8.3 完全平方公式与平方差公式
1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．
2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．
1．完全平方公式
(1)完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．
(2)完全平方公式的证明：
(a±b)2＝(a±b)(a±b)
＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)
＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．
(3)完全平方公式的特点：
①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．
②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．
③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．
【例1－1】用完全平方公式计算
(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；
(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；
(5)(2x＋y－3z)2.
分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．
解：(1)(x＋2y)2
＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；
(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52
＝4a2－20a＋25；
(3)(－2s＋t)2＝(t－2s)2
＝t2－2·t·2s＋(2s)2＝t2－4ts＋4s2；
(4)(－3x－4y)2
＝(－3x)2－2·(－3x)·4y＋(4y)2
＝9x2＋24xy＋16y2；
(5)(2x＋y－3z)2＝[2x＋(y－3z)]2
＝(2x)2＋2·2x·(y－3z)＋(y－3z)2
＝4x2＋4xy－12xz＋y2－2·y·3z＋(3z)2
＝4x2＋y2＋9z2＋4xy－12xz－6yz.
(1)千万不要与公式(ab)2＝a2b2混淆，发生类似(a±b)2＝a2±b2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x－4y)2与(3x＋4y)2是相等关系，故可以把(－3x－4y)2转化为(3x＋4y)2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．
(4)完全平方公式的几何解释．
如图是对(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a＋b)2，也可以表示为S＝SⅠ＋SⅡ＋SⅢ＋SⅣ，又SⅢ，SⅠ，SⅣ，SⅡ分别等于a2，ab，ab，b2，所以S＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
如图是对(a－b)2＝a2－2ab＋b2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a－b)2，也可以表示为SⅠ＝S大－SⅡ－SⅣ＋SⅢ，又S大，SⅡ，SⅢ，SⅣ分别等于a2，ab，b2，ab，所以SⅠ＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2.从而验证了完全平方公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b的恒等式：__________________.
解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a＋b)2－4ab，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b)2，根据面积相等有(a＋b)2－4ab＝(a－b)2.
答案：(a＋b)2－4ab＝(a－b)2
2．平方差公式
(1)平方差公式：
(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
(2)平方差公式的证明：
(a＋b)(a－b)
＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)
＝a2－b2(合并同类项)．
(3)平方差公式的特点：
①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；
③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．
【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；
(2)(－m＋n)(－m－n)；
(3)(－2x－3)(2x－3)．
分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将
原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．
解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.
(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.
(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.
利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．
(4)平方差公式的几何解释
如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．
分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b的正方形得到的，所以它的面积等于a2－b2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于(b＋a)(a－b)，所以梯形的面积和是(a＋b)(a－b)，根据阴影部分的面积不变，得(a＋b)(a－b)＝a2－b2.因此验证的一个乘法公式是(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
3．运用乘法公式简便计算
平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．
解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．
【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.
分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．
解：(1)2 0132－2 014×2 012
＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)
＝2 0132－(2 0132－12)
＝2 0132－2 0132＋1＝1.
(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32
＝10 000＋600＋9＝10 613.
(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22
＝40 000－800＋4＝39 204.
4．利用乘法公式化简求值
求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．
在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．
【例4】先化简，再求值：5(m＋n)(m－n)－2(m＋n)2－3(m－n)2，其中m＝－2，n＝.
解：5(m＋n)(m－n)－2(m＋n)2－3(m－n)2＝5(m2－n2)－2(m2＋2mn＋n2)－3(m2－2mn＋n2)＝5m2－5n2－2m2－4mn－2n2－3m2＋6mn－3n2＝－10n2＋2mn.当m＝－2，n＝时，原式＝－10n2＋2mn＝－10×2＋2×(－2)×＝－.
5．乘法公式的运用技巧
一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．
在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：
①位置变化：
(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.
②符号变化：
(－a＋b)(－a－b)
＝(－a)2－b2＝a2－b2.
③系数变化：
(0.5a＋3b)(0.5a－3b)
＝(0.5a)2－(3b)2.
④指数变化：
(a2＋b2)(a2－b2)
＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.
⑤增项变化：
(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，
(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.
⑥增因式变化：
(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)
＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.
⑦连用公式变化：
(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)
＝a8－b8.
【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；
(2)(m－2n＋p)2；
(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.
解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)
＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]
＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.
(2)(m－2n＋p)2
＝[(m－2n)＋p]2
＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2
＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.
(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2
＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2
＝(4x2－9y2)2
＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2
＝16x4－72x2y2＋81y4.
在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．
【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．
分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．
解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)
＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)
＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)
＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)
＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.
6．乘法公式的实际应用
在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．
【例6】一个正方形的边长增加3 cm，它的面积就增加39 cm2，这个正方形的边长是多少？
分析：如果设原正方形的边长为x cm，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x＋3)2＝x2＋39，求解即可．
解：设原正方形的边长为x cm，则(x＋3)2＝x2＋39，
即x2＋6x＋9＝x2＋39，解得x＝5(cm)．
故这个正方形的边长是5 cm.
7．完全平方公式的综合运用
学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．
(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式：
①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；
②a2＋b2＝(a－b)2＋2ab；
③(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
④(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
⑤(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
⑥(a＋b)2－(a－b)2＝4ab等．
在公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2中，如果把a＋b，ab和a2＋b2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．
(2)注意公式的逆用
不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
【例7－1】已知a2＋b2＋4a－2b＋5＝0，则的值是__________．
解析：原等式可化为(a2＋4a＋4)＋(b2－2b＋1)＝0，即(a＋2)2＋(b－1)2＝0，根据非负数的特点知a＋2＝0且b－1＝0，从而可知a＝－2且b＝1.然后将其代入求的值即可．
答案：
【例7－2】已知a＋b＝2，ab＝1，求a2＋b2的值．
分析：利用完全平方公式有(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，把2ab移到等式的左边，可得(a＋b)2－2ab＝a2＋b2，然后代入求值即可．
解：∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2aB．∵a＋b＝2，ab＝1，∴a2＋b2＝22－2×1＝2.
涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a＋b＝2，所以(a＋b)2＝22，即a2＋2ab＋b2＝4.把ab＝1代入，得a2＋2×1＋b2＝4，于是可得a2＋b2＝4－2＝2.
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