9.5 多项式的因式分解
一、教学目标
1.理解因式分解的概念.
2.掌握从单项式乘多项式的乘法法则得出提公因式法分解因式的方法.
3.培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力.
4.培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法.
5.培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好学习习惯.
6.体会事物之间互相转化的辩证思想，从而初步接受对立统一的观点.
二、教学重点和难点
学习重点：因式分解的概念，用提公因式法分解因式.
学习难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用单项式乘多项式的逆向变形来解决因式分解的问题.
三、教具、学具
硬纸板、投影仪、条件好的可使用ppt展示.
四、教学过程
（一）设置情境
情境1：手工课上，老师给同学们发下一张如左图形状的纸张，要求在不浪费纸张的前提下，剪拼成右图形状的长方形，请问你能解决这个问题吗？你能给出数学解释吗？
说明：留一定的时间让学生思考、讨论，在学生感到新奇又不知所措的过程中积蓄了强烈的求知欲望，这样设置悬念，无疑为课堂内容的学习创设了良好的情绪和氛围.
（学生通过交流，会想到水平和竖直两种不同方向的剪拼方法，包括其它方法，都应受到老师的鼓励和肯定）
思考：（1）怎样表示左图和右图的面积？你认为这两个图形的面积相等吗？
4
（2）你是怎样想到这种简拼方法的?请解释你的做法.
情境2：求999＋9992的值
说明：学生对这样的问题有兴趣，能迅速找出一些不同的速算方法，很快想出乘法分配律的逆向变形，设置这样的情境，由数推广到式，效率较高.
情境3：观察分析
把单项式乘多项式的乘法法则
a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad ①
反过来，就得到
ab＋ac＋ad =a（b＋c＋d） ②
这个式子的左边是多项式ab＋ac＋ad，右边是a与（b＋c＋d）的乘积.
思考（1）你是怎样认识①式和②式之间的关系的？
（2）能用②式来计算375×2.8＋375×4.9＋375×2.3 吗？
（3）②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗？你能说出这个因式吗？
（二）认识公因式
1、概念1. 多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式（common factor）.
2、观察分析
①多项式a2b＋ab2的公因式是ab，……公因式是字母；
②多项式3x2－3y的公因式是3，……公因式是数字系数；
③多项式3x2－6x3的公因式是3x2，……公因式是数学系数与字母的乘积.
分析并猜想
确定一个多项式的公因式时，要从 和 两方面，分别进行考虑.
（1）如何确定公因式的数字系数？
（2）如何确定公因式的字母？字母的指数怎么定？
说明：教师不要直接给出找多项式公因式的方法和解释，而是鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和经验，并能通过相互间的交流来纠正解题中的常见错误.
练习：写出下列多项式各项的公因式
（1）8x－16 （2）a2x2y－axy2
（3）4x2－2x （4）6a2b－4a3b3－2ab
概念2 把一个多项式写成几个整式积的形式的叫做多项式的因式分解（factorization
4
factoring）.
说明：因式分解的概念和意义需要学生多层次的感受，教师不要期望一次透彻的讲解和分析就能让学生完全掌握.这时先让学生进行初步的感受，再通过不同形式的练习增强对概念的理解.
练习（课本）
1、下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？
（1）ab＋ac＋d=a（b＋c）＋d；
（2）a2－1=（a＋1）（a－1）
（3）（a＋1）（a－1）=a2－1
2、你能另外举2个因式分解变形的例子吗？
说明：学生自己举例，再小组讨论交流，充分暴露学生在概念认识上的误区.分歧较大的问题如x－1=x（1－1/x）等再全班交流，有助于学生正确、深刻地理解因式分解的概念，准确区分整式乘法和因式分解是两种互逆的变形.
（三）例题讨论
例1：把下列各式分解因式
（1）6a3b－9a2b2c （2）－2m3＋8m2－12m
解：（1）6a3b－9a2b2c
=3a2b·2a－3a2b·3bc……（找公因式，把各项分成公因式与一个单项式的乘积的形式）
=3a2b（2a－3bc）……（提取公因式）
（2）－2m3＋8m2－12m
=－（2m·m2－2m·4m＋2m·6）（首项符号为负，先将多项式放在带负号的括号内）
=－2m（m2－4m＋6）（提取公因式）
说明：鼓励学生自己动手找公因式，教师可提出以下问题供学生思考，并作为题后小结.
（1）用提公因式法分解因式后，括号里的多项式有没有公因式?
（2）用提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相比，有没有什么变化？
（3）你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系？从中你得到什么启发？
采取小组讨论、交流，再全班交流，教师最后用精炼、准确的语言作总结，有助于学生深刻的理解所学知识，并能认识到知识间的相互联系，形成知识的迁移，降低了本节课
4
的难点.设计第（3）问的目的是让学生认识到可以用单项式乘多项式法则验证因式分解的正确性.
例2 辨别下面因式分解的正误并非指明错误的原因.
（1）分解因式 8a3b2－12ab4＋4ab=4ab（2a2b－3b3）
（2）分解因式 4x4－2x3y=x3（4x－2y）
（3）分解因式 a3－a2=a2（a－1）= a3－a2
解：（1）错误，分解因式后，括号内的多项式的项数漏掉了一项.
（2）错误，分解因式后，括号内的多项式中仍有公因式.
（3）错误, 分解因式后,又返回到了整式的乘法.
说明：这些多是学生易错的，设置例2的目的是让学生运用例1的成果准确辨别因式分解中的常见错误，对因式分解的认识更加清晰.本例仍采用小组讨论、交流的方式，让学生都参与到课堂活动中.
例3（选用）分解因式（a＋b）2－2（a＋b）
解：（a＋b）2－2（a＋b）=（a＋b）[（a＋b）－2]=（a＋b）（a＋b－2）
说明：公因式（a＋b）是多项式，属较高要求，对学有困难的学生可以用单项式过渡一下，如设a＋b=m即可.
练习：1、课本P82 练一练1、22
2、（选做）你能根据下图写出几个等式吗？你写出的等式中哪些是整式乘法的变形？哪些是因式分解的变形？
a
a b c
五、小结
通过学习，（1）你认为因式分解的过程中会出现哪些常见错误？
（2）你有办法检验多项式分解因式的结果的正确性吗？
（3）公因式可能是多项式吗？如果可能，那又当如何分解因式呢？举例尝试.
（4）你还有什么新的认识与体会？
六、作业
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