2．1.1 数列
整体设计
教学分析
本节教材通过举例引出数列概念，教材上列举了7个例子，这7列数的排列都具有一定的规律，教学时也可举几个各项数是随机的、没有什么规律的例子．注意函数定义域的表述．符号N＋与N*表示正整数或非0自然数．教材中的例1可由学生自己完成．例2中的3个小题都要通过观察并分析数的性质，有一定难度．例3是为了加强数列与函数的联系，教学时要重视．
对数列概念的引入可作适当拓展．一方面从研究数的角度提出数列概念，使学生感受数列是刻画自然规律的基本数学模型；另一方面可从生活实际引入，如银行存款利息、购房贷款等，使学生对这些现象的数学背景有更直观认识，感受数列研究的现实意义，以激发学生学习数列的兴趣．
(1)教学中要注意留给学生回味、思考的空间和余地．
(2)数列是一种特殊函数，其定义域是正整数集N*(或它的有限子集)，值域是当自变量顺次从小到大依次取值时的对应值．教科书通过数列的定义域与值域之间这种一一对应关系的列表，让学生加深对数列是一种特殊函数的认识．
(3)对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1,2,3，…)有意义，这些函数值也可以组成一个数列，教学中要注意数列与函数的这种关系的把握．
教材上对数列进行了两种分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，常数列，摆动数列．这些分类的严格定义不要求学生记忆，只要学生知道上述分类是依据不同分类标准得出的并能对所给数列的类别作出准确判断就可以了．
三维目标
1．通过本节学习，让学生理解数列的概念，理解数列是一种特殊函数，把数列融于函数之中；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项，对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式．
2．通过探究、思考、交流、实验、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验，大胆猜想．培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度．
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3．通过本节章头图的学习，体会数学来源于生活，理解大自然的丰富多彩，感受“大自然是懂数学的”，从而提高学生学习数学的兴趣．
重点难点
教学重点：理解数列及其有关的概念，了解数列通项公式的意义；了解数列和函数之间的关系．
教学难点：根据数列的前几项，归纳出数列的通项公式．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.(章头图引入)斐波那契(Fibonacci Leonardo，约1170～1250)，意大利著名数学家，保存至今的斐波那契著作有5部，其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》，《算盘全书》中许多有趣的问题中最富成功的问题是著名的兔子繁殖问题：如果每对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄)，而子兔在出生后第三个月里就又能生1对子兔．试问一对兔子50个月会有多少对兔子？由此展开新课的探究．
思路2.(直接引入)利用多媒体打出教材前言中的几列数．这是与集合中的元素不同的一列数，有一定的次序，告诉学生这就是我们要研究的数列，由此直接进入新课．
推进新课
(1)阅读课本章头图，列出前5个月中每个月兔子的总对数.
(2)每个同学取一张纸对折，假设纸的原来厚度为1个长度单位，面积为1个面积单位，那么随着依次对折的次数增加，它的厚度和每层纸的面积分别是多少？
(3)怎样理解数列？与集合有什么不同？什么是数列的项？怎样表示数列a1，a2，a3，…，an，…？
(4)你能举出身边的哪些数列？
(5)怎样对数列分类？什么是有穷数列？什么是递增数列？
(6)怎样理解数列与函数的关系？
(7)什么是数列的通项公式？
(8)数列有哪些简单的表示方法？
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活动：教师引导学生阅读课本章头的插图，直观感知大自然是懂数学的，激起进一步探究的欲望．通过阅读课本，知道三角形数是1,3,6,10，….由于这些数都能够表示成三角形，就将其称为三角形数，知道正方形数是1,4,9,16，….由于这些数都能够表示成正方形，所以被称为正方形数．教师将两列数用课本演示出来，引导学生观察它们的共同特征．接下来让学生折纸可得到两列数，随着对折数的增加，厚度依次为2,4,8,16，…，256，…；随着对折数的增加，面积依次为，，，，…，，….
教师引导学生阅读课本并弄清有穷数列、无穷数列的概念，之后提出问题：相同的一组数按不同顺序排列时，是否为同一个数列？一个数列中的数可以重复吗？0,0,0，…，0，…是数列吗？让学生结合数列的概念进行辨析．显然，根据数列的概念1,2,3；2,3,1是两个不同的数列.0,0,0，…，0，…也是数列．这点与集合不同．集合讲究无序性、互异性、确定性，而数列强调有顺序，且同一数字可重复．也就是说数列具有确定性、有序性、可重复性，这样根据数列的每一项随序号变化的情况可以对数列进行分类，按项数多少可分为有穷数列、无穷数列；按各项的变化规律可分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列．
根据以上探究，数列中的数与它的序号是一种怎样的关系呢？序号可看作是自变量，数列中的项可看作是随之变动的量．这就让我们联想到了函数，认识到数列也是函数，是一种特殊的函数，特殊到自变量只能取非零自然数．如数列2,4,8,16，…，256，…中，项与序号之间的对应关系如下：
项 2 4 8 16 32
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 4 5
一般形式则为
项 a1 a2 a3 … an …
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
序号 1 2 3 … n …
由此得出，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数an＝f(n)，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数y＝f(x)，如果f(i)(i＝1、2、3、4、…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，….
因此，如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．
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函数与数列的比较(由学生完成此表)：
函数
数列(特殊的函数)
定义域
R或R的子集
N*或它的有限子集{1,2，…，n}
解析式
y＝f(x)
an＝f(n)
图象
点的集合
一些离散的点的集合
关于数列的表示方法，与函数一样，数列也可以用图象法、列表法等方法来表示．由于数列中的自变量只能取正整数，所以其图象应是一系列孤立的点．例如上面问题中提出的函数y＝2x，当x依次取1,2,3，…时，我们可以得到函数值构成的数列2,4,6，…，2n，…，这个数列还可用列表法与图象法表示如下：
n
1
2
3
…
k
…
an
2
4
6
…
2k
…
对于数列的图象法表示，我们可仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数n为横坐标，相应的项an为纵坐标，即以(n，an)为坐标在平面直角坐标系中作出点(以前面提到的数列1，，，，…为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为正整数，所以这些点都在y轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．
讨论结果：
(1)1,1,2,3,5
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(3)按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，又可简记为{an}．
(7)数列的通项公式也就是相应的函数的解析式．
(8)数列的几种简单表示方法有通项公式法(解析式法)、列表法和图象法．
(2)(4)(5)(6)略．
例1(教材本节例2)
活动：本例3个小题，都要通过观察，并分析数的性质，有一定难度．教师可引领学生一起分析，然后由学生完成．同时要让学生领悟题目中为什么要求写出“一个”通项公式．如第2小题奇数项为0，偶数项为2，显然具备这种特点的数学式子不是唯一的．
点评：解完本例后要让学生领悟，这种由数写出数列前几项的题目，解决的关键是找出这列数与序号之间呈现的规律性的东西．然后通过归纳写出这个数列的通项公式．但要注意，根据数列的若干项写出通项公式的形式可能不是唯一的．如本例中的2学生可能就有以下几种写法：an＝或an＝2|sinπ|或an＝2|cos|，等等．
因此教师可就此点拨学生：由函数的观点可知，数列的通项公式实质上就是函数的对应法则的解析式表示，而我们知道函数的对应法则并不是都能用解析式表示出来的，因此也不是所有的数列都能写出通项公式来，即使存在通项公式也不一定唯一．
变式训练
根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)3,5,7,9,11，…；(2)0,1,0,1,0,1，…；(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…；(4)2，－6,12，－20,30，－42，….
解：(1)an＝2n＋1；(2)an＝；
(3)将数列变形为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1，…，
∴an＝n＋；
(4)将数列变形为1×2，－2×3,3×4，－4×5,5×6，…，
∴an＝(－1)n＋1n(n＋1)．
例2(教材本节例3)
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活动：教材设计本例的目的是为了加强数列与函数的联系，用研究函数性质的方法研究数列的性质．这一点非常重要，应引起学生的极大重视．本例中的第1问实际上就是函数的有界性，第2问的递增递减数列就是函数的单调性．教师与学生一起分析后，可由学生自己完成．
点评：解完本例后，可让学生结合思考与讨论，总结本例的思想方法．因为这一点学通了，后面的内容就好学了．
变式训练
写出数列1，，，，，…的通项公式，并判断它的增减性．
解：数列的通项公式为an＝，
∵an＋1－an＝－＝＜0，即an＋1＜an，
这说明每相邻的两项中，后项小于前项，由此可知数列为递减数列．
例3写出下面数列的一个通项公式：
(1)，，，，…；(2)，2，，8，，…；(3)1,0，－，0，，0，－，0，….
解：(1)an＝.
(2)an＝.
原数列可写成，，，，，…，这样数列中各项数的规律就一目了然了．
(3)an＝sin.
原数列可写成，，－，，，，－，，…，这样分母依次为1,2,3，…，而分子依次为1,0，－1,0，由此想到三角函数．
变式训练
以下通项公式中，不是数列3,5,9，…的通项公式的是( )
A．an＝2n＋1 B．an＝n2－n＋3
C．an＝－n3＋5n2－n＋7 D．an＝2n＋1
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答案：D
例4求数列{－2n2＋9n＋3}中的最大项．
活动：教师首先引导学生熟悉这个数列，即是10,13,12，…，－2n2＋9n＋3，…，其通项公式为an＝－2n2＋9n＋3，可以看出an与n构成二次函数，可完全类比二次函数求最值的方法，但要注意这里n∈N*这一隐含条件．
解：由题意，知an＝－2n2＋9n＋3＝－2(n－)2＋.
∵n为正整数，由二次函数的图象和性质，知
当n＝2时，an取到最大值13.
∴数列{－2n2＋9n＋3}中的最大项为a2＝13.
点评：数列的项与项数之间构成特殊的函数关系．在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意到函数的定义域为正整数集这一约束条件．
变式训练
已知数列{an}的通项公式为an＝log2(n2＋3)－2，那么log23是这个数列的第__________项．
答案：3
例5图中的三角形称为谢宾斯基(Sierpinski)三角形．在下图四个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象．
图3
解：如题图，这四个三角形中着色三角形的个数依次为1,3,9,27，则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1，所以这个数列的一个通项公式是an＝3n－1.
该数列在直角坐标系中的图象如下图．
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点评：本例是用通项公式和图象两种方法表示谢宾斯基三角形中着色三角形个数构成的数列．解完此题后，让学生总结数列的表示方法．
变式训练
根据下图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有__________个点．
答案：n2－n＋1
解析：经观察，第n个图中间1个点向n个方向发散，每个方向上另有(n－1)个点，所以第n个图中点的总个数为n(n－1)＋1＝n2－n＋1.
1．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是：
(1)1,8,27,64，…；
(2)，3，，，….
2．已知数列{an}的通项公式为an＝n(n＋1)，则380是这个数列的第__________项．
答案：
1．(1)an＝n3；(2)an＝.
2．由380＝n(n＋1)，n∈N*，可解得n＝19.
1．由学生总结本节课所学习的主要内容：数列的有关概念；根据数列的前几项写出数列的通项公式，反过来，根据数列的通项公式求其任意一项；数列与函数的关系．
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2．通过知识性的小结，尽快地把课堂探究的知识转化为学生的素质能力；通过特殊到一般、类比等思想方法的运用，更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用．并通过章头插图的阅读与理解，更加热爱大自然、保护大自然．
课本本节习题2—1 A组1～6；习题2—1 B组1～3.
设计感想
本教案设计遵循学生的认知规律，体现新课标理念．设计的教学方法是让学生自主探究，呈现“现实情境——数学模型——应用于现实问题”的特点．让学生通过观察、分析、归纳、猜想，培养学生主动探究的精神．感受到大自然的神奇与奥妙，激发热爱大自然的热情，并自发保护大自然，真切领悟到大自然才是我们人类智慧的源泉．
本教案设计体现对学生发散性思维的培养，本节的难点之一就是由数列的前几项写出它的一个通项公式，这个通项公式不是唯一的．设计中鼓励学生根据所学知识，充分施展种种奇思妙想，最大限度地开挖学生的潜能．
本教案的设计加强了数学思想方法的运用，这也是本章的特色，可以说本章简直就是数学思想方法的王国．如不把握好这一点，正如入宝山而空手回．如类比思想、归纳思想及特殊到一般的思想方法等．
备课资料
备用习题
1．数列3,7,13,21,31，…的通项公式是( )
A．an＝4n－1 B．an＝n3－n2＋n＋2
C．an＝n2＋n＋1 D．不存在
2．根据下面数列{an}的通项公式，写出前5项：
(1)an＝；(2)an＝(－1)n·n.
3．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
(1)1，－，，－；
(2)2,0,2,0.
4．数列{an}中，a1＝1，对所有的n≥2都有a1·a2·a3·…·an＝n2，则a3＋a5的值是__________．
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5．已知数列{}：
(1)求这个数列的第10项；
(2)是不是该数列中的项，为什么？
(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；
(4)在区间(，)内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．
参考答案：
1．C 解析：代入选择支验证即可．
2．解：(1)a1＝；a2＝；a3＝；a4＝；a5＝.
(2)a1＝－1；a2＝2；a3＝－3；a4＝4；a5＝－5.
3．解：(1)an＝；(2)an＝(－1)n＋1＋1.
4. 解析：∵a1a2＝22，a1a2a3＝32，a1a2a3a4＝42，a1a2a3a4a5＝52，
∴a3＋a5＝＋＝.
5．解：(1)设f(n)＝＝，
令n＝10，得a10＝f(10)＝.
(2)令＝，得9n＝300，
此方程在自然数集内无解，所以不是该数列中的项．
(3)证明：∵an＝＝1－，
又∵n∈N*，
∴0＜＜1.
∴0＜an＜1.
(4)令＜an＝＜.
∴
即
∴＜n＜.
∴当且仅当n＝2时上式成立．
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故区间(，)上有数列中的项，且只有一项为a2＝.
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