2．1.2 数列的递推公式(选学)
整体设计
教学分析
本节作为选学内容，课标对递推公式没有明确要求．考虑到它在认识数列中的作用，教材把它单列一节作为选学．实际上，递推公式作为数列的一种表示方法，有其独特的作用，高考试卷中常常见到它的踪影，因此，教学中还是把它作为必学内容对待为好．
数列作为刻画自然规律的基本数学模型，教材意图是用函数的观点和递推的观点理解数列．同上节一样本节也是通过一些例子及章头前言中的事例来引入递推公式．并通过例题，让学生明确数列的递推公式应包括数列的首项和公式本身．没有首项，就没有递推的基础，没有递推公式则无法向后延续．让学生体会，给出首项和递推公式，就可唯一确定一个数列．
数列的递推公式也是数列的一种表示方法，它与数列的通项公式紧密相连，但作为开始认识数列，本节不宜过分拓展，加大难度，仅限于理解递推公式的定义，并能用数列的首项和递推公式写出数列的后续各项即可．
三维目标
1．通过本节学习，理解数列递推公式的意义，理解递推公式与通项公式的异同．会根据数列的首项和递推公式写出数列的后续各项．
2．通过探究、交流、观察、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，并通过思考与讨论本章章头左图中的说明，体会数学来源于生活．
3．通过对数列递推公式的探究，培养学生动手试验，大胆猜想的优秀品质，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的态度．
重点难点
教学重点：理解用递推公式定义数列的方法；能用递推公式和首项写出数列的后续各项．
教学难点：利用数列的递推公式和首项，猜想该数列的通项公式．
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
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思路1.(章头图引入)让学生观察章头图中左图兔子的繁殖情况．假设每次生出的小兔子都是一雄一雌，并且排除兔子发生死亡的情况，这样每个月兔子的对数，依次可以排成一个数列，你能把这个数列的每一项(第一项除外)用前一项表示出来吗？由此展开新课的探究．
思路2.(直接引入)我们知道数列1,2,3,4，…可用通项公式an＝n表示．容易发现，这个数列从第2项起的任一项都可用它的前一项表示出来，即an＝an－1＋1(n≥2)，这就是数列的另一种表示方法，也就是今天我们探究的主要内容：递推公式．由此展开探究．
推进新课
(1)多媒体演示图1，是工厂生产的钢管堆放示意图，你能写出它的一个通项公式吗？你能找出它的相邻两层之间的关系吗？
(2)数列{an}的通项公式是an＝2n.从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系？章头数列3， …从第2项起，它的任一项与它相邻的前一项有什么关系呢？
(3)怎样理解递推公式？若已知数列an＝2an－1＋1，你能写出这个数列吗？为什么？
活动：教师用多媒体演示工厂生产的钢管堆放示意图．引导学生观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型．由学生合作探究，必要时教师给予点拨．
模型一：自上而下
第1层钢管数为4，即14＝1＋3；
第2层钢管数为5，即25＝2＋3；
第3层钢管数为6，即36＝3＋3；
第4层钢管数为7，即47＝4＋3；
第5层钢管数为8，即58＝5＋3；
第6层钢管数为9，即69＝6＋3；
第7层钢管数为10，即710＝7＋3.
若用an表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且an
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＝n＋3(1≤n≤7)．
模型二：上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1，
即a1＝4；a2＝5＝4＋1＝a1＋1；a3＝6＝5＋1＝a2＋1.
依此类推：an＝an－1＋1(2≤n≤7)．
在教师的引导点拨下，学生最终能得到以上两种数学模型，教师适时给以点评．首先表扬学生的这种探究问题的精神，不怕困难敢于钻研，而且推得两个很重要的结论．对于推得的an＝n＋3，只要将n的具体值代入，我们就会很快地求出某一层的钢管数．因为这一关系反映了每一层的钢管数与其层数之间的对应规律，这会给我们的统计与计算带来很大方便，这是由特殊到一般的数学思想方法的运用，是非常正确和成功的．对于推得an＝an－1＋1(2≤n≤7且n∈N*)的同学就更值得表扬，因为这是我们没有见过的，这就是创新，这就是聪明智慧的闪现．这个关系式说明：只要知道a1，则以后的每一项都等于它的前项加1，这样就可以求出第二项，以此类推即可求出其他项．这就是我们今天要探究的一个重点内容，也就是数列的另一种表示法，递推公式法．我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式．递推公式很重要，显然教材上涉及的内容不多，但在每年的高考卷上都有所体现，应引起注意．下一节要学习的等差数列就是最简单的递推数列．
引导学生给递推公式这样下定义：通过给出数列的第一项(或前若干项)，并给出数列的某一项与它的前一项(或前若干项)的关系式来表示数列，这种表示数列的式子叫做这个数列的递推公式．
注意：递推公式也是给出数列的一种方法．如下列数字排列的一个数列：3,5,8,13,21,34,55,89，递推公式为a1＝3，a2＝5，an＝an－1＋an－2(3≤n≤8)．掌握递推公式的关键一点是把握其中的递推关系，应特别注意探究和发现递推关系中前项和后项，或前、后几项之间的关系．
有了以上探究活动，学生很容易探究出问题(2)(3)，至此，学生对数列的表示方法有了全面的理解，为数列的后续内容的学习打下了坚实的基础．
讨论结果：
(1)略
(2)a1＝2，an＝2an－1(n＝2,3,4，…)；
数列3，a1＝1，an＝cos(an－1)(n＝2,3,4，…)．
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(3)递推公式包括已知的第1项(或前几项)才能写出这个数列的后续各项．前者是递推的基础，后者是递推的延续．因此仅知an＝2an－1＋1无法写出这个数列的各项．
例1已知a1＝2，an＋1＝2an，写出前5项，并猜想an.
活动：根据a1＝2及an＋1＝2an，学生很容易求出前5项，分别是2,4,8,16,32.由观察可猜想an＝2n，这种解法在选择题或填空题中是非常有效的，但若改为求an，这种解法则是不完整的．
由＝2，可得到以下解法：
×××…×＝＝2n－1，
∴an＝2n.
解：∵a1＝2，an＋1＝2an，
∴a2＝2×a1＝4，
a3＝2×a2＝8，
a4＝2×a3＝16，
a5＝2×a4＝32.
∵a2＝2×2＝22，a3＝2×22＝23，a4＝16＝24，
∴猜想an＝2n.
变式训练
已知a1＝2，an＋1＝an－4，求an.
解：由an＋1－an＝－4依次向下写，一直到第一项，然后将它们加起来，
an－an－1＝－4
an－1－an－2＝－4
an－2－an－3＝－4
……
∴an＝2－4(n－1)．
例2(教材本节例1)
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活动：本例由学生自己完成，并通过本例边注中的提问，让学生进一步体会数列两种表示方法的特色，用递推公式写出数列的前几项后，引导学生观察、归纳并猜想该数列的通项公式，虽有一定难度，但学生应有这个能力．教师可引导学生分析，如果不代入a1的值，由依次计算的结果可能更容易看到an与n的函数关系：
a2＝；a3＝，a4＝，a5＝，…，an＝＝.
变式训练
已知数列{an}的递推公式是an＋2＝3an＋1－2an，且a1＝1，a2＝3.
求：(1)a5；
(2)127是这个数列中的第几项？
解：(1)∵a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an，
∴a3＝3a2－2a1＝7，
a4＝3a3－2a2＝15，
a5＝3a4－2a3＝31.
(2)由递推公式，可得a6＝3a5－2a4＝63，a7＝3a6－2a5＝127，
∴127是此数列的第7项．
例3(教材本节例2)
活动：本例为数列这一大节的最后一个教材例题，具有一定的综合性，难度较大．要求学生有较坚实的数形结合基础和解题能力．这种解题的综合能力，要努力去训练，学生才能掌握．具体讲解时，可把P1，P2，P3的坐标都写出来让学生观察发现an与an＋1间的关系．
变式训练
在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an等于( )
A．2＋lnn B．2＋(n－1)lnn
C．2＋nlnn D．1＋n＋lnn
答案：A
解析：方法一，由a2＝a1＋ln2＝2＋ln2，排除C、D；由a3＝a2＋ln(1＋)＝2＋ln3，排除B.故选A.
方法二，由已知，an＋1－an＝ln，a1＝2，
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∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln，
…
a2－a1＝ln，
将以上n－1个式子累加得
an－a1＝ln＋ln＋…＋ln
＝ln(··…·)＝lnn，
∴an＝2＋lnn.
例4如图甲是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图乙所示的一连串直角三角形演化而成，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，记OA1，OA2，OA3，…，OA7，OA8的长度所在的数列为{ln}(n∈N*,1≤n≤8)．
甲
乙
(1)写出数列的前4项；
(2)写出数列{ln}的一个递推关系式；
(3)求{ln}的通项公式；
(4)如果把图中的三角形继续作下去，那么OA9，OA2 007的长度分别是多少？
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活动：本例虽然题干看起来很繁杂，但难度并不大，可让学生独立探究解决，学生充分理解题意后会很快完成第(1)问，关于递推公式，教师可点拨学生递推公式的关键是递推关系，也就是前项和后项的关系，这是递推公式的核心所在．教师可借此进一步向学生点拨：①数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．
②递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式．
解：(1)l1＝OA1＝1，l2＝OA2＝，l3＝OA3＝，l4＝OA4＝2.
(2)通过观察图形，可知：OAn＋1，OAn,1组成直角三角形，而OAn＋1＝ln＋1，OAn＝ln.
∴由勾股定理可得l＝l＋1(n∈N*,1≤n≤8)．
(3)ln＝.
(4)OA9＝l9＝3，OA2 007＝＝3.
点评：递推关系在教材上的要求并不高，仅是明了递推公式是数列的一种表示方法，并能根据给出的数列递推公式写出其中的几项，对繁难复杂的递推公式，如3项或2项以上的递推公式不作要求．
1．若数列{an}前n项的值各异，且an＋8＝an对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{an}的前8项值的数列为( )
A．{a2n＋1} B．{a3n＋1} C．{a4n＋1} D．{a6n＋1}
2．已知an＝an－2＋an－1(n≥3)，a1＝1，a2＝2，bn＝，则数列{bn}的前4项依次是__________．
答案：
1．B 解析：取k＝0,1,2，…，8验证，周期为8.
2．前4项依次是，，，.
1．先由学生自己总结归纳本节课所学到的数学知识，即数列的简单表示法：通项公式、列表法、图象法、简单的递推公式法．探求和发展了数列的各项之间的关系及其规律，并用合适的表示法来表示这种规律．
2．教师强调，通过例题进一步明确了数列的图象是一些离散的点，并通过实际例子探究出数列的递推公式．由于教材内容对此要求不高，因此我们在例题或习题的难度上作了严格的控制，但要熟悉常用的基本方法．
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课本本节习题2—1 A组7、8；习题2—1 B组4，第5题选做．
设计感想
本教案设计遵循生活是源，数学是流的规律，对数学概念的探究都是在日常生活实例的背景下进行的．如递推数列是通过工厂堆放的钢管数呈现的．目的是让学生感受到数学离不开生活，生活离不开数学．
本教案设计思路体现了新课程理念，遵循学生的认知规律，让学生自主学习，经历数学活动，体验数学过程，以活泼、清新、富于理性思维的内容参与教学，拓展空间，激活思维．同时使学生借助递推思想，有效提高学生分析问题、解决问题的能力，培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展．
本教案设计力图展示：教为主导，学为主体，思维训练为主线的教学理念．数学课堂的最后呈现标准不是学生成为解题能手，成为听话的乖绵羊，而是让学生体会到数学的实用价值，一种文化价值．当你醉心于数学课堂时，数学课堂便呈现给你一种美景：那就是活生生的数学，那就是内在神奇而奥妙，外在冷傲而绝美，由大自然抽象出来的自然科学的皇后——数学．
备课资料
一、探究求数列通项公式的方法
求通项公式是学习数列的一个难点，由于求通项公式时需用到多种数学思想方法，因此求解过程中往往方法多，灵活性大，技巧性强，为了学生课余时间进一步探究，现举几例，以供参考．
1．观察法
已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．
【例1】 已知数列，，－，，－，，…，写出此数列的一个通项公式．
解：观察数列前若干项可得通项公式为an＝(－1)n.
2．公式法
已知数列的前n项和求通项时，通常用公式an＝用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达式．
【例2】 已知数列{an}的前n项和Sn满足log2(Sn＋1)＝n＋1，求此数列的通项公式．
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解：由条件可得Sn＝2n＋1－1，
当n＝1时，a1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n.
所以an＝
3．累差迭加法
若数列{an}满足an＋1＝an＋f(n)的递推式，其中f(n)又是等差数列或等比数列，则可用累差迭加法求通项．
【例3】 已知数列6,9,14,21,30，…，求此数列的通项．
解：∵a2－a1＝3，a3－a2＝5，a4－a3＝7，…，an－an－1＝2n－1，
各式相加得an－a1＝3＋5＋7＋…＋(2n－1)，
∴an＝n2＋5(n∈N)．
4．连乘法
若数列{an}能写成an＝an－1f(n)(n≥2)的形式，则可由an＝an－1f(n)，an－1＝an－2f(n－1)，an－2＝an－3f(n－2)，…，a2＝a1f(2)连乘求得通项公式．
【例4】 已知数列{an}满足a1＝1，Sn＝(n∈N)，求{an}的通项公式．
解：∵2Sn＝(n＋1)an(n∈N)，
2Sn－1＝nan－1(n≥2，n∈N)，
两式相减得2an＝(n＋1)an－nan－1，
∴＝(n≥2，n∈N)．
于是有＝，＝，＝，…，＝(n≥2，n∈N)，
以上各式相乘，得an＝na1＝n(n≥2，n∈N)．
又a1＝1，∴an＝n(n∈N)．
5．求解方程法
若数列{an}满足方程f(an)＝0时，可通过解方程的思想方法求得通项公式．
【例5】 已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n，求数列{an}的通项公式．
解：由条件f(log2an)＝2log2an－2－log2an＝－2n，即an－＝－2n.
∴a＋2nan－1＝0.
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又an＞0，∴an＝－n.
6．迭代法
若数列{an}满足an＝f(an－1)，则可通过迭代的方法求得通项公式．
二、备用习题
1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，an＝an－1＋(n≥3)，则a5等于( )
A. B. C．4 D．5
2．已知数列{an}的首项a1＝1，且an＝－an－1(n≥2，且n∈N*)，则a4等于… ( )
A．－1 B. C. D．－
3．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a－na＋an＋1·an＝0(n∈N*)，则它的通项公式an＝__________.
4．设数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋1，则通项an＝__________.
5．已知an＝(n∈N*)，则在数列{an}中的前30项中，最大项和最小项分别是__________．
6．一只猴子爬一个8级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？
参考答案：
1．A 解析：a3＝a2＋＝4，a4＝a3＋＝，a5＝a4＋＝.
2．D 解析：a2＝－a1＝－，a3＝－a2＝，a4＝－a3＝－.
3. 解析：由已知可求得a2＝，a3＝，a4＝，由此可猜想an＝.
4.＋1 解析：由题意得，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋＝＋1.当n＝1时，也符合上式．因此，an＝＋1.
5．a10，a9 解析：an＝＝1＋，
当1≤n≤9时，＜0，an为递减函数；
当n≥10时，＞0，an为递减函数．
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∴最大项为a10，最小项为a9.
6．解：这题是一道应用题，本题难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到．
爬一级梯子的方法只有一种．
爬一个二级梯子的方法有两种，即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种．
若设爬一个n级梯子的不同爬法有an种，
则an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4)，
则得到a1＝1，a2＝2，a3＝4及an＝an－1＋an－2＋an－3(n≥4)，就可以求得a8＝81.
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