【基础演练】
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是 ( )
A．x2＋＝0 B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0
解析 A中分母含有未知数；B中当a＝0时，二次项系数为0；D中含有两个未知数，只有C化为一般形式为x2＋x－3＝0，是一元二次方程．
答案 C
2．一元二次方程x(x－1)＝0的解是 ( )
A．x＝0 B．x＝1
C．x＝0或x＝1 D．x＝0或x＝－1
解析 将x＝0或x＝1代入原方程左右两边都相等，所以x＝0和x＝1都是原方程的解，当x＝－1左右两边不相等，所以x＝－1不是原方程的解，故选C.
答案 C
3．(2012·莆田)方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别是 ( )
A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2
解析 ∵(x－1)(x＋2)＝0，∴x－1＝0或x＋2＝0，∴x1＝1，x2＝－2.
答案 D
4．(2012·荆门)用配方法解方程x2－2x－3＝0，配方后的方程可以是 ( )
A．(x－1)2＝4 B．(x＋1)2＝4
C．(x－1)2＝6 D．(x－1)2＝16
解析 移项，得：x2－2x＝3，配方，得：x2－2x＋1＝3＋1，即(x－1)2＝4.
答案 A
5．(2012·南昌)已知关于x的一元二次方程x2＋2x－a＝0有两个相等的实数根，则a
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的值是 ( )
A．1 B．－1 C. D．－
解析 ∵方程有两个相等的实数根，
∴22－4×1×(－a)＝0，解得a＝－1.
答案 B
6．(2012·张家界)若一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是 ( )
A．m≤－1 B．m≤1 C．m≤4 D．m≤
解析 ∵方程x2＋2x＋m＝0有实数根．
∴22－4×1×m≥0，解得m≤1.
答案 B
7．已知a是方程x2－3x－1＝0的一个根，则2a2－6a＋7＝________．
解析 ∵a是x2－3x－1＝0的一个根，∴a2－3a－1＝0，∴a2－3a＝1，∴2a2－6a＝2，∴2a2－6a＋7＝9.本题再一次体现了整体思想．
答案 9
8．一元二次方程(2x－1)2＝(3－x)2的解是________．
解析 移项，得(2x－1)2－(3－x)2＝0，因式分解，得[(2x－1)＋(3－x)][(2x－1)－(3－)]＝0，
∴(x＋2)(3x－4)＝0，∴x＋2＝0或3x－4＝0，
∴x1＝－2，x2＝.
答案 x1＝－2，x2＝
9．(2012·济南)已知m和n是方程2x2－5x－3＝0的两个根，则＋＝________．
解析 ∵m，n是2x2－5x－3＝0的两个根，
∴m＋n＝，m·n＝－
∴＋＝＝÷(－)＝－.
答案 －
10．(2012·巴中)解方程2(x－3)＝3x(x－3)．
解 移项，得：2(x－3)－3x(x－3)＝0，
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分解因式，得：(x－3)(2－3x)＝0
∴x－3＝0或2－3x＝0
∴x1＝3，x2＝.
11．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋2k＝0有实数根，求k的取值范围及k的非负整数值．
解 ∵方程有两个实数根，∴42－4×1×(2k)≥0，解得k≤2.
所以k的取值范围为k≤2，满足条件的k的非负整数值有三个：0，1，2.
12．已知x1、x2是方程2x2＋3x－1＝0的两个实数根，不解方程，求①(x1－x2)2；②＋的值．
解 由一元二次方程根与系数的关系可知：
x1＋x2＝－，x1·x2＝－.
所以①(x1－x2)2＝x－2x1x2＋x
＝(x＋2x1x2＋x)－4x1x2＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－4×＝.
②＋＝＝＝3.
【能力提升】
13．(2012·宜宾)将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为 ( )
A．(x－3)2＋1 B．(x＋3)2－7
C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2－4
解析 x2＋6x＋2＝x2＋6x＋32－32＋2＝(x＋3)2－7.
答案 B
14．(2012·南京)定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是 ( )
A．a＝c B．a＝b
C．b＝c D．a＝b＝c
解析 ∵方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝0
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又∵a＋b＋c＝0，∴b＝－ (a＋c)
∴(a＋c)2－4ac＝0，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.
答案 A
15．(2012·烟台)阅读材料：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根为x1，x2，则两个根与方程系数之间有如下关系：x1＋x2＝－，x1·x2＝.根据该材料填空：已知x1，x2是方程x2＋6x＋3＝0的两个实数根，则＋的值为________．
解析 由材料可知：x1＋x2＝－6，x1·x2＝3
∴＋＝＝＝－2.
答案 －2
16．(2012·河北)解方程x2＋4x＋1＝0.
解 ∵a＝1，b＝4，c＝1
b2－4ac＝16－4＝12
∴x＝＝－2±
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
17．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为a⊕b＝a2－b2，求方程(4⊕3)⊕x＝24的解．
解 ∵(4⊕3)⊕x＝24，∴(42－32)⊕x＝24，
即7⊕x＝24.∴72－x2＝24，∴x2＝25.
∴x1＝5，x2＝－5.
18．已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0，有一个根是－a(a≠0)，求a－b的值．
解 ∵－a是方程x2＋bx＋a＝0的根．
∴a2－ab＋a＝0
又a≠0，∴a－b＋1＝0，∴a－b＝－1.
19．将一元二次方程x2－6x－5＝0配方，化成(x＋a)2＝b的形式．
解 原方程可化为x2－6x＝5，
配方得x2－6x＋9＝5＋9，∴(x－3)2＝14.
20．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，求这个三角形的周长．
解 方程x2－6x＋8＝0的根，分别是2和4.
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又3＜x＜9，∴x＝4.
∴这个三角形的周长为3＋6＋4＝13.
21．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求的值．
解 ∵方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，
∴b2－4a＝0，∴b2＝4a，
将b2＝4a代入
＝，
＝
＝
＝4.
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