8.1 幂的运算
1．了解幂的运算性质，会利用幂的运算性质进行计算．
2．通过幂的运算性质的形成和应用，养成观察、归纳、猜想、论证的能力，提高计算和口算的能力．
3．了解和体会“特殊—一般—特殊”的认知规律，体验和学习研究问题的方法，培养思维严谨性，做到步步有据，正确熟练，养成良好的学习习惯．
1．同底数幂的乘法
(1)同底数幂的意义
“同底数幂”顾名思义，是指底数相同的幂．如32与35，(－5)2与(－5)6，(a＋b)4与(a＋b)3等表示的都是同底数的幂．
(2)幂的运算性质1
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
用字母可以表示为：am·an＝am＋n(m，n都是正整数)．
(3)性质的推广运用
当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质，如：am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p是正整数)．
(4)在应用同底数幂的乘法的运算性质时，应注意以下几点：
①幂的底数a可以是任意的有理数，也可以是单项式或多项式；底数是和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看作一个“整体”．
②底数必须相同才能使用同底数幂的乘法公式，若底数不同，则不能使用；注意：－an与(－a)n不是同底数的幂，不能直接用性质．
③不要忽视指数是1的因数或因式．
【例1－1】(1)计算x3·x2的结果是______；
(2)a4·(－a3)·(－a)3＝__________.
解析：(1)题中的底数都是x，是两个同底数幂相乘的运算式子，只需运用同底数幂相乘的性质进行运算，即x3·x2＝x3＋2＝x5；(2)应先把底数分别是a，－a的幂化成同底数的幂，才能应用同底数幂的乘法性质，原式＝a4·(－a3)·(－a3)＝a4·a3·a3＝a4＋3＋3＝a10.
答案：(1)x5 (2)a10
正确运用幂的运算性质解题的前提是明确性质的条件和结论．例如同底数幂的乘法，条件是底数相同，且运算是乘法运算，结论是底数不变，指数相加．
【例1－2】计算：
(1)(x＋y)2·(x＋y)3；
(2)(a－2b)2·(2b－a)3.
分析：(1)把(x＋y)看作底数，可根据同底数幂的乘法性质来解；(2)题中(a－2b)2可转化为(2b－a)2，或者把(2b－a)3转化为－(a－2b)3，就是两个同底数的幂相乘了．
解：(1)原式＝(x＋y)2＋3＝(x＋y)5；
(2)方法一：原式＝(2b－a)2·(2b－a)3＝(2b－a)5；
方法二：原式＝(a－2b)2·[－(a－2b)3]＝－(a－2b)5.
本题应用了整体的数学思想，把(x＋y)和(a－2b)看作一个整体，(2)题中的两种解法所得的结果实质是相等的，因为互为相反数的奇次幂仍是互为相反数．
2．幂的乘方
(1)幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．如(a5)3是指三个a5相乘，读作“a的五次幂的三次方”，即有(a5)3＝a5·a5·a5＝a5＋5＋5＝a5×3；
(am)n表示n个am相乘，读作“a的m次幂的n次方”，即有(am)n＝＝＝amn(m，n都是正整数)
(2)幂的运算性质2
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
用字母可以表示为：(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
这个性质的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算，即底数不变，指数相乘．
(3)性质的推广运用
幂的乘方性质可推广为：
[(am)n]p＝amnp(m，n，p均为正整数)．
(4)注意(am)n与amn的区别
(am)n表示n个am相乘，而amn表示mn个a相乘，例如：(52)3＝52×3＝56,523＝58.因此，(am)n≠amn.
【例2】(1)计算(x3)2的结果是( )．
A．x5 B．x6 C．x8 D．x9
(2)计算3(a3)3＋2(a4)2·a＝__________.
解析：(1)根据性质，底数不变，指数相乘，结果应选B；(2)先根据幂的乘方、同底数幂相乘进行计算，再合并同类项得到结果．
3(a3)3＋2(a4)2·a＝3a3×3＋2a4×2·a＝3a9＋2a8·a＝3a9＋2a9＝5a9.
答案：(1)B (2)5a9
防止“指数相乘”变为“指数相加”，同时防止“指数相乘”变为“指数乘方”．如(a4)2＝a4＋2＝a6与(a2)3＝a23＝a8都是错误的．
3．积的乘方
(1)积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如(2ab)3，(ab)n等．
(2ab)3＝(2ab)·(2ab)·(2ab)(乘方意义)
＝(2×2×2)(a·a·a)(b·b·b)(乘法交换律、结合律)
＝23a3b3.
(ab)n＝＝＝anbn(n为正整数)．
(2)幂的运算性质3
积的乘方等于各因式乘方的积．
也就是说，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的结果相乘．
用字母可以表示为：(ab)n＝anbn(n是正整数)．
(3)性质的推广运用
三个或三个以上的乘方也具有这一性质，如(abc)n＝anbncn(n是正整数)．
【例3】计算：(1)(－2x)3；(2)(－xy)2；
(3)(xy2)3·(－x2y)2；(4)4.
分析：(1)要注意－2x含有－2，x两个因数；(2)－xy含有三个因数：－1，x，y
；(3)把xy2看作x与y2的积，把－x2y看作－1，x2，y的积；(4)－ab2c3含有四个因数－，a，b2，c3，先运用积的乘方性质计算，再运用幂的乘方性质计算．
解：(1)(－2x)3＝(－2)3·x3＝－8x3；
(2)(－xy)2＝(－1)2·x2·y2＝x2y2；
(3)(xy2)3·(－x2y)2＝x3(y2)3·(－1)2·(x2)2y2＝x3y6·x4y2＝x7y8；
(4)4＝4a4(b2)4(c3)4＝a4b8c12.
(1)在计算时，把x2与y2分别看成一个数，便于运用积的乘方的运算性质进行计算，这种把某个式子看成一个数或字母的方法的实质是换元法，它可以把复杂问题简单化，它是数学的常用方法．
(2)此类题考查积的乘方运算，计算时应特别注意底数含有的因式，每个因式都分别乘方，不要漏掉，尤其要注意系数及系数的符号，对系数是－1的不可忽略．负数的奇次方是一个负数，负数的偶次方是一个正数．
4．同底数幂的除法
(1)幂的运算性质4
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
用字母可以表示为：am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)．
这个性质成立的条件是：同底数幂相除，结论是：底数不变，指数相减．和同底数幂的乘法类似，被除式和除式都是幂的形式且底数一定要相同，商也是一个幂，其底数与被除式和除式的底数相同，商中幂的指数是被除式的指数与除式的指数之差．因为零不能作除数，所以底数a≠0.
(2)性质的推广运用
三个或三个以上的同底数幂连续相除时，该性质仍然成立，例如am÷an÷ap＝am－n－p(a≠0，m，n，p为正整数，m＞n＋p)．
【例4】计算：
(1)(－a)6÷(－a)3；
(2)(a＋1)4÷(a＋1)2；
(3)(－x)7÷(－x3)÷(－x)2.
分析：利用同底数幂的除法性质进行运算时关键要找准底数和指数．(1)中的底数是－a，(2)中的底数是(a＋1)，(3)中的底数可以是－x，也可以是x.
解：(1)(－a)6÷(－a)3
＝(－a)6－3＝(－a)3＝－a3；
(2)(a＋1)4÷(a＋1)2
＝(a＋1)4－2＝(a＋1)2；
(3)方法1：
(－x)7÷(－x3)÷(－x)2
＝(－x)7÷(－x)3÷(－x)2
＝(－x)7－3－2＝(－x)2＝x2.
方法2：
(－x)7÷(－x3)÷(－x)2
＝(－x7)÷(－x3)÷x2
＝x7－3－2＝x2.
运用同底数幂除法性质的关键是看底数是否相同，若不相同则不能运用该性质，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数；幂的前三个运算性质中字母a，b可以表示任何实数，也可以表示单项式和多项式；第四个性质即同底数幂的除法性质中，字母a只表示不为零的实数，或表示其值不为零的单项式和多项式．注意指数是“1”的情况，如a5÷a＝a5－1，而不是a5－0.
5．零指数幂与负整数指数幂
(1)零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.
用字母可以表示为：a0＝1(a≠0)．
a0＝1的前提是a≠0，如(x－2)0＝1成立的条件是x≠2.
(2)负整数指数幂：任何一个不等于零的数的－p(p是正整数)次幂，等于这个数的p次幂的倒数．
用字母可以表示为：a－p＝(a≠0，p是正整数)．
a－p＝的条件是a≠0，p为正整数，而0－2等是无意义的．当a＞0时，ap的值一定为正；当a＜0时，a－p的值视p的奇偶性而定，如(－2)－3＝－，(－3)－2＝.
规定了零指数幂和负整数指数幂的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂了，于是同底数幂除法的性质推广到整数指数幂，即am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是整数)．如a÷a2＝a1－2＝a－1＝；正整数指数幂的某些运算，在负整数指数幂中也能适用．如a－2·a－3＝a－2－3＝a－5等．
【例5】计算：
(1)1.6×10－4；(2)(－3)－3；(3)－2；
(4)(π－3.14)0；(5)0＋－2＋－1.
分析：此题是负整数指数幂和零指数幂的计算，可根据a－p＝(p是正整数，a≠0)和a0＝1(a≠0)计算．其中(1)题应先求出10－4的值，再运用乘法性质求出结果．
解：(1)1.6×10－4＝1.6×＝1.6×0.000 1＝0.000 16.
(2)(－3)－3＝＝－.
(3)－2＝2＝.
(4)因为π＝3.141 592 6…，
所以π－3.14≠0.
故(π－3.14)0＝1.
(5)原式＝1＋＋＝1＋9－＝8.
只要底数不为零，而指数是零，不管底数多么复杂，其结果都是1.当一个负整数指数幂的底数是分数时，它等于底数倒数的正整数次幂，即－p＝p.
6．用科学记数法表示绝对值较小的数
(1)绝对值小于1的数可记成±a×10－n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，n等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法．
(2)把一个绝对值小于1的数用科学记数法表示分两步：①确定a,1≤a＜10，它是将原数小数点向右移动后的结果；②确定n，n是正整数，它等于原数化为a后小数点移动的位数．
(3)利用科学记数法表示数，不仅简便，而且更便于比较数的大小，如：2.57×10－5显然大于2.57×10－8，前者是后者的103倍．
【例6－1】2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.000 001 56 m，用科学记数法表示这个数是( )．
A．0.156×10－5 B．0.156×105
C．1.56×10－6 D．1.56×106
解析：本题考查科学记数法，将一个数用科学记数法表示为±a×10－n(1≤a＜10)的形式，其中a是正整数数位只有一位的数，所以A、B不正确，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，所以n＝6，即0.000 001 56＝1.56×10－6.故选C．
答案：C
n的值也等于将原数写成科学记数法±a×10－n时，小数点移动的位数．如本题中将0.000 001 56写成科学记数法表示时，a为1.56，即将原数的小数点向右移动了6位，所以n的值是6.
【例6－2】已知空气的单位体积质量为1.24×10－3 g/cm3,1.24×10－3用小数表示为( )．
A．0.000 124 B．0.012 4
C．－0.001 24 D．0.001 24
解析：因为a＝1.24，n＝3，因此原数是1前面有3个零(包括小数点前面的一个零)，即1.24×10－3＝0.001 24.
答案：D
本题可把1.24的小数点向左移动3位得到原数，也可利用负整数指数幂算出10－3的值，再与1.24相乘得到原数．
7．幂的混合运算
幂的四个运算性质是整式乘(除)法的基础，也是整式乘(除)法的主要依据．进行幂的运算，关键是熟练掌握幂的四个运算性质，深刻理解每个性质的意义，避免互相混淆．
幂的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后再加减，有括号的先算括号里面的．因此，运算时，应先细心观察，合理制定运算顺序，先算什么，后算什么，做到心中有数．
(1)同底数幂相乘与幂的乘方运算性质混淆，从而导致错误．如：①a3·a2＝a6；②(a3)2＝a5.解题时应首先分清是哪种运算：若是同底数幂相乘，应将指数相加；若是幂的乘方，应将指数相乘．正解：①a3·a2＝a5；②(a3)2＝a6.
(2)同底数幂相乘与合并同类项混淆，从而导致错误．如：①a3·a3＝2a3；②a3＋a3＝a6.①是同底数幂相乘，应底数不变，指数相加；②是合并同类项，应系数相加作系数，字母和字母的指数不变．正解：①a3·a3＝a6；②a3＋a3＝2a3.
【例7－1】下列运算正确的是( )．
A．a4＋a5＝a9
B．a3·a3·a3＝3a3
C．2a4·3a5＝6a9
D．(－a3)4＝a7
解析：对于A，两者不是同类项，不能合并；对于B，结果应为a9；对于C，结果是正确的；对于D，(－a3)4＝a3×4＝a12.故选C．
答案：C
【例7－2】计算：(－2x2y)3＋8(x2)2·(－x)2·(－y)6÷y3.
分析：按照运算顺序，先利用积的乘方化简，即(－2x2y)3＝－8(x2)3·y3,8(x2)2·(－x)2·(－y)6＝8x4·x2·y6，再利用幂的乘方及同底数幂的乘法化简乘方后的结果，最后合并同类项．
解：(－2x2y)3＋8(x2)2·(－x)2·(－y)6÷y3
＝－8(x2)3·y3＋8x4·x2·y6÷y3
＝－8x6y3＋8x6y3
＝0.
8．幂的运算性质的逆用
对于幂的运算性质的正向运用大家一般比较熟练，但有时有些问题需要逆用幂的运算性质，可以使问题化难为易、求解更加简单．
(1)逆用同底数幂的乘法性质：
am＋n＝am·an(m，n为正整数)．如25＝23×22＝2×24.
当遇到幂的指数是和的形式时，为了计算的需要，往往逆用同底数幂的乘法性质，将幂转化成几个同底数幂的乘法．但是一定要注意，转化后指数的和应等于原指数．
(2)逆用幂的乘方性质：
amn＝(am)n＝(an)m(m，n均为正整数)．
逆用幂的乘方性质的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如x6＝(x2)3＝(x3)2，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．
(3)逆用积的乘方性质：
anbn＝(ab)n(n为正整数)．
当遇到指数相差不大，且指数比较大时，可以考虑逆用积的乘方性质解题．注意，必须是同指数的幂才能逆用性质，逆用时一定要注意：底数相乘，指数不变．
(4)逆用同底数幂的除法性质：
am－n＝am÷an(a≠0，m，n为整数)．
当遇到幂的指数是差的形式时，为了计算的需要，往往逆用同底数幂的除法性质，将幂转化成几个同底数幂的除法．但是一定要注意，转化后指数的差应等于原指数．
【例8－1】(1)已知3a＝2,3b＝6，则33a－2b的值为__________；
(2)若mp＝，m2q＝7，mr＝－，则m3p＋4q－2r的值为__________．
解析：(1)因为3a＝2,3b＝6，
所以33a－2b＝33a÷32b＝(3a)3÷(3b)2＝23÷62＝.
(2)m3p＋4q－2r＝(mp)3·(m2q)2÷(mr)2＝3×72÷2＝.
答案：(1) (2)
【例8－2】(1)计算：2 011×22 012×24 024；
(2)已知10x＝2,10y＝3，求103x＋2y的值．
分析：(1)本题的指数较大，按常规方法计算很难，观察式子特点发现：4 024是2 012的两倍，可逆用幂的乘方性质，把24 024化为(22)2 012，这样再与22 012逆用积的乘方性质，此时发现与2 011底数互为倒数，但指数不相同，因此逆用同底数幂的乘法及逆用积的乘方性质，简化计算；(2)可逆用幂的乘方，把103x＋2y化为条件中的形式．
解：(1)原式＝2 011×22 012×(22)2 012(逆用幂的乘方)
＝2 011×(2×22)2 012(逆用积的乘方)
＝2 011×82 012
＝2 011×82 011×8(逆用同底数幂的乘法)
＝2 011×8(逆用积的乘方)
＝8.
(2)因为103x＝(10x)3＝23＝8,102y＝(10y)2＝32＝9，
所以103x＋2y＝103x·102y＝8×9＝72.
9．利用幂的运算性质比较大小
在幂的运算中，经常会遇到比较正整数指数幂的大小问题．对于一些幂的指数较小的问题，可以直接计算出幂进行比较；但当幂的指数较大时，若通过先计算出幂再比较大小，就会很繁琐甚至不可能．这时可利用幂的运算性质比较幂的大小．
比较幂的大小，一般有以下几种方法：
(1)指数比较法：利用乘方，将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．
(2)底数比较法：利用乘方，将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大小．
(3)作商比较法：
当a＞0，b＞0时，利用“若＞1，则a＞b；若＝1，则a＝b；若＜1，则a＜b”比较．
有关幂的大小比较的技巧和方法除灵活运用幂的有关性质外，还应注意策略，如利用特殊值法、放缩法等．
【例9】(1)已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是( )．
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．a＜b＜c D．b＞c＞a
(2)350,440,530的大小关系是( )．
A．350＜440＜530 B．530＜350＜440
C．530＜440＜350 D．440＜530＜350
(3)已知P＝，Q＝，那么P，Q的大小关系是( )．
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．无法比较
解析：(1)因为a＝8131＝(34)31＝3124，b＝2741＝(33)41＝3123，c＝961＝(32)61＝3122，又124＞123＞122，所以3124＞3123＞3122，即a＞b＞c.故选A．
(2)因为350＝(35)10＝24310,440＝(44)10＝25610,530＝(53)10＝12510，而125＜243＜256，所以12510＜24310＜25610，即530＜350＜440.故选B．
(3)因为＝×＝×＝×＝1，所以P＝Q.故选B．
答案：(1)A (2)B (3)B
10．幂的运算性质的实际应用
利用幂的运算可以解决一些实际问题，所以要熟练掌握好幂的运算性质，能在实际问题中灵活地运用幂的运算性质求解问题．
解决此类问题时，必须认真审题，根据题意列出相关的算式，进而利用幂的运算性质进行运算或化简，特别地，当计算的结果是比较大的数时，一般要写成科学记数法的形式．
【例10】卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103 m/s，则卫星运行3×102 s所走的路程约是多少？
分析：要计算卫星运行3×102 s所走的路程，根据路程等于时间乘以速度可解决问题．本题实际是一道同底数幂的乘法运算问题．
解：因为7.9×103×3×102＝(7.9×3)×(103×102)＝23.7×105＝2.37×106，
所以卫星运行3×102 s所走的路程约为2.37×106 m．
11．幂的运算中的规律探究题
探究发现型题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以总结．它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．规律探索题是指在一定条件下，需要探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目，要解答此类问题，首先要仔细阅读，弄清题意，并从阅读过程中找出其规律，然后进一步利用规律进行计算．
【例11】(1)观察下列各式：由22×52＝4×25＝100，(2×5)2＝102＝100，可得22×52
＝(2×5)2；由23×53＝8×125＝1 000，(2×5)3＝103＝1 000，可得23×53＝(2×5)3；….请你再写出两个类似的式子，你从中发现了什么规律？
(2)x2表示两个x相乘，(x2)3表示3个__________相乘，因此(x2)3＝__________，由此类推得(xm)n＝__________.
利用你发现的规律计算：
①(x3)15；②(x3)6；③[(2a－b)3]8.
解：(1)如：34×54＝(3×5)4,45×55＝(4×5)5，等等．
规律：an·bn＝(ab)n，即两数n次幂的积等于这两个数的积的n次幂．
(2)x2 x2×3＝x6 xmn
①(x3)15＝x45；②(x3)6＝x18；③[(2a－b)3]8＝(2a－b)24.
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