圆心角与圆周角的关系(2).ppt

第三节 圆周角和圆心角的关系(二) 第三章 圆 http:// www.bnup.com.cn 耐心填一填，一锤定音！ A B C O 1. 如图，∠ BOC 是 角， ∠ BAC 是 角。 若∠ BOC=80 ° ， ∠ BAC= 。 圆心 圆周 40 ° 2. 如图，点 A ， B ， C 都 在⊙ O 上，若∠ ABO=65 ° ，则 ∠ BCA= （ ） 25 ° B. 32.5 ° C. 30 ° D. 45 ° A B C O A http:// www.bnup.com.cn 用心想一想，马到功成 观察图①，∠ ABC ， ∠ ADC 和∠ AEC 各是什么角？它们有什么共同的特征？它们的大小有什么关系？为什么？ B A E C D O 答： ∠ ABC ， ∠ ADC 和∠ AEC 都是圆周角。 它们的共同特征是：它们都对着 AC 根据圆周角定理，∠ ABC ，∠ ADC ，∠ AEC 都等于 圆心角∠ AOC 的一半。 所以这三个角是相等的。 由此你得到什么结论？ 这三个角是相等的。 理由是： 图① http:// www.bnup.com.cn 用心想一想，马到功成 B A E C D O 结论是： 在 同 圆中，同弧所对的圆周角相等。 如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？ 答：成立。因为等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，所以这些圆周角也相等。 对于等圆 , 情况也一样 . 因此 , 我们可以得到： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 问题：若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”， 结论成立吗？请同学们互相议一议。 答：结论不成立。请看图。 A B 1 2 http:// www.bnup.com.cn 用心想一想，马到功成 如图，当他站在 B ， D ， E 的位置射球时对球门 AC 的张角的大小相等吗？为什么？ 因为这三个角都对着 AC ， 所以它们相等。 http:// www.bnup.com.cn 用心想一想，马到功成 观察图②， BC 是⊙ O 的直径，它所对的圆周角是 锐角、直角、还是钝角？你是如何判断的？ A B C O 答：直径 BC 所对的圆周角是直角。因为一条直径 将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠ BOC=180 ° ， 所以 ∠ BAC=90 ° 。 图② B C A O 观察图③，圆周角∠ BAC=90 ° ，弦 BC 经过圆心吗？为什么？ 图③ 答：弦 BC 经过圆心 O 。 因为连接 OC 、 OB ， 由∠ BAC=90 ° 可得 圆心角∠ BOC=180 ° 。即 B 、 O 、 C 三点在同一直线，也就是 BC 是⊙ O 的一条 直径。 由 以上我们可得到：直径所对的圆周角是直角； 90 ° 的圆周角所对的弦是直径。 http:// www.bnup.com.cn 放开手脚 做一做 小明想用 直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？ 答：图（ 2 ）是半圆形。理由是： 90 ° 的圆周角所对的弦是直径。 http:// www.bnup.com.cn 放开手脚 做一做 如 图， AB 是⊙ O 的直径， BD 是⊙ O 的 弦，延长 BD 到 C ， 使 AC=AB 。 BD 与 CD 的大小有什么关系？为什么？ A B C D O 分析：由于 AB 是⊙ O 的直径，故连接 AD 。 由直径所对的圆周角是直角，可得 AD ⊥ BC . 又因为△ ABC 中， AC=AB ， 所以由等腰三角形的三线合一，可证得 BD=CD 。 解： BD=CD 。 理由是：连接 AD 。 ∵ AB 是⊙ O 的 直径， ∴ ∠ ADB=90 ° ， 即 AD ⊥ BC 。 又 ∵ AC=AB 。 ∴ BD=CD http:// www.bnup.com.cn 教材题变形，拓展延伸 船在 航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。 如图， A ， B 表示灯塔，暗礁分布在经过 A ， B 两点的一个圆形区域内， C 表示一个危险临界点，∠ ACB 就是“危险角”，当船与两个 灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁。 （ 1 ）当船与两个灯塔的夹角 ∠ α 大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？ （ 2 ）当船与两个灯塔的夹角 ∠ α 小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？ http:// www.bnup.com.cn 分析：这是一个有实际背景的问题。由题意可知：“危险角∠ ACB” 实际上就是圆周角。 船 P 与两个灯塔的夹角为∠ α ， P 有可能在⊙ O 外， P 有可能在⊙ O 内 . 当∠ α ＞∠ C 时，船位于暗礁区域内；当∠ α ＜∠ C 时，船位于暗礁区域外。因此 , 我们可以分情况讨论 . http:// www.bnup.com.cn 解：（ 1 ）当船与两个灯塔的夹角∠ α 大于“危险角” ∠ C 时，船位于暗礁区域内（即⊙ O 内）。理由是： 连接 BE . 假设船在⊙ O 上，则有∠ α=∠C ， 这与∠ α ＞∠ C 矛盾，所以船不可能在⊙ O 上；假设船在⊙ O 外，则有∠ α ＜∠ AEB ， 即∠ α ＜∠ C ， 这与∠ α ＞∠ C 矛盾，所以船不可能在⊙ O 外。因此，船只能位于⊙ O 内。 （ 1 ）当船与两个灯塔的夹角 ∠ α 大于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？ http:// www.bnup.com.cn （ 2 ）当船与两个灯塔的夹角 ∠ α 小于“危险角”时，船位于 哪个区域？为什么？ 解：（ 2 ）当船与两个灯塔的夹角∠ α 小于“危险角” ∠ C 时，船位于暗礁区域外（即⊙ O 外）。理由是： 假设船在⊙ O 上，则有∠ α=∠C ， 这与∠ α ＜∠ C 矛盾，所以船不可能在⊙ O 上；假设船在⊙ O 内，则有∠ α ＞∠ AEB ， 即∠ α ＞∠ C ， 这与∠ α ＜∠ C 矛盾，所以船不可能在⊙ O 内。因此，船只能位于⊙ O 外。 http:// www.bnup.com.cn 大胆尝试，练一练 1. 为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？说一说这种设计的合理性。 答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等。 2. 如图，哪个角与∠ BAC 相等？ A B C D 答：∠ BDC= ∠BAC 。 http:// www.bnup.com.cn 3. 如图 ,⊙O 的直径 AB=10 cm ， C 为⊙ O 上的一点，∠ ABC=30 ° ，求 AC 的长。 A B C O 解：∵ AB 为⊙ O 的直径。 ∴∠ ACB=90 ° 。 又∵∠ ABC=30 ° ， ∴ AC= AB= ×10=5 （ cm ）。 1 2 1 2 1 2 http:// www.bnup.com.cn 课时小结 1. 要理解圆周角定理的推论。 2. 构造直径所对的圆周角是圆中的常用方法。 3. 要多观察图形，善于识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的 圆周角也是常用方法之一。 4. 圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化。但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁。如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角相等。 http:// www.bnup.com.cn 作业： 课本习题 3.5 1 、 2 http:// www.bnup.com.cn 谢谢合作! http:// www.bnup.com.cn