第9讲 二次函数的应用
【今日目标】
1、学会建立二次函数模型解决实际问题（与方程、分段函数、最值相结合）；
2、能在限制条件下求出符合题意的最值。
【精彩知识】
【引例】求下列二次函数的最值：
（1）求函数的最值． （2）求函数的最值．
★方法归纳：
如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在 处取得最大值（或最小值）．
如果自变量的取值范围是，分两种情况：
顶点在自变量的取值范围内时，以为例，最大值是 ；最小值是
顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性
专题一 应用之利润最值问题
【例1】某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?
●变式练习：
某商品的进价为每件20元，售价为每件30，每个月可买出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨元（为整数），每个月的销售利润为的取值范围为元。
（1）求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是1920元？
★解题回顾：总利润= * ；找出价格和销售量之间的关系，注意结合自变量的取值求得相应的售价．
【例2】某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程发现，每月销量y（万件）与销售单价x（元）之间关系可以近似地看作一次函数y=－2x+100.(利润=售价－制造成本)
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间函数解析式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不得高于32元.如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
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★解题回顾：先利用“成本不高于多少，利润不低于多少”等条件求得自变量的 ，然后根据函数性质并结合函数图象求最值．
【例3】某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．
(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?
(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)
★解题回顾：分段函数求最值时，要根据各段函数自变量的 求相应的最值。
专题二 应用之面积最值问题
【例4】把一边长为40cm的正方形硬纸板，进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子（纸板的厚度忽略不计）。
（1）如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子。
①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？
②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由。
（2）若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上），将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子，若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2，求此时长方形盒子的长、宽、高（只需求出符合要求的一种情况）。
●变式练习：
如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？
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专题三 实际应用问题
【例5】如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。
【例6】卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度
AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．
（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出自变量的取值范围；
（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，
计算结果精确到1米）．
●变式练习：
如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米 ．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30o，O、A两点相距8米．
（1）求出点A的坐标及直线OA的解析式；
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．
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【课后测试】（成都各区、县2011—2012年度期末调研试卷26小题选编）
1、（青羊区26）近年来，我市为了增强市民环保意识，政府决定对购买太阳能热水器的市民实行政府补贴。规定每购买一台热水器，政府补贴若干元，经调查某商场销售太阳能热水器台数y（台）与每台补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低，且Z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售太阳能热水器的总收益额为多少元？
（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售太阳能热水器台数y和每台太阳能热水器的 收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；
（3）要使该商场销售太阳能热水器的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少并求出总收益w的最大值．
2、（金牛区26）某地区准备筹办特色小商品展销会，芙蓉工艺厂设计一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销。经过调查，得到如下数据：
（1）已知y与x之间是一次函数关系，求出此函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）
3、（高新区26）政府大力支持大学生创业。大学毕业生小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件
30元的学生台灯。销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一
次函数：=-10+700.
(1) 小明每月获得的利润为w(元)，试问当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润？
最大利润是多少？
(2) 如果小明想要每月获得3000元的利润，那么销售单价应定为多少元？
4、某汽车租赁公司拥有20辆同类汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）
（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 元（用含x的代数式表示，要求填写化简后的结果）；
（2）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？
（3）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
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【部分答案】
例1变式解析：（1）销售利润=每件商品的利润×（180－10×上涨的钱数），根据每件售价不能高于35元，可得自变量的取值；
（2）利用公式法结合（1）得到的函数解析式可得二次函数的最值，结合实际意义，求得整数解即可；
（3）让（1）中的y=1920求得合适的x的解即可．
解答：解：（1）y=（30－20+x）（180－10x）=－10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；
（2）当x=时，y最大=1960元；∴每件商品的售价为34元．
答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；
（3））1920=－10x2+80x+1800 ， x2－8x+12=0， 即 （x－2）（x－6）=0，
解得x=2或x=6， ∵0≤x≤5， ∴x=2，
∴售价为32元时，利润为1920元．
【例2】解：（1）z=(x－18)y=(x－18)(－2x+100) .
∴z与x之间的函数解析式为.
（2）由z=350，得350=，
解此方程，得.
∴销售单价应定为25元或43元.
把z配方，得z.
因此，当销售单价为34元时，厂商每月能够获得最大利润，
最大利润是512元.
（3）结合（2）及函数z的图象（如
图所示）可知，25≤x≤43时，z≥350. 又由限价为32元，得25≤x≤32.
根据一次函数的性质，得y=－2x+100中y随x的增大而减小.
∴当x=32时，每月制造成本最低.
最低成本是18×（－2×32+100）=648（万元）.
因此，每月的最低制造成本需要648万元.
【例3】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。
答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。
（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；
当10＜x≤50时，y=x，即y=－10x2+700x；
当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。
∴。
（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，
此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，
答：公司应将最低销售单价调整为2750元。
【例4】解：（1）①设剪掉的正方形的边长为xcm。
则（40－2x）2=484，解得（不合题意，舍去），。
∴剪掉的正方形的边长为9cm。
②侧面积有最大值。
设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，
则y与x的函数关系为：，
∴x=10时，y最大=800。
即当剪掉的正方形的边长为10cm时，长方形盒子的侧面积最大为800cm2。
（2）在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为xcm。
则 ，
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解得：（不合题意，舍去），。
∴剪掉的正方形的边长为15cm。
此时长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为5cm。
【例4变式】解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，
∴x+2x+x=24，解得：x=6。则 a=6，
∴V=a3=（6）3=432（cm3）；
（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a= x，，
∴S=4ah+a2=。
∵0＜x＜12，∴当x=8时，S取得最大值384cm2。
【例5】解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h，即2=a(0－6)2+2.6，∴
∴当h=2.6时， y与x的关系式为y= (x－6)2+2.6
（2）当h=2.6时，y= (x－6)2+2.6
∵当x=9时，y= (9－6)2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过网。
∵当y=0时，即 (18－x)2+2.6=0，解得x=＞18，∴球会过界。
（3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得。
x=9时，y= (9－6)2+h＞2.43 ①
x=18时，y= (18－6)2+h=≤0 ②
由① ②解得h≥。
∴若球一定能越过球网，又不出边界， h的取值范围为h≥。
变式 解：（1）在Rt△AOC中，
∵∠AOC=30 o ，OA=8，
∴AC=OA·sin30o=8×=，
OC=OA·cos30o=8×=12．
∴点A的坐标为（12，）． …………………………………2分
设OA的解析式为y=kx，把点A（12，）的坐标代入得：
=12k ，
∴k= ，
∴OA的解析式为y=x； …………………… ……………………4分
(2) ∵顶点B的坐标是（9，12）, 点O的坐标是（0，0）
∴设抛物线的解析式为y=a(x-9)+12，…………………………………6分
把点O的坐标代入得：
0=a（0-9）+12，解得a= ，
∴抛物线的解析式为y= (x-9)+12
及y= x+ x； …………………………………………………8分
(3) ∵当x=12时，y= ，
∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点． …………10分
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