3.6探索规律
本内容是由学生在学习了字母表示数后，能进行思维发散，寻找生活中的一些数之间的关系，并能用代数式进行表示。该内容不是“纯粹”的数学知识学习，而是特意为学生提供一个创新思维的空间，让学生经历“探索规律”的活动课学习，通过生活中对日历等情景的观察与分析，从不同角度进行思考，用本章学过的字母表示数、代数式、代数式的值等知识去探索数与数或图形之间的变化规律，再用去括号、合并同类项等知识去验证规律。学会用语言、用符号、用字母表示数和表示规律，并体会字母表示数的意义及获得初步数学建模思想。
问题与情境
情境1：一首永远也唱不完的儿歌.
1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水；
2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水；
3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水；
……
这样唱下去我们能唱完吗？ 能否用一种方式结束这首儿歌？利用刚学过的字母表示数进行数学建模，可以用一句话来概括“n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，n声扑通跳下水”。
情境2：“一物生来真希奇，身穿三百多件衣，每天给它脱一件，年底只剩一张皮.” 日历在我们生活中随处可见，它不仅让我们可以很直观地观察出我们需要的数据，其中还蕴涵着很多的数学知识。
（1）我们经常用到的日历中的数字之间都有哪些关系呢？
（2）日历上方框中的9个数字之和与方框正中间和数字有什么关系？
（3）这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？（提示：用a表示方框中间的数，用合并同类项的知识解决问题）
通过观察日历中的数字，我们不难发现其中的规律：（1）相邻的两个数字后者比前者大1，下者总比上者大7；（2）一方框中的9个数字之和是中间数的9倍；（3）这个关系对任何一个月的日历都成立。
开眼界
探索规律不仅是去探索和发现数学规律，更主要的是经历从特殊到一般，从一般到特殊这种探索规律、验证规律的过程，了解从特殊到一般，从一般到特殊的数学思想方法。在用去括号、合并同类项等知识的同时，可适当了解以下知识。
【杨辉三角】观察杨辉三角图，寻找其中的规律。
【几个求和公式】
；
；
2 + 4 + 6 + … + 2n = n (n + 1)；
.
1 2 3 4 …… 第一行
2 3 4 5 …… 第二行
3 4 5 6 …… 第三行
4 5 6 7 …… 第四行
···第一列
···第二列
···第三列
···第四列
经典例析
例1 观察一列数表：根据数表所反映的规律，猜想第6行
与第6列的交叉点上的数应为_______，第n行与第n列的交叉
点上的数应为_______（用含有正整数n的的代数式表示）．
点拨：通过观察不难发现第n行的第一个数为n，在第n行中，
后一个数比前一个数大1，因此第6行的第6个数应该是6+6-1=11，
第n行的第n个数应该是n+n-1=2n-1.
解：11 2n-1
评析：通过观察给出的一系列数找出它们的规律或探索它们之间的数量关系，再用数学方法给予证明（即用代数式表示其关系）是探索规律的常见题型。解决这类问题的一般方法是：“观察、归纳、猜想、验证”。另外要注意的是并非题目中都要告诉什么是行，什么是列，这是生活中的基本常识，要求能分得清楚。
例2 （2007年·安徽）探索n×n的正方形钉子板上(n是钉子板每边上的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：
当n = 2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；
当n = 3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，，2，，2五种，比n = 2时增加了3种，即S = 2 + 3 = 5。
(1) 观察图形，填写下表：
钉子数(n×n)
S值
2×2
2
3×3
2 + 3
4×4
2 ＋ 3 ＋ ( )
5×5
( )
(2) 写出(n－1)×(n－1)和n×n
的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)
(3) 对n×n的钉子板，写出用n表示S的代数式。
点拨:在观察规律时可用“覆盖法”，即n = k时包含了n = k － 1时的所有情况，如n = 3时，S = 2 + 3，当n = 4时,我们仅需考虑在n = 3的基础上增加了几条不同长度的线段，显然由图形易得此时S = 2 + 3 + 4，以此类推。
解：（1）4 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5（或14） （2）类似以下答案均可：①n×n的钉子板比(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数增加了n种；②分别用a、b表示n×n与(n－1)×(n－1)的钉子板中不同长度的线段种数，则a = b ＋ n. （3）S = 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ … ＋ n.
评析：对于刚入初一的同学来说，还不能算出不同线段的具体长度，但可以通过图形直观地感受出线段的长短，再从图形的变化中探索其中的规律.
例3 （2007年·东营市）根据以下10个乘积，回答问题.
11×29 12×28 13×27 14×26 15×25
16×24 17×23 18×22 19×21 20×20
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）试由⑴、⑵猜测一个一般性的结论．（不要求证明）
点拨：本题有一定难度，对学生的基本能力和发散思维要求较高。第一问不能简单地去猜想，更不能逐个算出结果再找规律，首先应该观察到每组算式中两个因数的和为常数40，这一点有助于第三问总结一般性结论，然后借助于平方差公式计算出对应的□和○，其实第一问的答案并不唯一，比如12×28＝202－82=312－252……,不过我们尽可能让写出的式子形式一致。第二问其实就是简单的计算和大小比较，比较的结果有助于第三问。第三问的实质是总结出一般结论：a,b为正数，若a＋b＝m（定值），则ab≤（当且仅当a=b时取等号），且a,b的差的绝对值越小时，它们的积越大，当a=b时它们的积最大。
解：⑴11×29＝202－92；12×28＝202－82；13×27＝202－72；14×26＝202－62；15×25＝202－52；16×24＝202－42；17×23＝202－32；18×22＝202－22；19×21＝202－12；20×20＝202－02．例如，11×29；假设11×29=□2－○2， 因为□2－○2=（□＋○）（□－○）；所以，可以令□－○＝11，□＋○＝29．解得，□＝20，○＝9．故． （或11×29＝（20－9）（20＋9）=202－92 ．
⑵ 这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：
．
⑶ ① 若，a，b是自然数，则ab≤202＝400． ② 若a＋b＝40，则ab≤202＝400． ③ 若a＋b＝m，a，b是自然数，则ab≤． ④ 若a＋b＝m，则ab≤
． ⑤ 若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝an＋bn＝40．且| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| an－bn|，则 a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤ anbn． ⑥若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝…＝an＋bn＝m．且| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥…≥| an－bn|，
则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤ anbn．
评析：第3问其实是一个开放性问题，可以有很多种正确的答案，根据考试的评分标准，该问共3分，给出结论①或②之一的得1分；给出结论③或④之一的得2分；给出结论⑤或⑥之一的得3分．由此可见，我们在分析和解决问题时，要尽可能地做到深入和全面，尽量挖掘其数学本质。
即学即练
1．（2007年·佛山市）观察下列图形，并判断照此规律从左向右第2 007个图形是（ ）.
A B C Dxkb1.com
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ …
2．（2007年·湘潭市）为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：
① ② ③ …
按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）.
A． B． C． D．
3．（2007年·遵义市）如图是2007年5月的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是（ ）.
A．27 B．36 C．40 D．54
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
4．（2007年·河北
）我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图4给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是（ ）.
A B C D
5．（2007年·济南市）世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：
……
则排在第10行从左边数第3个位置上的数是（ ）.
A． B． C． D．
6．（2007 年·陕西）小说《达×芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神密排列的数，将这串令人费解的数按从小到大的顺序排列为：1，1，2，3，5，8，…则这列数的第8个数是 ．
7．（2007年·陇南市）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第6个图案中灰色瓷砖块数为__ ___．
第1个图案
第2个图案
第3个图案
8．（2007年·赤峰市）观察下列各式：；；
……依此规律，第个等式（为正整数）为 ．
9．（2007年·自贡市）一个叫巴尔末的中学教师成功地从光谱数据，，，，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥秘的大门，请你按照这种规律，写出第n（n≥1）个数据是___________．
10．（2007年·邵阳市）观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出： ．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① ；
② ．
（3）探究并计算：．
中考风向标
中考对于探索规律问题的考察常见于选择题和填空题，数目在1个左右，随着课程改革的逐渐深入，对探索规律的考察也逐渐渗透到解答题之中，甚至以单独的解答题出现。这种发展方向实质上体现了课程标准中要求达到的目标之一――不是培养学生“学新知识”，而是去“生长新知识”；也为培养学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的数学知识以及数学思想方法和应用技能，打下良好的基础；同时也为发展学生勇于探索、勇于创新的科学精神作了有益的尝试。
1．（2007年·诸暨市）如图，用同样规格的、带花纹的和不带花纹的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题。
n=1 n=2 n=3
在第n个图中，共有 白块瓷砖。（用含n的代数式表示）
评析：观察给出三个图形，可得第n个图形中间白色的正方块的长边有n
+1个正方块，短边有n个正方块，故共有n(n ＋ 1)块白块瓷砖。
2．（2007年·温州市）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。现以这组数中的各个数作为正方形的长度构造如下：
1 1 2 3 5
再分别依次从左到右取2个、3个、4个、5个正方形拼成如下矩形并记为①、②、③、④.相应矩形的周长如下表所示：
序号
①
②
③
④
周长
6
10
16
26
① ② ③ ④
若按此规律继续作矩形，则序号为⑩的矩形周长是 。
评析：首先由该组数的规律我们可以写出它的前11个数为1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89，再由构造矩形的规律不难发现序号为⑩的矩形右边是边长为89的正方形，而整个矩形的长为55+89=144，宽为89，故其周长为(144+89)´2=466.
《探索规律》“即学即练”
1.C 2.A 3.C 4.C 5. B 6.21 7.14 8. 9.或（只填一个即可） 10.(1) (2) (3)
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