第10讲 二次函数的综合运用
【知识概述】
二次函数的综合运用是为考察学生综合运用知识的能力而设计的题目，常以中考压轴题出现，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活，因此成为拉开分值而具有选拔功能。有的学生对二次函数的综合题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高函数的综合题（压轴题）的得分率，解好函数的综合题（压轴题），本讲将以具体实例介绍几种常用的解题策略，从心理上打消望而生畏的忧虑，获得数学高分的制胜法宝。
【解题策略】
1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想；
2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想；
3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想；
4、综合多个知识点，运用等价转换思想；
5、分题分段得分：对题要理解多少做多少，最大限度地发挥自己的水平，做到得一分算一分。
【典例精析】
专题一 知识回顾
【例1】1、已知二次函数的图象的对称轴是直线 ，且有最大值2，其图象在轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
2、已知二次函数y=ax2+bx+c满足a-b+c=0,其图像过点A(2, -3)，并且以x=1为对称轴，求此二次函数的解析式。
3、已知二次函数的图象与x轴正、负半轴分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C,tan∠ACO=，CO=BO, △ABC的面积为15。求该二次函数的解析式。
专题二 能力提升
题型1：利用一元二次方程根与系数的关系求二次函数的解析式
【例2】已知二次函数与x轴从左到右交于A、B两点，与y轴正半轴交于C点，∠ACB=90°，且tan∠BAC -tan∠ABC=2，求此二次函数的解析式。
-
变式：
在直角坐标平面内，点O为坐标原点，二次函数的图象交x轴于点 A、B，且。
（1）求此二次函数解析式；
（2）将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积。
题型二: 二次函数的综合运用
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【例3】如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）.
⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形
O
C
B
A
？
若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
专题三 思维拓展
【例4】已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．
（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为．求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
A
C
x
y
B
O
【例5】如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋ｃ与一直线相交于A（－1,0），C（2,3）两点，与y轴交与点N。其顶点为D。
（1）求抛物线及直线A、C的函数关系式；
（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；
（3）若抛物线对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上任意一点，过E作EF∥BD，交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；
（4）若点P是该抛物线上位于直线AC上方的一动点，求△APC面积的最大值.
【例6】（2012成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (
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为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数，且≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于，两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．
【课后测试】（成都各区、县2012—2013年度期末调研试卷28小题选编）
1、（高新区28）如图，二次函数的图象与轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于C点，顶点D在第一象限。过点D作轴的垂线，垂足为H。
(1) 当时，求tan∠ADH的值；
(2) 是否存在这样的m,使得△ACO∽△CBO?若存在，求出m的值,若不存在，请说明理由。
(3) 设△BCD和△ABC的面积分别为当满足时，求点D到直线BC的距离。
2、（金牛区28）如图，已知抛物线的图像于x轴交于点B（3，0），与y轴交于点C（0，-3），且图像经过点A（2，-3）.
（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）点P从A点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段AC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OB向B点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动。设运动时间为t秒（t＞0）.
①当t取何值时，四边形ABQP为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形BNPQ的面积为S,求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值，并求出最值。
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3、(武侯28)已知两直线、分别经过点A（3，0），点B（-1，0），并且当两条直线同时相交于y轴负半轴的点C时，恰好有⊥，经过点A、B、C的抛物线的对称轴与直线交于点K，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P为顶点的四边形的面积等于△ABC的面积的倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）将直线按顺时针方向绕点C旋转α°（0＜α＜90°），与抛物线的另一个交点为M．求在旋转过程中△MCK为等腰三角形时的α的值．
4、（青羊28）如图，抛物线与x轴有两个不同的交点A（x1,0）、B（x2,0）（x1＜x2），与y轴的正半轴交于点C（0,3）。已知该抛物线的顶点横坐标为1，A、B两点间的距离为4。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求△ABC外接圆的圆心M的纵坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△PBD（PD垂直于x轴，垂足为D）被直线BM分成的面积为1：2两部分？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
5、（成华区28）如图，已知点C（－4，2），Rt△AOB≌Rt△OCD，直角边OB、OD在轴上．抛物线经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点M为线段OC上一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于点G，问是否存在这样的点M，使得四边形ABMG为等腰梯形？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使QB+QM的值最小？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
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答案与提示：
【例3】解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c。
∵直线交轴于A点，交轴于B点，
∴A点坐标为（-1,0）、B点坐标为（0,3）.
又∵抛物线经过A、B、C三点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．
（2）∵y=-x2+2x+3= ，∴该抛物线的对称轴为x=1．
设Q点坐标为（1，m），则，又.
当AB=AQ时， ，解得：，
∴Q点坐标为（1，）或（1，）；
当AB=BQ时，，解得：，
∴Q点坐标为（1，0）或（1，6）；
当AQ=BQ时，，解得：，
∴Q点坐标为（1，1）．
∴抛物线的对称轴上是存在着点Q（1，）、（1，）、（1，0）、（1，6）、（1，1），使△ABQ是等腰三角形．
【例4】解：（1）由题意得 解得
∴此抛物线的解析式为
（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.设直线的表达式为则解得
∴此直线的表达式为 5分
把代入得 ∴点的坐标为
O
A
C
x
y
B
E
P
D
（3）存在最大值
理由：∵即
∴
∴即
∴
方法一：连结
=
=
∵
∴当时，
方法二：
=
=
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∵
∴当时，
【例5】解：设直线AC的解析式为:y=kx+n，点 A（－1,0），C（2,3）在A\C上，可得：
解得:k=1,n=1
∴AC的解析式为：y=x+1;
把A（－1,0），C（2,3）y＝－x2＋bx＋ｃ
解得b=2,c=3,
∴抛物线的解析式为y= －x2＋2x＋3，
∴N（0,3）D（1,4）.
(2) 作N关于x=3的对称点N1，连接DN1，则N1（6,3）.设直线D N1的解析式为y=px+q，则有：
，∴p=，q=,∴D N1的解析式y=x+，当M（3，m）在D N1上时，MN+MD的值最小，∴m=×3+=；
（3）易知B(1,2)，又D（1,4）∴BD=2.因为点E在AC上，设点E（x,x+1）,
1°当点E在线段AC上时，点F（x.x+3），代入y= －x2＋2x＋3，得x+3=－x2＋2x＋3，
解得x=0或=1（不符合题意舍去），∴E；
2°当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F（x.x－1），代入y= －x2＋2x＋3，得x－1=－x2＋2x＋3，解得x=，所以E（,）E(,)
综上所述，当点E（0, 1）、（,）或(,)时以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形；
（4）作CQ⊥x轴于Q，作PG⊥x轴，交AC于H。
设H（x,x+1），则P（x, －x2＋2x＋3）,所以PH=（－x2＋2x＋3）－（x+1）= －x2+ x+2，
又∵S△PAB=S△PAH+ S△PBH=PH×AQ=（－x2+ x+2）×3=（x－）2+，
∴△APC面积的最大值是。
【例6】(1)∵一次函数经过点A(，0)，
∴
∴
则C的坐标为（0，）
∵二次函数经过点A（－3,0）、点C（0，），且以直线x=1为对称轴
则点B的坐标为（5,0）
∴
解，得E
F
∴二次函数为
（2）存在
根据题意，FE∥AC
要使ACEF为平行四边形
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则CE∥AF
∵E在抛物线上
∴E是C关于直线x=1的对称点，则E点的坐标为（2，E
P
M1
M2
）
∴
（3）要使△ACP的周长取得最小值，即为AP+CP最小
E是C关于直线x=1对称点，连接AE交对称轴于点P，则PE=CP
此时，△ACP的周长取得最小值。
如图所示，CE交x=1于点G，x=1交x轴于H
则
∴点P的坐标为（1,3）
设过点P的直线的直线的解析式为
则
则△=
∴
∴
∴
∴不是定值。
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