9.5 多项式的因式分解
教学目标：
1. 了解完全平方公式的特征，会用完全平方公式进行因式分解.
2. 通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，发展学生逆向思维能力和推理能力.
3. 通过猜想、观察、讨论、归纳等活动，培养学生观察能力，实践能力和创新能力.
4. 通过运用所学知识解决简单有趣的实际问题，激发了学生对数学学习的兴趣.
说明 本节课是在学生已经了解因式分解的意义，掌握了提公因式法、平方差公式的基础上进行教学的，是公式法的另一部分内容，由于教学内容的抽象性，建议创造愉快情景尤其重要，使学生对学习发生了强烈的兴趣，通过分组讨论完全平方公式的特征，激发了学生内在的学习愿望和学习动机，从而聚精会神，努力追源，并感到乐在其中.
教学重点
完全平方公式分解因式
教学难点
掌握完全平方公式的特点
教学关键
熟悉公式的形式和特点，根据多项式的项数选择公式.
教学方法
自主探索、教学互动，发挥学生的主体作用
教 具 投影仪
教学过程：
(一)创置情境
情境1 前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？
说明 设置问题情境使学生回忆了因式分解的意义和学过的方法——提公因式法，平方差公式但两法都无法分解a2＋2a＋1.由因式分解的意义知只要把a2＋2a＋1化为整式的积的形式即达到目的，由于学生熟悉(a＋1)(a＋1)即(a＋1)2等于a2＋2a＋1，反之于是有a2＋2a＋1＝(a＋1)2，若学生想不到可问( )2＝a2＋2a＋1，从而达到了分解因式的要求，这里在得到了a2＋2a＋1＝(a＋1)2的同时再次体会了整式乘法和因式分解是一个等式的两面性是互逆的，从而引入新课.
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情境2 在括号内填上适当的式子，使等式成立：
(1)(a＋b)2＝( ) (2)(a－b)2＝( )
(3)a2＋( )＋1＝(a＋1)2 (4)a2－( )＋1＝(a－1)2
思考：(1)你解答上述问题时的根据是什么？
(2)第(1)(2)两式从左到右是什么变形？第(3)(4)两式从左到右是什么变形？
(3)第(3)(4)两式是因式分解，反过来就是整式乘法中的完全平方.
说明 设计这组练习的目的是引导学生顺向、逆向运用完全平方公式，再通过几个循序渐进的问题，从而引入新课.
情境3 观察一列整数：1，4，9，16，25，……，有什么特点？
数式是相通的，在整式中也有这样的情况，你能看出下列式子的特点吗？
(1)a2＋2a＋1 (2)a2＋4a＋4
(3)a2－6a＋9 (4)a2＋2ab＋b2 (5)a2－2ab＋b2
学习了本节课后，你一定会明白的！
说明 由完全平方数自然过渡到完全平方式，当然学生不知道完全平方式的意义设置悬念，起到了触类旁通，承上启下，挑起学生求知欲的作用，再与本节课后面的小结拓展的完全平方式首尾呼应.
情境4 上节课我们学习了用平方差公式分解因式，而在整式乘法时我们还学习了什么公式？大家猜想一下本节课我们将学习什么内容？
说明 此引入可谓开门见山，运用类比猜想的方法，引导学生借助上一节课学习平方差公式分解因式已有的经验，探索分解因式的完全平方公式法，而这个猜想，探索的过程就是培养学生直觉思维的过程，同时由于要对猜测进行验证，又可培养学生的推理能力.
(二)认识完全平方公式
把乘法公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2
反过来，就得到a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 a2－2ab＋b2＝(a－b)2
提出问题 自主探索：
问题1 两公式左边是几项式？三项式，再考虑一下平方差公式.左边是几项式与之比较.
问题2 这三项式有什么特点？其中两项同号，且能写成两数的平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍，它的符号可正可负，口决：“首平方尾平方，二数乘积在中央”
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有了平方差公式的经验学生自已不难得出，教师重在引导，不要替学生解答好，学法上可采取小组讨论，全班交流.
问题3 若用△代表a，○代表b，两式是什么形式？△2＋2△×○＋○2＝(△＋○)2，△2－2△×○＋○2＝(△－○)2
说明 经过观察、比较、思考、类比，培养了学生的思维能力，这里学生自己观察、自主探索出公式的本质特征，轻松地掌握本节的重点，同时化解了难点.
问题4 将a2－4a－4符合吗？为什么？
问题5 a2＋6a＋9符合吗？ 相当于a， 相当于b.
a2＋6a＋9＝a2＋2×( )×( )＋( )2＝( )2
a2－6a＋9＝a2－2×( )×( )＋( )2＝( )2
(三)知识运用
例1 把下列各式分解因式
(1)x2＋10x＋25 (2)4a2＋36ab＋81b2
分析 重点是指出什么相当于公式中的a、b，并适当的改写为公式的形式，
解：(1)x2＋10x＋25 (2) 4a2＋36ab＋81b2
＝x2＋2×x×5＋52 ＝(2a)2－2×2a×9b＋(9b)2
＝(x＋5)2 ＝(2a－9b)2
说明 本题是基础题，使学生体会用完全平方公式如何分解因式，以及解题格式，学生尝试去做，教师在对不同意见作比较，评价、培养学生的解题能力.
练一练(及时训练，巩固新知)
1. 下列能直接用完全平方公式分解的是( )
A．x2＋2xy－y2 B．－x2＋2xy＋y2 C．x2＋xy＋y2 D．x2－xy＋y2
2. 分解因式：－a2＋2ab－b2＝
分解因式：－a2－2ab－b2＝
3. 分解因式(板演)
(1)a2－4a＋4 (2)a2－12ab＋36b2 (3)25x2＋10xy＋y2
探索活动二：公式中的a、b可表示什么？学生讨论易知a、b可以为任意的数、字母或多项式.
如：a2－4a＋4
↓把a换成(m＋n)
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(m＋n)2－4(m＋n)＋4 怎么分解呢？请看例2
例2把下列各式分解因式
(1)16a4＋8a2＋1 (2)(m＋n)2－4(m＋n)＋4
分析：许多情况下，不一定能直接使用公式，需要经过适当的组合，变形成公式的形式.
解：(1)16a4＋8a2＋1 (2) (m＋n)2－4(m＋n)＋4
＝(4a2)2＋2×4a2＋1 ＝(m＋n)2－2×2(m＋n)＋22
＝(4a2＋1)2 ＝[(m＋n)－2]2＝(m＋n－2)2
变式训练 若把16a4＋8a2＋1变形为16a4－8a2＋1会怎么样呢？学生讨论作答
16a4－8a2＋1
＝(4a2)2－2×4a2＋1
＝(4a2－1)2 (这里4a2－1可继续分解)
＝[(2a＋1)(2a－1)]2＝(2a＋1)2(2a－1)2
例3 (1)简便计算20042-4008×2005+20052
(2)已知a2-2a+b2+4b+5=0，求(a+b)2005的值.
解：(1) 20042-4008×2005+20052=20042-2×2004×2005+20052=(2004-2005)2=1
(2) a2-2a+b2+4b+5=0变形为
(a-1)2+(b+2)2=0 ∴a-1=0,b+2=0 ∴a=1,b=-2
(a+b)2005=[1+(-2)]2005=-1
说明 用完全平方公式解决两道有用的实际问题使学生享受到运用所学知识的乐趣和心理满足，激励他们的求知欲望.
练一练：
1、把下列各式分解因式
(1)16a4＋24a2b2＋9b4 (2)(x＋y)2－10(x＋y)＋25
2、创新：a2＋6a＋9误写为a2＋6a＋9－1即a2＋6a＋8如何分解？
学生讨论方法一：
a2＋6a＋8＝a2＋6a＋8＋1－1
＝a2＋6a＋9－1＝(a＋3)2－1
＝(a＋3＋1)(a＋3－1)＝(a＋4)(a＋2)
法二：就是我们下节课要补充的新的解法
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说明：有的电视剧冗长却吸引人，当然与故事情节跌宕起伏分不开，但是每集结束前设置悬念吸引观众，是功不可没的，此处设置悬念，从而激发了学生继续学习的热情，探索新知识的心理，提高课堂教学效益.
(四)小结
1、学生自己总结本节课的收获，体会.
2、将乘法公式反过来就得到多项式因式分解的公式，运用这些公式把一个多项式分解因式的方法叫运用公式法.
3、如何选用平方差公式，或完全平方公式.
4、拓展：由于a2±2ab＋b2可写成(a±b)2的形式，把类似a2±2ab＋b2 的式子叫完全平方式.
说明：教师提供空间和机会让学生自己发言，即复习了本节内容，又促使学生重视知识结构，抓住了问题特征.
(五)作业
必做：
课本习题
选做：
1、若x2＋mx＋4是完全平方式，则m＝ .
2、简便计算：9.92－9.9×0.2＋0.01
3、若a、b、c为△ABC的三边，且满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判断△ABC的形状.
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