万有引力定律
整体设计
本节是在学习了太阳与行星间的引力之后,探究地球与月球、地球与地面上的物体之间的作用力是否与太阳与行星间的作用力是同一性质的力,从而得出了万有引力定律.根据万有引力定律而得到的一系列科学发现,不仅验证了万有引力定律的正确性,而且表明了自然界和自然规律是可以被认识的.万有引力定律是所有有质量的物体之间普遍遵循的规律,引力常量的测定不仅验证了万有引力定律的正确性,而且使得万有引力定律能进行定量计算,显示出真正的实用价值.
教学过程中的关键是对万有引力定律公式的理解,知道公式的适用条件.教师可灵活采用教学方法以便加深对知识的理解,比如讲授法、讨论法.
教学重点
万有引力定律的理解及应用.
教学难点
万有引力定律的推导过程.
课时安排
1课时
三维目标
知识与技能
1.了解万有引力定律得出的思路和过程.
2.理解万有引力定律的含义并掌握用万有引力定律计算引力的方法.
3.记住引力常量G并理解其内涵.
过程与方法
1.了解并体会科学研究方法对人们认识自然的重要作用.
2.认识卡文迪许实验的重要性,了解将直接测量转化为间接测量这一科学研究中普遍采用的重要方法.
情感态度与价值观
通过牛顿在前人的基础上发现万有引力的思想过程,说明科学研究的长期性、连续性及艰巨性.
教学过程
导入新课
故事导入
1666年夏末一个温暖的傍晚,在英格兰林肯郡乌尔斯索普,一个腋下夹着一本书的年轻人走进他母亲家的花园里,坐在一颗树下,开始埋头读他的书.当他翻动书页时,他头顶的树枝中有样东西晃动起来,一只历史上最著名的苹果落了下来,打在23岁的伊萨克·牛顿的头上.恰巧在那天，牛顿正苦苦思索着一个问题：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，以及使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？为什么这只打中他脑袋的苹果会坠落到地上？（如下图所示）正是从思考这一问题开始，他找到了这些问题的答案——万有引力定律.
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这节课我们将共同“推导”一下万有引力定律.
复习导入
复习旧知：1.开普勒三大定律
2.太阳与行星间的引力
太阳对行星的引力使得行星围绕太阳运动，月球围绕地球运动，是否能说明地球对月球有引力作用?抛出的物体总要落回地面，是否说明地球对物体有引力作用？
推进新课
课件展示：
画面1：八大行星围绕太阳运动.
画面2:月球围绕地球运动.
画面3:人造卫星围绕地球运动
画面4:地面上的人向上抛出物体,物体总落回地面.
问题探究
1.行星为何能围绕太阳做圆周运动?
2.月球为什么能围绕地球做圆周运动?
3.人造卫星为什么能围绕地球做圆周运动?
4.地面上物体受到的力与上述力相同吗?
5.根据以上四个问题的探究,你有何猜想?
教师提出问题后,让学生自由讨论交流.
明确：
1.太阳对行星的引力使得行星保持在绕太阳运行的轨道上.
2.月球、地球也是天体,运动情况与太阳和行星类似,因此猜想是地球对月球的吸引使月球保持在绕地球运行的轨道上.
3.人造卫星绕地球运动与月球类似,也应是地球对人造卫星的引力使人造卫星保持在绕地球运行的轨道上.
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4.地面上的物体之所以落回来,是因为受到重力的作用,在高山上也是如此,说明重力必定延伸到很远的地方.
5.由以上可猜想:“天上”的力与“人间”的力应属于同一种性质的力。
讨论交流
由上述问题的探究我们得出了猜想：“天上”的力与“人间”的力相同，我们能否将其作为一个结论呢？
讨论：探究上述问题时我们运用了类比的方法得出了猜想，猜想是否正确需要进行检验，因此不能把它作为结论.
课件展示：牛顿的设想：苹果不离开地球，是否也是由于地球对苹果的引力造成的？地球对苹果的引力和太阳对行星的引力是否根本就是同一种力呢？若真是这样，物体离地面越远，其受到地球的引力就应该越小.可是地面上的物体距地面很远时,如在高山上,似乎重力没有明显地减弱,是物体离地面还不够远吗?这样的高度比起天体之间的距离来,真的不算远!再往远处设想,如果物体延伸到月球那样远,物体是否也会像月球那样围绕地球运动?地球对月球的力、地球对地面上物体的力、太阳对行星的力,也许真是同一种力!
一、月—地检验
问题探究
1.月—地检验的目的是什么?
2.月—地检验的验证原理是怎样的?
3.如何进行验证?
学生交流讨论,回答上述三个问题.在学生回答问题的过程中,教师进行引导、总结.
明确：
1.目的:验证“天上”的力与“人间”的力是同一种性质的力.
2.原理:假定上述猜想成立,即维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力,同样遵从“平方反比”律，那么，由于月球轨道半径约为地球半径（苹果到地心的距离）的60倍，所以月球轨道上一个物体受到的引力，比它在地面附近时受到的引力要小，前者只有后者的1/602.根据牛顿第二定律,物体在月球轨道上运动时的加速度(月球公转的向心加速度)也就应该是它在地面附近下落时的加速度(自由落体加速度)的1/602.
3.验证:根据验证原理,若“天上”“人间”是同种性质的力，由“平方反比”律及地球表面的重力加速度，可求得月球表面的重力加速度.
根据人们观测到的月球绕地球运动的周期,及月—地间的距离,可运用公式a=·r求得月球表面的重力加速度.
若两次求得结果在误差范围内相等,就验证了结论.若两次求得结果在误差范围内不相等,则说明“天上”与“人间”的力不是同一种性质的力.
理论推导：若“天上”的力与“人间”的力是同一种性质的力，则地面上的物体所受重力应满足：G∝
月球受到地球的引力：F∝
因为：G=mg,F=ma 所以
又因为：r=60R 所以：
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a=m/s2≈2.7×10-3m/s2.
实际测量：
月球绕地球做匀速圆周运动，向心加速度a=ω2r=
经天文观察月球绕地球运动的周期
T=27.3天=3 600×24×27.3 s
r=60R=60×6.4×106 m.
所以：a=×60×6.4×106 m/s2≈2.7×10-3 m/s2.
验证结论：两种计算结果一致，验证了地面上的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力，即“天上”“人间”的力是相同性质的力.
点评：在实际教学过程中,教师引导学生重现牛顿的思维过程,让学生体会牛顿当时的魄力、胆识和惊人的想象力.物理学的许多重大理论的发现,不是简单的实验结果的总结,它需要直觉和想象力、大胆的猜想和假设,再引入合理的模型,需要深刻的洞察力、严谨的数学处理和逻辑思维,常常是一个充满曲折和艰辛的过程.进行情感态度与价值观的教育.
二、万有引力定律
通过以上内容的学习,我们知道:太阳与行星间有引力作用,地球与月球间有引力作用,地球与地面上的物体间也有引力作用.
问题1：地面上的物体之间是否存在引力作用?
组织学生交流讨论,大胆猜想.
可能性1：不存在.原因:太阳对行星的引力使行星围绕太阳做圆周运动,地球对月球或卫星的引力也是如此,地球对地面上物体的引力使物体靠在地面上,上抛之后还要落回.若两个物体之间有引力,那些引力既没使一个物体围绕另一个物体转动,也没有使两个物体紧贴在一起,故此力不存在.
可能性2：此力存在.原因:太阳、行星、地球、月球、卫星、物体,均是有质量的物体,太阳与行星间,地球与月球或卫星间.地球与物体间均存在这种引力,说明这种引力是有质量的物体普遍存在的,故两个物体之间应该有引力.
问题2：若两个物体间有引力作用,为何两个物体没有在引力作用下紧靠在一起?
参考解释：“天上”“人间”的力是同性质的力，满足F∝定律.地面上的物体质量比起天体来说太小了，这个力我们根本觉察不到.两物体之所以未吸在一起是因为两物体间的力太小,不足以克服摩擦阻力或空气阻力.
任意两个物体之间都存在着相互引力.
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点评：对上述内容在教学过程中,教师可灵活采用教学方法,可用“辩论赛”的方式让持两种观点的学生代表阐述自己的观点及依据，然后对方提出问题进行互辩，此过程让一般同学作补充说明，一直到一个观点被另一个观点击败为止.这样可提高学生处理问题的综合能力.
问题：
1.用自己的话总结万有引力定律的内容.
2.根据太阳与行星间引力的表达式,写出万有引力定律的表达式.
3.表达式中G的单位是怎样的?
学生思考后回答.
总结：1.内容:自然界中任何两个物体都相互吸引,引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比,与它们之间距离r的二次方成反比.
2.表达式:由F=(M:太阳质量,m:行星的质量)
得出:F=(m1:物体1的质量,m2:物体2的质量)
3.由F=可知G的单位：N·m2/kg2.
合作探究
对万有引力定律的理解：
1.万有引力的普遍性.因为自然界中任何两个物体都相互吸引,所以万有引力不仅存在于星球间,任何有质量的物体之间都存在着相互作用的吸引力.
2.万有引力的相互性.因为万有引力也是力的一种,力的作用是相互的,具有相互性,符合牛顿第三定律.
3.万有引力的宏观性.在通常情况下,万有引力非常小,只有质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间,它的存在才有实际的物理意义,故在分析地球表面物体受力时,不考虑地面物体之间的万有引力,只考虑地球对地面物体的引力.
知识拓展
万有引力定律的适用条件:
1.公式适用于质点间引力大小的计算.
2.对于可视为质点的物体间的引力求解也可以利用万有引力公式.如两物体间距离远大于物体本身大小时,物体可看成质点.
说明：均匀球体可视为质量集中于球心的质点.
3.当研究对象不能看成质点时,可以把物体假想分割成无数个质点,求出两个物体上每个质点与另一个物体上所有质点的万有引力,然后求合力.
三、引力常量的测量
引导学生设计测量引力常量的方法并交流,然后教师介绍卡文迪许实验方法,通过课件展示卡文迪许的扭秤装置,让学生观察体会实验装置的巧妙.
实验介绍：1798年，英国物理学家卡文迪许在实验室里利用“扭秤”，通过几个铅球之间万有引力的测量，比较准确地得出了引力常量G的数值.
课件展示：卡文迪许的“扭秤”实验装置.
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扭秤实验装置结构图
图中T形框架的水平轻杆两端固定两个质量均为m的小球,竖直部分装有一个小平面镜,上端用一根石英细丝将这杆扭秤悬挂起来,每个质量为m的小球附近各放置一个质量均为M的大球,用一束光射入平面镜.
由于大、小球之间的引力作用,T形框架将旋转,当引力力矩和金属丝的扭转力矩相平衡时,利用光源、平面镜、标尺测出扭转力矩,求得万有引力F,再测出m、M和球心的距离r,即可求出引力常量G=.
大小球之间的引力非常小,这里巧妙地改测定力为测定力矩的方法.引力很小,但是加长水平杆的长度增加了力臂,使力矩增大,提高了测量精度.同时又利用了平面镜反射光光点的移动的方法,精确地测定了石英丝的扭转角,从而第一次在实验室较精确地测出了引力常量.
卡文迪许的测量方法非常精巧,在以后的八、九十年间竟无人能赶超他的测量精度.卡文迪许在实验室测出了引力常量,表明万有引力定律同样适用于地面的任意两个物体,用实验方法进一步证明了万有引力定律的普适性.同时,引力常量的测出,使得包括计算星体质量在内的关于万有引力的定量计算成为可能.
知识拓展
1.地面上物体所受重力.在地球表面上的物体随地球的自转而做圆周运动，物体受到指向圆周圆心（圆心位于地球的自转轴上）的向心力作用，此向心力由地球对物体的万有引力在指向圆心方向的分力提供.而万有引力的另一分力，即物体所受的重力G=mg，如图所示.
F=,F向=mrω2
物体位于赤道时，向心力指向地心，三力同向，均指地心,满足F=F向′+G赤,即 =mRω2+mg赤,当物体在地球的南北两极时，向心力F′为零，F=F极，即=mg极.
当物体从赤道向两极移动时，根据F向′=mRω2知，向心力减小，则重力增大，只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力.从赤道向两极，重力加速度增大.
而且重力的方向竖直向下，并不指向地心，只有在赤道和两极，重力的方向才指向地心.
2.不考虑地球自转的情况下，物体在地球表面上所受的万有引力跟重力相同，若考虑，由于向心力很小，重力近似等于万有引力.
即地球表面近似认为：≈mg.
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3.地球的人造卫星.
卫星所受的万有引力等于重力.由于万有引力提供向心力，所以卫星向心加速度等于重力加速度，卫星处于完全失重状态,即=mg,a向=g,由此可知，重力加速度随高度的增加而减小.
例 如图所示,一个质量为M的匀质实心球,半径为R.如果通过球心挖去一个直径为R的小实心球,然后置于相距为d的地方,试计算空心球与实心小球之间的万有引力.
分析：实心球挖去一个半径为的小实心球后,质量分布不均匀,因此挖去小实心球剩余的部分,不能看成质量集中于球心的质点,直接求空心球和小实心球间的万有引力很困难.
假设用与挖去的小实心球完全相同的球填补在挖去的位置,则空心球变成一个实心球,可看作质量集中于球心的质点.
解答：假设把挖去的小实心球填补上,则大、小实心球间的万有引力为F=
小实心球的质量为m=ρ·
代入上式得F=
填入的小实心球与挖去的小实心球间的万有引力为F1=
设空心球与小实心球的万有引力为F2，则有F=F1+F2
因此，空心球与小实心球间的万有引力为F2=F-F1=.
说明：本题属于万有引力与力的合成知识的综合应用.力的合成的实质是等效代替.等效代替是一种重要的物理方法,等效思维运用恰当往往能化难为易,另辟蹊径.
课堂训练
如图所示,阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分.所挖去的小圆球的球心O′和大球体球心间的距离是.求球体剩余部分对球体外离球心O距离为2R、质量为m的质点P的引力.(P在两球心OO′连线的延长线上)
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解析：本题直接求解是有一定难度的：求出阴影部分的质心位置，然后认为它的质量集中于质心，再用万有引力公式求解.可是万有引力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体，才可将其看作是质量全部集中在球心的一个质点.至于本题中不规则的阴影区，那是不能当作一个质点来处理的.故可用补偿法，将挖去的球补上.
将挖去的球补上，则完整的大球对球外质点P的引力：F1=
半径为的小球的质量M′=
补上小球对质点P的引力：F2=
因而挖去小球的阴影部分对P质点的引力F=F1-F2=.
答案：
课堂小结
通过本节课的学习,我们掌握了万有引力定律得出的思路和过程,通过月—地检验及其推广,得出万有引力定律的表达式及适用条件.
学习了万有引力定律后我们可利用万有引力定律求任意两个物体之间的引力,求重力加速度.
学习了引力常量的测定方法及引力常量G的数值:G=6.67×10-11 N·m2/kg2.
布置作业
教材“问题与练习”第2、3题.
板书设计
万有引力定律
一、“月—地”检验
猜想：“天上”的力与“人间”的力可能出于同一个本源.
验证:月—地检验.
结论:两种计算结果一致,验证了地面上的重力与地球吸引月球的力是相同性质的力.
二、万有引力定律
1.内容 2.表达式 3.使用条件 4.理解
三、引力常量的测量
1.原理介绍 2.实验测量 3.过程体验
活动与探究
课题:在研究宇宙发展演变的理论中,有一种说法叫做“宇宙膨胀说”，认为引力常量G在缓慢地减小.根据这种理论，试推导分析现在太阳系中地球的公转轨道半径、周期、速率与很久很久以前相比变化的情况.
推导过程：若地球在半径为R的圆形轨道上以速率v运动的过程中，引力常量G减小了一个微小量，由于m、M、R均未改变，万有引力
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必然随之减小，并小于轨道上该点所需的向心力m（速度不能突变），由于惯性，地球将做离心运动，即向外远离太阳，半径R增大.地球在远离太阳的过程中，克服太阳引力做功，引起速率减小，运行周期T=增大.由此可以判断，在很久很久以前，太阳系中地球公转的轨道半径比现在小，周期比现在小，速率比现在大，也就是说，随着引力常量G的缓慢减小，宇宙在不断地膨胀.
习题详解
1.解答：设两人的质量均为50 kg，两人的质心相距1 m，两人间万有引力大小：F= =6.67×10-11×N=1.67×10-7 N
人对地面的压力大小等于物体的重力FN=mg=50×9.8N=490 N
取人和地面间的动摩擦因数为0.1，则人受地面的最大静摩擦力大小：
F′=μFN=0.1×490N=49 N.
所以，F
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