称。典型如平行四边形。同时属于轴对称和中心对称的图形，如正方形、圆形、菱形，给人以地纳方圆的大气之感；而只属于其中一种的对称图形，三角形、矩形、平行四边形，却显得简单而灵动。这些不同类型的基本图形的组合，便可以融汇厚重与灵活于一体，带给我们视觉上的享受。
进一步来看，在立体几何图形中，对称更是屡见不鲜。敦实的立方体、圆柱体，圆润光滑的球体，活泼有生机的锥体……无一不深刻地体现着对称的美丽。还有许多组合体，如圆锥和圆柱的组合体，给人以无限遐思想象的空间。
在代数中，函数以其实用的功能与奇妙的变换为人们所熟悉和喜爱。其中一个很重要的原因，却常常很难为人所察觉，便是它的对称性。如几个基本函数： y=x，y=xa，y=sinx,y=cosx，图像关于原点或y轴对称。再如y=logax(a>o),随着a的取值从（0，1）变到（1，∞），在图像上形成了关于x轴的对称；y=ax,随着a的取值从（0，1）变到（1，∞），形成关于y轴对称的图像。更加清晰的是反函数，一对互为反函数的函数图像关于y=x对称,如y=logax(a>0,x>0)和y=ax(a>0)。由于其易于被驾驭和应用的对称性，函数被广泛应用于生产和生活的各个领域——如企业、公司的商务统计，对于产品的市场反馈调查，精密仪器的制造，甚至于个人的家庭理财，都可以见到函数的身影。
在线性代数的矩阵中，对称更是乐此不疲地出现，引导着问题的解决方向。为人们所喜爱的三阶单位矩阵，以主对角线为轴，两侧成对称。如果求所给矩阵的逆，依然要用到单位矩阵。如求一矩阵的逆，先将其扩充为原矩阵和其单位矩阵的合矩阵，通过一系列的变换后，成为单位矩阵在前、新矩阵在后的合矩阵，新矩阵即为所求矩阵。不难发现，这一过程包含着对称的形式——扩充后的矩阵与求解后的矩阵，单位矩阵的位置正好相反。在三阶行列式的计算中，运用克拉默法则，从左上开始，沿对角线相乘得a,第一行第二列、第二行第三列、第三行第一列的数相乘的b,第二行第一列、第三行第二列、第一行第三列的数相乘得c,用a+b+c,再减去与之关于中心数相对称的各项数乘，便求得行列式值。足见，对称之美整齐而有章法。
在一些为我们所熟悉的公式中，对称也不厌其烦地活跃着。简单如我们最初所学的a+b=b+a,（a+b）c=a/b+a/c,复杂如后来变化的（a+b）²=a²+2ab+b²,(a-b)(a+b)=a²-b².藏在每个公式中，不易察觉，却能深刻地感受到它的存在。
蝴蝶少了一只翅膀的会人感到难过，数学中如果少了对称，就会枯燥而乏味，令人迷茫而不知其所云尔尔，失去探究的乐趣。当然，这是永远不会出现的，因为对称已经深深地根植于大千世界，从自然界被抽象出来的数学，更是赖对称以存在的。
对称的形象，像花一样洒遍数学的沃土，在充斥着拉丁字母、阿拉伯数字、希腊运算符的天地中，散发着独特的香气。我们在寻找着一种超越数学本身逻辑性，来解释不变的定律的同时，也体会到了对称作为一种物质存在形式的独特魅力。
这就是对称所诠释的数学之美。
奇妙的对称图
这几天，懒羊羊发现美羊羊画出的图形都是一连串的，非常的漂亮，也非常的羡慕，羡慕美羊羊的心灵手巧。
今天特地来向美羊羊讨教画相同图的画法。美羊羊知道了懒羊羊来意以后，随手拿了一张纸，对折了一下，用彩笔靠近折痕边慢慢画着，接着用剪刀沿着画的痕迹，剪着剪着，一个漂亮的星星出现在懒羊羊面前。
“太神奇了。”懒羊羊惊叹道，“你刚才就只画了半边，剪下来的就是整个星星了呀！”
“这种沿着中间的这道折痕正好左右两边完全重合的图形，我们把它叫做轴对称图形。这条折痕所在的直线就是这个星星图的对称轴。”美羊羊看着满脸惊喜的懒羊羊说，“你给我半个星星，我不对折，还也能把它的另一半也画出来呢!”
“那要是能掌握这样的本领，那可以真是太牛了！你画给看看！”懒羊羊越来越佩服美羊羊了。
“为了方便画图，我首先把这半个星星的放在一个方格图中。”美羊羊迅速在一张白纸上画出了方格图和半个星星，见图1。
“先找到星星的关键点，以这个A点为例（图2）。这个点在这个对称轴的左边，距离对称轴只有一个格子的距离。那么我就在对称轴的右边，距离一格的地方也点上一个点。这个点就是刚才这个A点的对称点（图3）。”美羊羊非常有耐心地向懒羊羊讲述着过程，“剩下的点，你能找到吗？”美羊羊给懒羊羊出难题了。
“没有问题，你看我的。”懒羊羊不假思索地说。
懒羊羊嘴里嘀咕着：“先找到这个关键点，然后数出这个关键点到对称轴的距离，接着在对称轴的另一边同样的位置数出同样的距离，就找到这个关键点的对称点了。”很快懒羊羊就找到了所有关键点的对称点，按照原来图，连接起所有的对称点，一个漂亮的星星图跃然纸上（图4）。
“你真是太棒了！”美羊羊冲着懒羊羊竖起了大拇指。
“都是你的方法好！”懒羊羊不好意思的笑了起来，脸上还带着一些自豪。
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