19.2 平行四边形
【教学目标】
1、通过对几种平行四边形的回顾与思考，使学生梳理所学的知识，系统地复习平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定方法；
2、正确理解平行四边形与各种特殊平行四边形的联系与区别，在反思和交流过程中，逐渐建立知识体系；
3、引导学生独立思考，通过归纳、概括、实践等系统数学活动，感受获得成功的体验，形成科学的学习习惯。
【教学重点】
1、平行四边形与各种特殊平行四边形的区别。
2、梳理平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识体系及应用方法。
【教学难点】
平行四边形与各种特殊平行四边形的定义、性质、判定的综合运用。
【教学模式】
以题代纲，梳理知识-----变式训练，查漏补缺 -----综合训练，总结规律-----测试练习，提高效率
【教具准备】三角板、实物投影仪、电脑、自制课件。
【教学过程】
一、以题代纲，梳理知识
（一）开门见山，直奔主题
同学们，今天我们一起来复习《平行四边形》的相关知识，先请同学们迅速地完成下面几道练习题，请看大屏幕。
（二）诊断练习
1、根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O：
(1) AB＝CD,AD＝BC （平行四边形）
(2)∠A＝∠B＝∠C＝90° （ 矩形 ）
(3)AB＝BC，四边形ABCD是平行四边形 （ 菱形 ）
(4)OA＝OC＝OB＝OD ，AC⊥BD （ 正方形 ）
6
(5) AB＝CD, ∠A＝∠C ( ？ )
2、菱形的两条对角线长分别是6厘米和8厘米，则菱形的边长为 5 厘米。
3、顺次连结矩形ABCD各边中点所成的四边形是 菱形 。
4、若正方形ABCD的对角线长10厘米，那么它的面积是 50 平方厘米。
5、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，轴对称图形有： 矩形、菱形、正方形 ，中心对称图形的有： 平行四边形、矩形、菱形、正方形 ，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是： 矩形、菱形、正方形 。
（二）归纳整理，形成体系
1、性质判定，列表归纳
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性
质
边
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行，四边相等
对边平行，四边相等
角
对角相等
四个角都是直角
对角相等
四个角都是直角
对角线
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定
1、两组对边分别平行；
2、两组对边分别相等；
3、一组对边平行且相等;
4、两组对角分别相等；
5、两条对角线互相平分.
1、有三个角是直角的四边形;
2、有一个角是直角的平行四边形;
3、对角线相等的平行四边形.
1、四边相等的四边形；
2、对角线互相垂直的平行四边形；
3、有一组邻边相等的平行四边形。
4、每条对角线平分一组对角的四边形。
1、有一个角是直角的菱形；
2、对角线相等的菱形；
3、有一组邻边相等的矩形；
4、对角线互相垂直的矩形；
对称性
只是中心对称图形
既是轴对称图形，又是中心对称图形
面积
S= ah
S=ab
S=
S= a2
2、基础练习：
（1）矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ C ）
A．对角线相等 （矩、正） B. 对角线平分一组对角 （菱、正）
C．对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 （菱、正）
（2）、正方形具有，矩形也具有的性质是（ A ）
A．对角线相等且互相平分 B. 对角线相等且互相垂直
C. 对角线互相垂直且互相平分 D. 对角线互相垂直平分且相等
（3）、如果一个四边形是中心对称图形，那么这个四边形一定（ D ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
都是中心对称图形，A、B、C都是平行四边形
（4）、矩形具有，而菱形不一定具有的性质是（ B ）
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等
C. 对边平行且相等 D. 内角和为3600
问：菱形的对角线一定不相等吗？错，因为正方形也是菱形。
（5）、正方形具有而矩形不具有的特征是（ D ）
A. 内角为3600 B. 四个角都是直角
C. 两组对边分别相等 D. 对角线平分对角
6
问：那么正方形具有而菱形不具有的特征是什么？对角线相等
2、集合表示，突出关系
正方形
平行四边形
矩形
菱形
二、查漏补缺，讲练结合
（一）一题多变，培养应变能力
图1
A
B
C
D
O
E
F
〖例题1〗
已知：如图1，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，
EF过点O与AB、CD分别交于点E、F．
求证：OE=OF．
证明: ∵
1-2
1-1
变式1．在图1中，连结哪些线段可以构成新的平行四边形？为什么？
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
变式2．在图1中，如果过点O再作GH，分别交AD、BC于G、H，你又能得到哪些新的平行四边形？为什么？
变式2
2-3
2-1
2-2
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
6
变式3．在图1中，若EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F，这时仍有OE=OF吗？你
变式3
3-1
3-2
还能构造出几个新的平行四边形？
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
A
B
D
C
O
H
G
变式4
变式4．在图1中，若改为过A作AH⊥BC，垂足为H，连结HO并延长交AD于G，连结GC，则四边形AHCG是什么四边形？为什么？
可由变式1可知四边形AHCG是平行四边形，
再由一个直角可得四边形AHCG是矩形。
A
B
C
D
O
G
H
变式5
变式5．在图1中，若GH⊥BD，GH分别交AD、BC于G、H，则四边形BGDH是什么四边形？为什么？
可由变式1可知四边形BGDH是平行四边形，
再由对角线互相垂直可得四边形BGDH是菱形。
变式6．在变式5中，若将“□ABCD”改为“矩形ABCD”，GH分别交AD、BC于G、H，则四边形BGDH是什么四边形？若AB=6，BC=8，你能求出GH的长吗？（这一问题相当于将矩形ABCD对折，使B、D重合，求折痕GH的长。）
O
B
H
C
A
G
D
变式6
略解：∵AB=6，BC=8 ∴BD=AC=10。
设OG = x，则BG = GD=．
在Rt△ABG中，则勾股定理得：
AB2 + AG2 = BG2 ，
即，
6
解得 ．
B
A
D
C
F
E
例2
∴GH = 2 x = 7.5．
（二）一题多解，培养发散思维
〖例题2〗
已知：如图，在正方形ABCD，E是BC边上一点，
F是CD的中点，且AE = DC + CE．
求证：AF平分∠DAE．
证法一：（延长法）延长EF，交AD的延长线于G（如图2-1）。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠C=∠ADC=90°（正方形四边相等，四个角都是直角）
∴∠GDF=90°，
2-1
1
2
∴∠C =∠GDF
在△EFC和△GFD中
∴△EFC≌△GFD（ASA）
∴CE=DG，EF=GF
∵AE = DC + CE，
∴AE = AD + DG = AG，
∴AF平分∠DAE．
证法二：（延长法）延长BC，交AF的延长线于G（如图2-2）
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD // BC，DA=DC，∠FCG=∠D=90°
（正方形对边平行，四边相等，四个角都是直角）
A
B
D
C
F
E
G
1
2
3
4
2-2
∴∠3=∠G，∠FCG=90°，
∴∠FCG =∠D
在△FCG和△FDA中
∴△△FCG和△FDA（ASA）
2-3
∴CG=DA
∵AE = DC + CE，
∴AE = CG + CE = GE，
∴∠4 =∠G，
6
∴∠3 =∠4，
∴AF平分∠DAE．
思考：如果用“截取法”，即在AE上取点G，
使AG=AD，再连结GF、EF（如图2-3），这样能证明吗？
三、综合训练，总结规律
（一）综合练习，提高解题能力
1． 在例2中，若将条件“AE = DC + CE”和结论
作2
“AF平分∠DAE”对换，
所得命题正确吗？为什么？你有几种证法？
2．已知：如图，在□ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
G、H分别是BC、AD的中点．
求证：四边形EGFH是平行四边形．（用两种方法）
（二）课堂小结，领悟思想方法
1．一题多变，举一反三。
经常在解题之后进行反思——改变命题的条件，或将命题的结论延伸，或将条件和结论互换，往往会有意想不到的收获。也只有这样，才能做到举一反三，提高应变能力。
2．一题多解，触类旁通。
在平时的作业或练习中，通过一题多解，你不仅可以从中对比选出最优方法，提高自己在应考中的解题效率，而且还能开阔你的思维，达到触类旁通的目的。
3．善于总结，领悟方法。
数学题目本身蕴含着许多数学思想方法，只要你善于总结，就能真正掌握、提炼出其中的数学方法，才能不断提高自己分析问题、解决问题的能力。
四、测试练习，提高效率
1、完成《优化设计》第57、58页。
6
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