四川省成都市状元廊学校2015届中考数学思维方法讲义 第14讲 代数.doc

第14讲 代数 反比例函数与二次函数的相关知识是期末考试重点，二次函数的考察也是一难点，所以本次专题以这二者的讲解与训练为主。‎ ‎【典例精析】‎ ‎●专题一 一元二次方程 考点1： 一元二次方程的根的判别式、韦达定理、根的定义以及整体思想 ‎【例1】1、方程有两个实数根，则k的取值范围是 ．‎ ‎2、已知是方程的根,则代数式的值为 ．‎ 考点2： 一元二次方程的应用 ‎【例2】“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。‎ ‎（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？‎ ‎（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？‎ ‎●专题二 反比例函数和二次函数 考点1：反比例函数图像及性质应用 ‎【例3】1、如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上。若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为( )‎ A．1 B．－‎3 ‎ C．4 D．1或－3‎ ‎2、如图，直线与反比例函数的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点，若AB:BC=(m－1):1（m>1），则△OAB的面积（用m表示）为 ‎.‎ 图1 图2 图3‎ ‎3、如图，M为双曲线上的一点，过点M作x轴、y轴的垂线，分别交直线于D、C两点，若直线与y轴交与点A，与x轴交与点B，则AD·BC的值为 。‎ 考点2：规律探索 ‎【例4】1、如图12，一段抛物线：y＝－x(x－3)（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x 轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；……‎ 如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m =_________．‎ ‎2、如图，点P1（x1，y1），点P2（x2，y2），…，点Pn（xn，yn）在函数（x＞0）的图象上，△P1OA1，△P‎2A1A2，△P‎3A2A3，…，△PnAn﹣1An都是等腰直角三角形，斜边OA1、A‎1A2、A‎2A3，…，An﹣1An都在x轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是 ；点Pn的坐标是 （用含n的式子表示）．‎ 考点3：反比列函数与一次函数的综合运用 - 9 -‎ ‎【例5】如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为。双曲线的图像经过的中点，且与交于点，连接。‎ ‎（1）求的值及点的坐标；‎ ‎（2）若点是边上一点，且，求直线的解析式。‎ ‎【例6】如图，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，双曲线（k＞0）与矩形两边AB、BC分别交于E、F。‎ ‎（1）若E是AB的中点，求F点的坐标；‎ ‎（2）若将△BEF沿直线EF对折，B点落在x轴上的D点，作EG⊥OC，垂足为G，证明△EGD∽△DCF，并求k的值。‎ ‎.‎ 考点4：求二次例函数解析式 ‎【例7】§1、（已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式）‎ 已知二次函数的图象过点（－1，2），对称轴为且最小值为－2，求这个函数的解析式。‎ ‎§2、（已知图象与x轴两交点间的距离求解析式）‎ 已知二次函数的图象x轴两交点间的距离为6，对称轴为且经过点（３，－4），求这个二次函数的解析式。‎ ‎§3、（由二次函数的图象变换求解析式）‎ 把函数的图象绕其图象与y轴的交点旋转1800，求所得抛物线的解析式。‎ 考点2：二次函数图像及性质运用 ‎【例8】1、 对于二次函数，有下列说法：‎ ‎①它的图象与轴有两个公共点；‎ ‎②如果当≤1时随的增大而减小，则；‎ ‎③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则；‎ ‎④如果当时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．‎ 其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）‎ - 9 -‎ ‎2、小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察 得出了下面五条信息：‎ ‎①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+‎2c＞0；④a﹣2b+‎4c＞0；⑤．‎ 你认为其中正确信息的有 （填番号）。‎ 考点5：二次例函数的实际应用 ‎【例9】某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）‎ ‎（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？‎ ‎（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？‎ 考点6：二次函数的压轴题 ‎【例10】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．‎ ‎（1）求此抛物线的解析式．‎ ‎（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．‎ ‎①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；‎ ‎②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号）‎ ‎ ‎ ‎【课后测控】‎ - 9 -‎ ‎1、如图1，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A在直线y = x上，其中A点的横坐标为1，且两条直角边AB、AC分别平行于x轴、y轴。若双曲线y = (k≠0)与△ABC的边有交点，则k的取值范围是（ ）‎ A．1＜k＜2 B．1≤k≤‎3 C．1≤k≤4 D．1≤k＜4‎ ‎2、如图，直线 交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则 。‎ ‎3、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.‎ ‎（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元？‎ ‎（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）‎ ‎4、如图所示，在直角坐标系中，点是反比例函数的图象上一点，轴的正半轴于点，是的中点；一次函数的图象经过、两点，并将轴于点若 ‎ ‎（1）求反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）观察图象，请指出在轴的右侧，当时，求的取值范围．‎ ‎5、如图，在平面直角坐标系中，将矩形的顶点O与原点重合，边OC、OA分别在x、y轴上，顶点B在第四象限， ，，将矩形沿直线折叠，使点落在 处，交于．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求过三点抛物线的解析式；‎ ‎（3）若为过三点抛物线的顶点，一动点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间（秒）为何值时，直线把分成面积之比为的两部分？‎ 部分答案:‎ ‎【例2】（1）27－（3－1）×0.1=26.8.‎ - 9 -‎ ‎ （2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27－（x－1）×0.1=27.1－0.1x万元，‎ ‎ 若x≤10,则（28－27.1+0.1x）x+0.5x=12‎ ‎ 解得x1=6,x2=－20(不合题意，舍去)‎ ‎ 若x>10,则（28－27.1+0.1x）x+x=12‎ ‎ 解得x3=5(与x>10舍去，舍去),x4=－24(不合题意，舍去)‎ ‎ 公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.‎ ‎【例6】解：（1）OABC为矩形,AB=OC=4，点E是 AB的中点，AE=2，OA=2，，‎ 点E（2，2）在双曲线y=上，‎ k=2×2=4 ,点F在直线BC及双 曲线y= ，设点F的坐标为（4，f）,f= =1,‎ 所以点F的坐标为（4，1）.‎ ‎(2)①证明：△DEF是由△BEF沿EF对折得到的，‎ ‎∠EDF=∠EBF=90º，点D在直线OC上，‎ ‎∠GDE+∠CDF=180º-∠EDF=180º-90º=90º，‎ ‎∠DGE=∠FCD=90º，∠GDE+∠GED=90º，∠CDF=∠GED，‎ ‎△EGD∽△DCF；‎ ② 设点E的坐标为（a ,2）, 点F的坐标为（4,b）,点E、F在双曲线y=上，k=‎2a=4b,a=2b,所以有点E（2b,2）, AE=2b,AB=4,‎ ED=EB=4-2b, EG=OA=CB=2, CF=b, DF=BF=CB-CF=2-b,‎ DC===2,‎ ‎△EGD∽△DCF,= ,= ,b= ,‎ 有点F（4，），k = 4×= 3.‎ 考点：‎ 二次函数综合题．3718684‎ 专题：‎ 代数几何综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；‎ ‎（2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标；‎ ‎②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0），‎ ‎∴，‎ 解得，‎ 所以，抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；‎ ‎（2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），‎ ‎∴OA=OB=3，‎ ‎∴△AOB是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BAO=45°，‎ ‎∵PF⊥x轴，‎ ‎∴∠AEF=90°﹣45°=45°，‎ 又∵PD⊥AB，‎ ‎∴△PDE是等腰直角三角形，‎ ‎∴PD越大，△PDE的周长越大，‎ 易得直线AB的解析式为y=x+3，‎ 设与AB平行的直线解析式为y=x+m，‎ 联立，‎ 消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，‎ 当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，‎ 即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长，‎ 此时x=﹣，y=﹣+=，‎ ‎∴点P（﹣，）时，△PDE的周长最大；‎ - 9 -‎ ‎②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线x=﹣=﹣1，‎ ‎（i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，‎ 在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，‎ ‎∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，‎ ‎∴∠APF=∠QPM，‎ ‎∵在△APF和△MPQ中，‎ ‎，‎ ‎∴△APF≌△MPQ（AAS），‎ ‎∴PF=PQ，‎ 设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，‎ 即PF=﹣1﹣n，‎ ‎∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n），‎ ‎∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，‎ ‎∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，‎ 整理得，n2+n﹣4=0，‎ 解得n1=（舍去），n2=，‎ ‎﹣1﹣n=﹣1﹣=，‎ 所以，点P的坐标为（，）；‎ ‎（ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q，‎ ‎∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，‎ ‎∴∠FPA=∠QAN，‎ 又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，‎ ‎∴△APF≌△NAQ，‎ ‎∴PF=AQ，‎ 设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3），‎ 则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2，‎ 解得x=﹣1（不合题意，舍去）或x=﹣﹣1，‎ 此时点P坐标为（﹣﹣1，2）．‎ 综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（﹣﹣1，2）．‎ 解：（1）三，k＞0；‎ ‎（2）∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，而点C的坐标标为（2，2），‎ ‎∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），把y=2代入得x= ；把x=2代入得y=，∴A点的坐标为（，2），E点的坐标为（2， ），‎ ‎∴=，‎ 当k－2=0，即k=2时，S阴影部分最小，最小值为；‎ ‎∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；‎ ‎（3）设D点坐标为（a， ），∵，∴OD=DC，即D点为OC的中点，∴C点坐标为（‎2a，），把y= 代入 得x= ，确定A点坐标为（，），∵，∴‎ - 9 -‎ ‎×=1，解得k=.‎ 例8（2）‎ ‎【例9】解：（1）∵z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800，‎ ‎ ∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800。‎ ‎（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，‎ 解这个方程得x1=25，x2=43。‎ ‎∴销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得3502万元的利润。‎ ‎∵z═﹣2x2+136x﹣1800 =﹣2（x﹣34）2+512，‎ ‎∴当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元。‎ ‎（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，‎ 当25≤x≤43时，z≥350。‎ 又由限价32元，得25≤x≤32。‎ 根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，‎ ‎∴当x=32时，每月制造成本最低。‎ 最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元）。‎ ‎∴所求每月最低制造成本为648万元。‎ ‎【例10】 解：（1）设抛物线的函数表达式 ‎∵抛物线与轴交于点，将该点坐标代入上式，得．‎ ‎∴所求函数表达式，即．‎ ‎（2）∵点C是点A关于点B的对称点，点，点，‎ ‎∴点C的坐标是．‎ 将点C的坐标是代入，得．‎ ‎∴直线CD的函数表达式为．‎ 设K点的坐标为，则H点的坐标为，G点的坐标为．‎ ‎∵点K为线段AB上一动点，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，线段HG长度有最大值．‎ ‎（3）∵点F是线段BC的中点，点，点 ，‎ ‎∴点F的坐标为．‎ ‎∵直线过点F且与轴平行，‎ ‎∴直线的函数表达式为．‎ ‎∵点M在直线上，点N在抛物线上 ，‎ ‎∴设点M的坐标为，点N的坐标为．‎ ‎∵点，点 ，∴．‎ 分情况讨论：‎ ① 若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形的边，则须MN∥AC，且MN＝AC＝8．‎ 当点N在点M的左侧时，．‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴N点的坐标为．‎ - 9 -‎ 当点N在点M的右侧时，．‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴N点的坐标为．‎ ‎②若线段AC是以点A，C，M，N为顶点的平行四边形的对角线，由“点C与点A关于点B中心对称”知：点M与点N关于点B中心对称．取点F关于点B对称点P，则点P的坐标为．过点P作NP⊥轴，交抛物线于点N．‎ 将代入，得．‎ 过点N，B作直线NB交直线于点M．‎ 在△BPN和△BFM中，‎ ‎∵‎ ‎∴△BPN≌△BFM．‎ ‎∴NB＝MB．‎ ‎∴四边形点ANCM为平行四边形．‎ ‎∴坐标为的点N符合条件．‎ ‎∴当点N的坐标为，，时，以点A，C，M，N为顶点的四边是平行四边形．‎ 课后测控6、解：（1）四边形是矩形，‎ ‎，． （1分）‎ 又，． （2分）‎ ‎．‎ ‎，‎ 即，‎ 解之，得． （3分）‎ ‎（2）．如图4，过作于，‎ ‎． （4分）‎ ‎，．，．‎ ‎． （5分）‎ 因点为坐标原点，故可设过三点抛物线的解析式为．‎ 解之，得 ‎．‎ ‎（3）抛物线的对称轴为，其顶点坐标为．‎ 设直线的解析式为，则解之，得 ‎． （9分）‎ 设直线交直线于，过作于．‎ ‎．．‎ 或，‎ 或，或．‎ 或，即或．‎ ‎，． （10分）‎ 直线的解析式为．当时，．‎ 直线的解析式为．当时，．‎ 当秒或秒时，直线把分成面积之比为的两部分． （12分）‎ - 9 -‎ 说明：只求对一个值的给11分．‎ - 9 -‎