3.1.1 两角差的余弦公式
教学目标
(1) 了解两角差的余弦公式的推导，能够借助单位圆，运用向量的方法，推导出公式;
(2) 掌握其公式并能利用它解决简单的求值和证明问题;
(3) 通过对公式的推导，感受知识间的相互联系，培养逻辑思维能力，树立创新和运用意识，提高数学素养.
教学重难点
重点：通过探索得到两角差的余弦公式
难点：探索过程的组织和适当引导
教学过程
一、复习引入
前面我们已经学习了特殊角的三角函数，请回答：
对于上述特殊角，我们可以通过简单的运算得到一系列新的角，比如、
等等，那么如何求出它们的三角函数值呢？
问题：的三角函数值是多少？
A
B
C
D
E
因为，那么能否用的三角函数值表示出呢？
二、新课
我们将问题一般化, 对于任意的角, 都成立?下面我们运用向量的知识来探究.
在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角， 它们的终边与单位圆的交点分别为. 则
由数量积的坐标表示，有
设与的夹角为，则
(**)
注意：
(1)
(2)
下面关键就是找到和之间的关系。
由图(1)知，；由图(2)知，，所以
所以，由(**)得，
所以，对于任意的角,
此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作。
公式的结构特征：(1) 任意角；(2)同名积；(3)符号反。
三、典型例题
【例1】利用差角余弦公式求的值。
说明：记住下面的值。
练习：计算或化简
(1)
(2)
(3)
【例2】已知，，是第三象限角，求的值。
变式：(1) 已知都是锐角，，，求的值。
(2)，其中，求。
题后小结：
1、要注意角的变换，把“待求角”或“未知角”转化为“已知角”。常见的变换有：
(1) (2)
(3) (4)
2、注意角的范围对取值的影响。
【例3】已知中，，，求.
【例4】已知，，求的值。
变式：已知，求的取值范围。
【例5】若，，求的值。
探究：求的最值。
变式：的最值是多少？
更一般地：的最值怎么求？
四、小结：
1.两角差的余弦公式的推导, 注意向量法的应用
2.公式及其特点、应用。
五、板书
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