7.1 不等式及其基本性质
1．能正确理解不等式的概念，会用不等式表示生活中的不等关系．
2．理解掌握不等式的性质，能灵活运用不等式性质进行不等式变形．
1．不等式的概念
(1)定义：用不等号(＞、≥、＜、≤或≠)表示不等关系的式子，叫做不等式．像v≤40，t≥6 000，3x＞5，q＜p＋2，x≠3等这样的式子都是不等式．
(2)常用的不等关系：
不等号
≠
＜
＞
≤
≥
读法
不等于
小于
大于
小于等于
大于等于
举例
3－4≠9
－1＜8
0＞－6
a≤1
a≥0
①符号“≤”表示小于或等于，也可以表示不大于；②符号“≥”表示大于或等于，也可以表示不小于．在用“≥”表示的不等式中，只要“＞”或“＝”两个关系中有一个成立，该不等式就成立，例如，不等式3≥2成立，不等式2≥2也成立；用“≤”表示的不等式道理也一样．
【例1】在下列数学表达式中，不等式的个数是( )．
①－2 013＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥x＋2＞y＋3.
A．5 B．4 C．3 D．2
解析：运用不等式的定义进行判断，③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选B．
答案：B
本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠.
2．不等式的基本性质
(1)不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．
字母表示：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；同样有，如果a＜b，那么a＋c＜b＋c，a－c＜b－c.
(2)不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
字母表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc，＞；同样有，如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc，＜.
(3)不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
字母表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc，＜；同样有，如果a＜b，c＜0，那么ac＞bc，＞.
(1)不等式的变形中，只有当两边都乘以(或除以)一个负数时，不等号的方向改变．
(2)不等式的两边不能都乘以零，乘以零后不等式变为等式．
(4)如果a＞b，那么b＜a.
例如，由＜x，可得x＞.
不等式的这个基本性质类似于等式的基本性质中的“若a＝b，则b＝a”．
(5)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.不等式的这个基本性质类似于等式中的“若a＝b，且b＝c，则a＝c”．
【例2－1】如果m＜n，用“＞”或“＜”填空，并说明你的理由．
(1)5m________5n；(2)________；
(3)－2m______－2n；(4)－______－.
解析：(1)＜；由m＜n两边都乘以5得到；
(2)＜；由m＜n两边都乘以(或除以2)得到；
(3)＞；由m＜n两边都乘以－2得到；
(4)＞；由m＜n两边都乘以－(或除以－2)得到．
答案：(1)＜ (2)＜ (3)＞ (4)＞
【例2－2】若a＜b，则下列各式中一定成立的是( )．
A．a－1＜b－1 B．＞
C．－a＜－b D．ac＜bc
解析：在不等式的三条基本性质中要特别注意“不等式两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变”，因为已知a＜b，由不等式基本性质1得a－1＜b－1，故选A．由不等式基本性质2知B选项错误，应为＜，由不等式基本性质3知C选项中不等号方向要改变．由于c可取任意实数，故D项中不等式不一定成立．
答案：A
解决这类问题时，先看已知不等式与变化后的不等式两边变化情况，从而确定应用哪一条性质．
3．根据数量关系列出不等式
根据题意用不等号表示数量间的不等关系，就是列不等式．
(1)用不等式表示数量关系是研究不等式的基础，在用不等式表示数量关系时，一定要抓住关键词，然后把关键词用正确的不等号表示出来．
(2)寻找题目中的不等量关系式
第一步：寻找具有比较性质的关键词．如：“大于”“小于”“不大于”“不小于”“最多”“至少”“超过”“低于”等．
第二步：寻找比较的两个量．即“谁大于谁”“谁小于谁”即可．
(3)根据不等量关系式列出不等式
找到不等量关系式之后，只需把不等量关系式中的量用式子表示出来即可．
列不等式时除找出关键词确定不等关系外，还需明确以下常用的不等关系．
(1)a是正数表示为a＞0；a是负数表示为a＜0.
(2)a是非负数表示为a≥0；a是非正数表示为a≤0.
(3)a，b同号表示为ab＞0或者＞0；a，b异号表示为ab＜0或者＜0.
【例3】用适当的符号表示下列关系：
(1)x的与x的2倍的和是非正数；
(2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300 m；
(3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
(4)明天下雨的可能性不小于70%.
分析：(1)先表示出x的与x的2倍，再求x与2x的和，最后列出不等式x＋2x≤0，注意非正数表示的是负数或零，即小于或等于0的数．
(2)(3)(4)需先设未知数，然后用代数式表示问题中的各量，并根据题目中的不等关系列出不等式：
一枚炮弹的杀伤半径不小于300 m，即炮弹的杀伤半径≥300 m；
总价钱不高于268元，即总价钱≤268元；
明天下雨的可能性不小于70%，即明天下雨的可能性≥70%.
解：(1)x＋2x≤0.
(2)设炮弹的杀伤半径为r m，则有r≥300.
(3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，则有3a＋4b≤268.
(4)用P表示明天下雨的可能性，则有P≥70%.
4．用不等式的基本性质将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式
将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式，是不等式基本性质的一个重要应用．
将不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式，要依据不等式的三条基本性质，进行合理的变形，这是解不等式的基础．在变形中，要用到去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，每一步都要依据不等式的基本性质．
利用不等式的基本性质变形的步骤：
(1)观察不等式的变化前后的规律；
(2)适当选择不等式的基本性质1,2或3；利用不等式的基本性质3时，注意不等号方向的改变情况；
(3)根据选择的基本性质变形．
【例4】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：
(1)x－2＜3；(2)6x＞5x－1；(3)－4x＞4；(4)x≤9.
分析：适当地选用不等式的基本性质对所给不等式进行变形，注意不等号方向的“不变”与“改变”．
解：(1)由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变，所以x－2＋2＜3＋2，即x＜5.
(2)由不等式的基本性质1可知，不等式的两边都减去5x，不等号的方向不变，所以6x－5x＞5x－1－5x，即x＞－1.
(3)由不等式的基本性质3可知，不等式的两边都除以－4，不等号的方向改变，所以x＜－1.
(4)根据不等式的基本性质2，在不等式x≤9的两边都乘以4，得x≤36.
解决这类问题，要观察题中不等式与所要得到的不等式在形式上的差别，从而采用适当的方法进行变形．
5．根据实际问题列不等式
根据实际问题列不等式的步骤可总结为：
(1)认真审题，找出题目中的数量关系和关键字词；
(2)列出相应的代数式，根据关键字词确定不等关系；
(3)用不等号连接，列出不等式．
解决这类问题的关键在于把题目中所给的数量关系中的“大于”，“小于”，“不大于”，“不小于”，“是负数”，“是正数”，“是非负数”，“至少”等文字语言正确地用数学符号表示出来，把不等关系转化为不等式．
【例5－1】小刚准备用自己节省的零花钱购买一台MP4来学习英语，他已存有50元，并计划从本月起每月节省30元，直到他至少有280元．设x个月后小刚至少有280元，则可得到不等式为( )．
A．30x＋50＞280 B．30x－50≥280
C．30x－50≤280 D．30x＋50≥280
解析：此题的不等关系：已存的钱与每月节省的钱数之和至少为280元．至少即大于等于，根据题意，得50＋30x≥280.故选D．
答案：D
【例5－2】冬天到了，小华准备用自己平时节省的30元钱为乡下的爷爷奶奶和自己买手套与袜子．已知一副手套5元钱，一双袜子4元钱，他先买了3双袜子．如果设他还能买x副手套，那么根据题意，可得到不等式________．
解析：此题的不等关系：3双袜子的总价＋x副手套的总价不大于30元，根据题意可以列出不等式．
答案：3×4＋5x≤30
6．与不等式及其性质有关的拓展创新题
不等式在新型题目中的应用常见于新定义型题、探究题以及图表信息题，主要是以不等式及其性质为知识背景．拓展题主要是不等式基本性质的逆向应用，逆向运用公式或性质，可以从另一个角度考查我们对定义、性质、公式的理解，发散我们的思维．另外，逆向运用公式或性质，有时可以有效地简化计算，收到意想不到的效果．
逆向应用不等式的基本性质时，关键是要看变形中，不等号的方向是否改变，从而判断变形中是否根据了不等式的基本性质3.进一步可判断未知系数的正负性．逆用不等式的基本性质解题，多数考查的应该是不等式的基本性质3.
【例6－1】现规定一种新的运算：a△b＝a·b－a＋b＋1，如3△4＝3×4－3＋4＋1.请比较下列两式的大小：(－3)△4________4△(－3)(填“＜”“＞”或“＝”)．
解析：先根据规定的运算方法，将两式化简，然后进行大小比较．(－3)△4＝(－3)×4－(－3)＋4＋1＝－4；4△(－3)＝4×(－3)－4＋(－3)＋1＝－18.因－4＞－18，故(－3)△4＞4△(－3)．
答案：＞
【例6－2】已知关于x的不等式2＜(1－a)x的解集为x＜，则a的取值范围是( )．
A．a＞0 B．a＞1
C．a＜0 D．a＜1
解析：对照两个不等式可以发现，已知不等式左、右两边经过变形后位置发生了改变(即2在原不等式的左边，经过变形后在右边，含x的项在已知不等式的右边，经过变形后在左边)，因此应先将2＜(1－a)x变形为(1－a)x＞2，再根据不等式的性质确定a的取值范围．根据不等式的性质3，得1－a＜0，即a＞1.故选B．
答案：B
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