第8讲 二次函数图象的应用（一）
【今日目标】
1、二次函数图象与系数的关系（二次函数中a,b,c的作用）：
⑴决定__________。①当__ 时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x的增大而________。②当_________时，图象开口向下，当x=_________时，函数有最___值________；x﹥-时，y随x的增大而________；当x﹤-时，y随x的增大而________。③当||越大，图象开口越_____。
（2） 和b共同决定________。①b=0时，对称轴为______；② 和b同号时对称轴在y轴___侧；③ 和b异号时对称轴在y轴___侧。简记为 。
（3）c的大小决定抛物线与_____的交点的位置。当___ 时，图象与y轴正半轴相交；当___ 时，图象与y轴负半轴相交；当___ 时，图象过原点。
（4）当__ _时，图象与x轴有两个交点；当_ 时，图象与x轴仅有一个交点；当__ _时，图象与x轴没有交点。
2、以二次函数图象为载体，通过对四大要素的理解，结合动点、特殊三角形、特殊四边形、相似，利用勾股定理、相似为框架、以方程为工具解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等。
【思想方法】数形结合法、特殊值法、整体思想、构造思想等。
【精彩知识】
题型一 二次函数的图象与系数的关系
【例1】已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1．其中正确的项是 （填番号）
●变式练习：
如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
题型二 二次函数的图象和性质的基本应用
【例2】已知，二次函数的解析式y1=－x2+2x+3．
（1）求这个二次函数的顶点坐标；
（2）求这个二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）x取什么值时，抛物线在x轴上方？
（4）x取什么值时，y的值随x值的增大而减小？
（5）若直线y2=ax+b（a≠0）的图象与该二次图象交于A（，m），B（2，n）两点，结合图象直接写出当x取何值时y1＞y2？
●变式练习：
对于二次函数，有下列说法：
①它的图象与轴有两个公共点； ②如果当≤1时随的增大而减小，则；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；
④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．
其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）
【例3】 二次函数的图象如图，若一元二次方程
有实数根，则m的最大值为（ ）
A.-3 B.3 C.-5 D.9
●变式练习：
如图，已知抛物线y1=﹣2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或．
其中正确的是 (填番号)
题型三 二次函数图象为载体解决存在型问题、最值问题、图形形状问题等
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【例4】如图，若抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A（m，0）、B（0，n），已知一元二次方程x2－4x＋3=0的两根是m，n且m＜n.
（1）求抛物线的解析式；
（2）若（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C.根据图像回答，当x取何值时，抛物线的图像在直线BC的上方？
（3）点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交与点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标.
●变式练习：
如图，已知二次函数的图象经过A（，），B（0,7）两点．
⑴求该抛物线的解析式及对称轴；
⑵当为何值时，？
⑶在轴上方作平行于轴的直线，与抛物线交于C，D两点（点C在对称轴的左侧），过点C，D作轴的垂线，垂足分别为F，E．当矩形CDEF为正方形时，求C点的坐标．
【例5】如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断的形状，并说明理由；
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｏ
x
y
（3）在线段上是否存在点，使∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【例6】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经
过点A、O、B三点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点M是抛物线对称轴上一点，试求AM＋OM的最小值；
(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，
求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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【例7】如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=。将△OAB绕着原点O逆时针旋转90o，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180o，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2。
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标；
（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
●变式练习：
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C
(0，4)，顶点为（1，）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请
直接写出满足条件的所有点P的坐标．
（3）若点E是线段AB上的一个动点（点E与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作
EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．
B
x
y
O
C
A
D
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【课后测控】
1、抛物线的开口__ ___，对称轴为_____ ____，顶点坐标为_______ ___；当x= 时，函数有最 值，其最值为 。
2、已知实数x，y满足x2+3x+y－3=0，则x+y的最大值为 。
3、二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图像的一部分如图所示，对于下列说法：①abc
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