课题： 双曲线的简单几何性质
课时：08
课型：新授课
1.知识与技能目标
(1).通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；
(2).掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；
(3).通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．
2.过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．
3.情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新
新课讲授过程
（1）复习：双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．
提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（2）双曲线的简单几何性质
①范围：由双曲线的标准方程得，，进一步得：，或．这说明双曲线在不等式，或所表示的区域；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
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③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
④渐近线：直线叫做双曲线的渐近线；
⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率（）．
（3）例题讲解与引申、扩展
例3 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在轴上的渐近线是．
扩展：求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率．
解法剖析：双曲线的渐近线方程为．①焦点在轴上时，设所求的双曲线为，∵点在双曲线上，∴，无解；②焦点在轴上时，设所求的双曲线为，∵点在双曲线上，∴，因此，所求双曲线的标准方程为，离心率．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为．
例4
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双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到）．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为，算出的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示，在处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路或送到呈矩形的足球场中去铺垫，已知，，，．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．
解题剖析：设为“等距离”线上任意一点，则，即（定值），∴“等距离”线是以、为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为．理由略．
例5 如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程．
分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程．
引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线
若点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数，则点的轨迹方程是双曲线．其中定点是焦点，定直线：相应于的准线；另一焦点，相应于的准线：．
课堂练习：P55 -第1、2、3
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课后作业：第61页练习4、5；第61页 习题2.3
课后反思：双曲线是开放曲线，所以应重点抓住几何性质
2015高考题小试：
1.（15北京理科）已知双曲线的一条渐近线为，则 ．
2. 【2015高考北京，文12】已知是双曲线（）的一个焦点，则 ．
3. （15年安徽文科）下列双曲线中，渐近线方程为的是( )
（A） （B）
（C） （D）
答案提示：
1．【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，，,则
2. 【答案】
【解析】由题意知，，所以.
3. 【答案】A
【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.
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