8.2 整式乘法
1．掌握单项式与单项式相乘、单项式的除法、单项式与多项式相乘、多项式除以单项式、多项式与多项式相乘的法则，并体会单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的几何意义．
2．会利用法则进行整式的基本运算．
3．理解整式乘法运算的算理，发展有条理地思考能力和语言表达能力．
4．提倡多样化的算法，培养创新精神与能力．
1．单项式与单项式相乘
(1)单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
如：(－5a2b3)(－3a)＝[(－5)×(－3)](a2·a)·b3＝15a3b3.又如，(－3ab)(－a2c)2·6ab(c2)3＝(－3ab)·a4c2·6abc6＝[(－3)×6]a6b2c8＝－18a6b2c8.
(2)理解单项式与单项式相乘的法则时的注意事项：
①法则的推导是运用了同底数幂的乘法性质和乘法的交换律和结合律，是根据已有的知识进行计算后再概括得到的，所以，没有必要对法则进行死记硬背．
②法则包括乘式里的系数的运算、同底数幂的运算和不同字母的运算三个部分．系数相乘时，注意符号．相同字母的幂相乘时，底数不变，指数相加．对于只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数一起写在积里，作为积的因式．
③单项式的乘法在整式乘法中占有重
要的地位，熟练地进行单项式的乘法运算是学好多项式乘法和多项式的混合运算的关键．
④单项式乘以单项式的结果仍是单项式．
⑤单项式的乘法法则对于三个或三个以上的单项式相乘同样适用．
(3)单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
事实上，单项式除以单项式可概括为三步：
①系数相除，所得结果作为商的系数；
②同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式；
③只在被除式里含有的字母，连同它的指数一起也作为商的一个因式．
例如：计算6a3b2x4÷3ab2，这是单项式6a3b2x4除以单项式3ab2，系数相除，得6÷3＝2；同底数的幂相除，得a3÷a＝a2，b2÷b2＝1；照抄单独底数的幂x4，最后把2，a2,1，x4相乘即得所求的商为2a2x4.
如果系数相除除不尽，则商的系数不要用带分数表示．例如：计算8m5n3÷6m3n2＝m2n，注意不要写成1m2n.
(4)单项式除法的注意事项：
根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑．因此在运用单项式的除法法则进行计算时，应注意以下几点：
①运算中不要忽略原来省写的指数1；比如：计算(－a4b3c2)÷a3bc2＝－ab2，而不是－ab3；
②在运算中不要忽略了仅在被除式里单独含有的字母，在商中要一并写上；
③非同底数的幂相除时，要先化为同底数的幂后再相除．例如：计算(－a4)÷(－a)2＝－a4÷a2＝－a2；或(－a4)÷(－a)2＝－(－a)4÷(－a)2＝－(－a)2＝－a2；这里不要以为(－a4)÷(－a)2＝(－a)2＝a2，因为(－a4)与(－a)2不是同底数的幂．
④计算时应先系数相除，再同底数幂相除，最后再单独的字母与1相除．
【例1－1】填空：(1)－amb2·(－3a3bn)＝__________.
(2)(7×102)·(2×106)＝__________.
解析：(1)综合运用有理数的乘法、幂的运算性质、单项式与单项式相乘的法则求解．－amb2·(－3a3bn)＝[－1×(－3)]·(am·a3)·(b2·bn)＝3am＋3bn＋2.
(2)利用单项式与单项式相乘的法则计算，结果要用科学记数法来表示．(7×102)·(2×106)＝(7×2)×(102×106)＝14×108＝1.4×109.
答案：(1)3am＋3bn＋2 (2)1.4×109
单项式乘以单项式的结果仍是单项式，只是系数和指数发生了变化，不能将系数和指数混淆．
【例1－2】计算：(－3xy)·(－2x)·(－xy2)2.
分析：本题是单项式的乘法运算，且含有积的乘方运算，在运算时应先确定积的符号，因为前两个单项式的系数为负，第三个单项式的系数为正，所以积的结果为正．
解：(－3xy)·(－2x)·(－xy2)2＝(3xy)·(2x)·(x2y4)＝6x4y5.
当多个单项式相乘时，应先确定积的符号，然后再按照法则进行计算．在单项式的乘法中，凡是在单项式里出现过的字母，在结果中应该全有，不能漏掉．一般情况下，积中字母的排列顺序按英文字母顺序排列，这样不会漏乘字母．
【例1－3】计算：(1)(－0.5a2bc2)÷；
(2)(6×108)÷(3×105)；
(3)(6x2y3)2÷(－3xy2)2.
解：(1)(－0.5a2bc2)÷
＝a2－1bc2－2
＝ab；
(2)(6×108)÷(3×105)
＝(6÷3)×108－5
＝2×103；
(3)(6x2y3)2÷(－3xy2)2
＝36x4y6÷9x2y4
＝(36÷9)x4－2y6－4
＝4x2y2.
2．单项式与多项式相乘
(1)单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．
即：n(a＋b＋c)＝na＋nb＋nC．
(2)单项式与多项式相乘的几何意义
如图，大长方形是由三个小长方形组成的，其长是a＋b＋c，宽是n，那么，大长方形的面积S＝n(a＋b＋c)，同时这个大长方形的面积等于三个小长方形的面积和，于是这个大长方形的面积也可以表示成：S＝SⅠ＋SⅡ＋SⅢ＝na＋nb＋nc；于是有n(a＋b＋c)＝na＋nb＋nC．从而验证了单项式与多项式相乘的法则．
(3)理解单项式与多项式相乘的法则时的注意事项：
①根据分配律将单项式分别乘以多项式的各项，可归结为单项式的乘法；
②单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同．
如，－3a2b(3ab2c－2b2c＋cb)＝(－3a2b)×3ab2c＋(－3a2b)×(－2b2c)＋(－3a2b)×cb＝－9a3b3c＋6a2b3c－3a2b2C．
③混合运算中，应注意运算顺序，结果有同类项时要合并同类项，从而得到最简结果．
④积的符号问题是易错点，运算时应注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号，要认真观察，尤其是存在负号的情形．
(4)多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
即(a＋b＋c)÷m＝a÷m＋b÷m＋c÷m.
此式表明：多项式除以单项式，用多项式的每一项分别与这个单项式相除，再把结果相加．可见，多项式除以单项式，最终要化归为单项式除以单项式的计算．
多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号．
例如：计算(12a3b2－6a2b－3ab)÷(－3ab)时，运用法则先把原式化为：
12a3b2÷(－3ab)－6a2b÷(－3ab)－3ab÷(－3ab)，然后分别计算，得原式＝－4a2b＋2a＋1.
(5)多项式除以单项式运算的注意事项：
当多项式中的某一项被全部除掉后，该项的商是1，而不是0.如上述的例子(12a3b2－6a2b－3ab)÷(－3ab)＝－4a2b＋2a＋1.不要错误地以为是－4a2b＋2A．
【例2－1】计算：
(1)(－3ab)(2a2b－ab＋2)；
(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)．
解：(1)(－3ab)(2a2b－ab＋2)
＝(－3ab)(2a2b)＋(－3ab)(－ab)＋(－3ab)×2
＝－6a3b2＋3a2b2－6ab；
(2)x(x－2)－2x(x＋1)－3x(x－5)
＝x·x＋x·(－2)＋(－2x)x＋(－2x)·1＋(－3x)·x＋(－3x)·(－5)
＝－4x2＋11x.
【例2－2】计算：
(1)(－2a3m＋2n＋3a2m＋nb2n－5a2m)÷(－a2m)；
(2)[(a＋b)5－(a＋b)3]÷(a＋b)3.
分析：(1)利用多项式除以单项式法则计算即可；(2)把a＋b看成一个整体，那么此式可以看做多项式除以单项式，因此仍可运用多项式除以单项式的法则计算．
解：(1)(－2a3m＋2n＋3a2m＋nb2n－5a2m)÷(－a2m)＝(－2a3m＋2n)÷(－a2m)＋3a2m＋nb2n÷(－a2m)＋(－5a2m)÷(－a2m)＝2a3m＋2n－2m－3a2m＋n－2mb2n＋5a2m－2m＝2am＋2n－3anb2n＋5.
(2)原式＝(a＋b)5÷(a＋b)3－(a＋b)3÷(a＋b)3＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.
3．多项式与多项式相乘
(1)多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．即：(a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn.
(2)多项式与多项式相乘的几何意义
如图，大长方形是由四个小长方形组成的，其长是m＋n，宽是a＋b，那么大长方形的面积可以表示成(a＋b)(m＋n)，同时这个大长方形的面积也可以表示成S＝SⅠ＋SⅡ＋SⅢ＋SⅣ＝am＋bm＋an＋bn；于是有(a＋b)(m＋n)＝am＋bm＋an＋bn.从而验证了多项式与多项式相乘的法则．
(3)理解和运用多项式与多项式相乘的法则时的注意事项：
①要防止两个多项式相乘，直接写出结果时“漏项”．检查的方法是：两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应该是这两个多项式项数的积．如：(a＋b)(m＋n)，积的项数应是2×2＝4，即有4项．当然，若有同类项，则应合并同类项，得出最简结果．
②多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号．
③对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋aB．
【例3】计算：(1)(3x＋1)(x－1)；
(2)(x＋y)(x2－xy－1)．
分析：多项式乘以多项式，按照多项式乘以多项式的法则计算．
(1)先用3x分别与x，－1相乘，再用1分别与x，－1相乘，然后把所得的积相加；
(2)分别用x，y与第二个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，注意不要漏项、丢符号．
解：(1)(3x＋1)(x－1)＝3x2－3x＋x－1＝3x2－2x－1.
(2)(x＋y)(x2－xy－1)＝x3－x2y－x＋x2y－xy2－y＝x3－x－y－xy2.
多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏．相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项．在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积．多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”．运算结果中有同类项的要合并同类项．
4．整式的乘法运算及混合运算
整式的乘法运算包括单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘以及多项式与多项式相乘．
进行整式的乘法运算应注意以下几点：把握分配律的使用；把握多项式与多项式相乘的运算法则；把握运算顺序．
在整式的乘法运算中，应特别注意符号的问题．
在实际考查中常常会出现整式的混合运算，进行混合运算时要注意如下几点：
(1)首先确定运算顺序，即按先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的应先算括号里面的(或去掉括号)；同级运算，从前往后依次计算；
(2)运用各种运算法则和公式准确地计算每一步，计算应仔细认真，不要急躁，一步一步进行，谨防出错，否则前功尽弃；
(3)计算结束后，要及时检查结果的正确性，确保准确无误．
【例4－1】计算：(1)(x－2)(x2＋2x)＋(x＋2)(x2－2x)；
(2)(－x2)(x＋1)－(x＋2)(x－1)．
解：(1)(x－2)(x2＋2x)＋(x＋2)(x2－2x)
＝x3＋2x2－2x2－4x＋x3－2x2＋2x2－4x
＝2x3－8x.
(2)(－x2)(x＋1)－(x＋2)(x－1)
＝－x3－x2－(x2－x＋2x－2)
＝－x3－x2－x2＋x－2x＋2
＝－x3－2x2－x＋2.
【例4－2】计算：(1)(m－n)4×(n－m)3÷(m－n)5－(m－n)(m＋n)；
(2)[5a4(a4－4a)－(－3a6)2÷(a2)3]÷(－2a2)2.
解：(1)(m－n)4×(n－m)3÷(m－n)5－(m－n)(m＋n)＝－(m－n)4(m－n)3÷(m－n)5－(m2－n2)
＝－(m－n)3＋4－5－(m2－n2)
＝－(m－n)2－m2＋n2
＝－(m2－2mn＋n2)－m2＋n2＝－2m2＋2mn.
(2)[5a4(a4－4a)－(－3a6)2÷(a2)3]÷(－2a2)2
＝(5a8－20a5－9a6)÷(－2a2)2[来源:Zxxk.Com]
＝a4－5a－a2.
整式的混合运算过程中要注意随时化简，使计算简化，从而减少出错的可能．
5．利用整式运算化简求值
求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．化简的过程就是整式运算的过程，解答过程中，要灵活运用幂的运算性质及整式的运算法则，再合理利用公式使代数式求值的过程变得简单．
例如，已知(2x＋5)(2x－5)－3x，其中x＝－2 013，要求该代数式的值，若直接代入求值，显然比较烦琐，若在运算时先化简，得到一个比较简单的代数式，然后再代入求值，可使运算简便．求解过程如下：
(2x＋5)(2x－5)－3x＝4x2－25－4x2＋3x＝3x－25.
当x＝－2 013时，
原式＝3×(－2 013)－25＝－6 064.
若代数式化简后，不含某字母，说明代数式的值与该字母的取值无关．
解题时，要先观察、分析代数式的结构特点，从而确定最佳思路．
【例5】先化简，再求值：
(1)8x2－2(x＋4)(2x－1)－3x，其中x＝－2 012.
(2)[(x＋y)(x－y)－(x－y)2＋2y(x－y)]÷(－2y)，其中x＝－，y＝2.
解：(1)8x2－2(x＋4)(2x－1)－3x
＝8x2－2(2x2＋7x－4)－4x2＋15x
＝8x2－4x2－14x＋8－4x2＋15x
＝x＋8.
当x＝－2 012时，原式＝－2 012＋8＝－2 004.
(2)原式＝[x2－y2－(x2－2xy＋y2)＋2xy－2y2]÷(－2y)
＝(x2－y2－x2＋2xy－y2＋2xy－2y2)÷(－2y)
＝(－4y2＋4xy)÷(－2y)＝2y－2x.
当x＝－，y＝2时，原式＝2y－2x＝2×2－2×＝4－(－1)＝5.
6．整式乘法的实际应用
生活中的一些实际问题往往可以转化为整式的运算来解决．解题时，常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而计算或化简，这是运用数学知识解决实际问题的一个重要方式．
解题步骤如下：
(1)分析题目的已知量与未知量，及相互间的关系；
(2)分析选哪个未知量用字母来表示比较方便，进而分析其他未知量怎么表示，从而列出代数式或等式；
(3)化简或求值．
【例6】扬子江药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4 cm，求这种药品包装盒的体积．
分析：我们通过观察图可知：2宽＋2高＝14 cm，长＋2高＝13 cm.又有宽＋4 cm＝长，这样我们就可以求出长方体即包装盒的体积．
解：设这个长方体盒子的宽为x cm，
则长为(x＋4) cm，高为(7－x) cm，
又(x＋4)＋2(7－x)＝13，所以x＝5.
故所求体积为x(x＋4)(7－x)＝90 cm3.
7．与整式运算有关的综合题
与整式运算有关的综合题，一般先要把题中数量关系用代数式表示出来，然后按照运算关系列出关系式，最后应用整式运算的法则计算得出结果．同时注意整式本身的运算性质．
(1)整式的除法与整式的乘法互为逆运算，因此，整式的除法可用乘法检验，整式的乘法也可用除法检验；
(2)根据整式除法与整式乘法互为逆运算进行列式计算；关系：整式除法中没有余式，则被除式＝除式×商式；整式除法中有余式，则被除式＝除式×商式＋余式．
【例7－1】一个矩形的面积是3(x2－y2)，如果它的一边长为(x＋y)，则它的周长是__________．
解析：解答此题的关键是将3(x2－y2)变形为3(x＋y)(x－y)，即3(x2－y2)÷(x＋y)＝[3(x＋y)(x－y)]÷(x＋y)＝3(x－y)＝3x－3y，因此所求周长为2(3x－3y)＋2(x＋y)＝8x－4y.
答案：8x－4y
【例7－2】已知多项式2x3＋ax2＋x－3能被2x2＋1整除，商式为x－3，试求a的值．
分析：根据整式除法与整式乘法互为逆运算，该多项式等于除式2x2＋1与商式x－3的积．
解：(2x2＋1)(x－3)＝2x3－6x2＋x－3.
根据题意可得2x3－6x2＋x－3＝2x3＋ax2＋x－3.
由两个多项式相等，则对应项系数必相等，得到a＝－6.
8．与多项式的系数有关的问题
求与多项式的系数有关的问题，首先要对同类项作出正确的判断，然后通过整式的乘法及加减运算，对代数式化简，利用多项式的展开式中项的有无与系数的关系，确定相等关系，然后列方程(组)可求出字母系数的值．对于整式的乘法含项、不含项问题不必把多项式全部相乘．展开后不含某项，则该项的系数为零．
【例8】若(x2＋nx＋3)(x2－3x＋m)的展开式中不含x2和x3的项，求m和n的值．
分析：两个二次三项式相乘，二次项x2只能是x2项与常数项的积或x项与x项的积，x3项只能是x2项与x项相乘而得，只要把有关的项得到，再合并同类项，即可由题意得到方程或方程组，从而求得m，n的值．
解：含x2的项是mx2＋3x2－3nx2＝(m＋3－3n)x2，
含x3的项是－3x3＋nx3＝(n－3)x3，
由题意可知解得
9．整式乘法中的新定义题
对于整式乘法中的新定义题，解答此类问题，首先要弄懂题目给出的定义方式，正确理解新的运算法则，然后正确地把所求式用整式表示出来，把未知问题转化为熟悉的整式运算来解决．
【例9】现规定一种运算a*b＝ab＋a－b，其中a，b为实数，则a*b＋(b－a)*b等于( )．
A．a2－b B．b2－b
C．b2 D．b2－a
解析：a*b＋(b－a)*b＝ab＋a－b＋[(b－a)b＋(b－a)－b]＝ab＋a－b＋b2－ab－a＝b2－B．
答案：B
10．整式乘法中的十字相乘法
含有同一字母且一次项系数是1的两个一次二项式(x＋a)与(x＋b)相乘的结果是x2＋(a＋b)x＋ab，即(x＋a)(x＋b)＝x2＋bx＋ax＋ab＝x2＋(a＋b)x＋aB．其积是一个二次三项式，二次项系数是1，一次项系数是两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积，应用这一公式，可使许多运算简便．
当一次项系数不为1时，公式为：(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(ad＋bc)x＋db(公式可用多项式乘多项式法则推导)．
【例10－1】分别计算出下列各题的结果：
①(x＋2)(x＋3)＝__________；
②(x－2)(x－3)＝__________；
③(x－2)(x＋3)＝__________；
④(x＋2)(x－3)＝__________.
解析：可利用多项式相乘来解决，也可利用整式乘法中的十字相乘法直接得出答案，且比较简便．
答案：①x2＋5x＋6 ②x2－5x＋6 ③x2＋x－6 ④x2－x－6
【例10－2】计算：(3x－2)(2x＋5)．
解：(3x－2)(2x＋5)＝6x2＋(15－4)x－10
＝6x2＋11x－10.
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