方差和标准差教案

教学目标（含重点、难点）及 　　设置依据 1、知识目标：了解方差、标准差的概念. 　　2、能力目标：会求一组数据的方差、标准差，并会用他们表示数据的离散程度． 　　能用样本的方差来估计总体的方差。 　　3、情感目标：通过实际情景，提出问题，并寻求解决问题的方法，培养学生应用数学的意识和能力． 　　教学重点：本节教学的重点是方差的概念和计算。. 　　教学难点：方差如何表示数据的离散程度，学生不容易理解，是本节教学的难点. 　　教学准备 　　教  学  过  程 　　内容与环节预设 个人二度备课 　　一、创设情景，提出问题 　　甲、乙两名射击手的测试成绩统计如下表： 　　第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 　　甲命中环数 7 8 8 8 9 　　乙命中环数 10 6 10 6 8 　　①请分别 算出甲、乙两名射击手的平均成绩； 　　②请根据这两名射击手的成绩在图中画出折线图； 　　③ 现要挑选一名射击手参加比赛，若你是教练，你认为挑选哪一位比较适宜？为什么？（各小组讨论） 　　二、合作交流，感知问题 　　请根据统计图，思考问题： 　　①、甲、乙两名射击手他们每次射击成绩与他们的平均成绩比较， 哪一个偏离程度较低？（甲射击成绩与平均成绩的偏差的和：(7－8)＋(8－8)＋(8－8)＋(8－8)＋(9－8) ＝0；乙射击成绩与平均成绩的偏差的和：(10－8)＋(6－8)＋(10－8)＋(6－8)＋(8－8) ＝0） 　　②、射击成绩偏离平均数的程度与数据的离散程度与折线的波动情况有怎样的联系？（甲射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(7－8)2＋(8－8) 2＋(8－8) 2＋(8－8) 2＋(9－8) 2＝ 2；乙射击成绩与平均成绩的偏差的平方和：(10－8) 2＋(6－8) 2＋(10－8) 2＋(6－8) 2＋(8－8) 2 ＝16） 　　上述各偏差的平方和的大小还与什么有关？——与射击次数有关！ 　　③、用怎样的特征数来表示数据的偏离程度？可否用各个数据与平均的差的累计数来表示数据的偏离程度？ 　　④、是否可用各个数据与平均数的差的平方和来表示数据的偏离程度？ 　　⑤、数据的偏离程度还与什么有关？要比较两组样本容量不相同的数据的偏离平均数的程度，应如何比较？ 　　三、概括总结，得出概念 　　根据以上问题情景，在学生讨论，教师补充的基础上得出方差的概念、计算方法、及用方差来判断数据的稳定性。 　　用各偏差平方的平均数来衡量数据的稳定性 　　设一组数据x1、x2、…、xn中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1－x)2、(x2－x) 2、… (xn－x) 2，那么我们称它们的平均数，即 　　S2＝   1 [(x1－x) 2＋ (x2－x) 2 ＋…＋ (xn－x) 2 ]    为这组数据的方差。 　　方差用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小） 　　方差的单位和数据的单位不统一，引出标准差的概念。 　　（注意：在比较两组数据特征时，应取相同的样本容量，计算过程可借助计数器。） 　　现可以请学生回答以上③的问题（这个问题没有标准答案，要根据比赛的具体情况来分析，作出结论） 　　四、应用概念，巩固新知 　　1、例:   为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别从中抽出10 　　株苗，测得苗高如下(单位:cm): 　　甲: 12    13    14    15    10    16   13   11   15   11 　　乙: 11    16    17    14    13    19    6     8    10    16 　　问哪种小麦长得比较整齐? 　　思考：求数据方差的一般步骤是什么？ 　　（1）求数据的平均数； 　　（2）利用方差公式求方差。（在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。） 　　师生共同完成。 　　2、数据的单位与方差的单位一致吗？ 　　为了使单位一致，可用方差的算术平方根： 　　S=  √  1 [(x1－x) 2＋ (x2－x) 2 ＋…＋ (xn－x) 2 ]    来表示，并把它叫做标准差。 　　五、巩固练习，反馈信息 　　1、（1） 已知某样本的方差是4，则这个样本的标准差是         。 　　（2） 已知一个样本1，3，2，X，5，其平均数是3，则这个样本的标准差是       。 　　（3）甲、乙两名战士在射击训练中，打靶的次数相同，且打中环数的平均数 　　X甲=X乙，如果甲的射击成绩比较稳定，那么方差的大小关系是S2甲     S2乙。 　　（4）已知一个样本的方差是S= [（X1—4）2+（X2—4）2+…+（X5—4）2]，则这个样本的平均数是      ，样本的容量是            。 　　2、完成课本“课内练习”第１题和第２题；课本“作业题”第３题。 　　3、八年级（５）班要从黎明和张军两位侯选人中选出一人去参加学科竞赛，他们在平时的５次测试中成绩如下（单位：分） 　　黎明：　652    653    654    652    654 　　张军：  667    662    653    640    643 　　如果你是班主任，在收集了上述数据后，你将利用哪些统计的知识来决定这一个名额？（解题步骤：先求平均数，再求方差，然后判断得出结论） 　　4、甲、乙两人在相同条件下各射10 次， 　　每次射靶的成绩情况如图所示． 　　( 1 ）请填写下表： 　　( 2 )请你就下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析： 　　从平均数和方差相结合看，谁的成绩较好？ 　　从平均数和命中 9 环以上的次数相结合看，谁的成绩较好？ 　　从折线图上两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？ 　　六、通过探究，找出规律 　　1、已知两组数据1，2，3，4，5和101，102，103，104，105。 　　求这两组数据的平均数、方差和标准差。 　　将这两组数据画成折线图，并用一条平行于横轴的直线来表示这两组数据的平均数，观察你画的两个图形，你发现了哪些有趣的结论？ 　　2、若两组数据为1，2，3，4，5和3，6，9，12，15。你要能发现哪些有趣的结论？ 3、用你发现的结论来解决以下的问题： 　　已知数据X1，X２，X３，…Xn的平均数为a，方差为b，标准差为c。则 　　（1）数据X1＋３，X２＋３，X３＋３…，Xn＋３的平均数为     ,方差为     ，标准差为         。 　　（2）数据X1—３，X２—３，X３—３…Xn—３的平均数为     ，方差为     ，标准差为         。 　　(3)数据４X1，４X２，４X３，…４Xn的平均数为           ，方差为     ，标准差为         。 　　(4)数据２X1—３，２X２—３，２X３—３，…２Xn—３的平均数为      ，方差为     ，标准差为         。 　　七、小结回顾，反思提高 　　1、这节课我们学习了方差、标准差的概念，方差的实质是各数据与平均数的差的平方的平均数。方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。 　　2、标准差是方差的一个派生概念，它的优点是单位和样本的数据单位保持一致，给计算和研究带来方便。 　　3、利用方差比较数据波动大小的方法和步骤：先求平均数，再求方差，然后判断得出结论。 　　4、数据a1，a2，a3，…，an的平均数为X，方差为Y，标准差为Z。则 　　①数据a1+b，a2 + b，a3 +b ，…，an +b的平均数为X+b，方差为Y，标准差为Z。 　　② 数据ma1，ma2 ，ma3 ，…，man的平均数为mX，方差为m2X，标准差为mZ。 　　③数据ma1+b，ma2 +b，ma3 +b，…，man +b的平均数为mX+b，方差为m2Y，标准差为mZ。 　　板书设计 方差和标准差的概念          例题解答过程 　　小结 　　作业布置或设计 课本作业题1，2，4，5和作业本上的作业。 　　教后整体反思