第二十七章 相 似
1.通过具体实例认识图形的相似.
2.了解相似多边形和相似比的含义,探索相似多边形的性质.
3.了解三角形相似的概念,探索相似三角形的性质.
4.掌握平行线分线段成比例定理.
5.理解并掌握相似三角形的判定定理,并能应用判定定理解决问题.
6.探索相似三角形的性质定理,能应用相似三角形的性质进行有关计算.
7.了解图形的位似,能够利用图形的位似将一个图形放大或缩小.
8.了解在同一坐标系中位似变换后图形的坐标变化.将一个多边形的顶点坐标扩大或缩小相同倍数时对应的图形与原图形是位似的.
9.会利用图形的相似解决一些简单实际问题.
1.结合相似图形性质和判定方法的探索与证明,进一步培养学生的合情推理能力,发展学生逻辑思维能力和推理论证的表达能力.
2.经历两个三角形相似的探索过程,体验分析归纳得出数学结论的过程,进一步发展学生的探究、交流能力.
培养学生用联系和转化的观点看待周围的事物,增强探索问题的信心和热情.
前面学习了图形的全等和全等三角形的有关知识,也研究了几何图形的全等变换,“全等”和“相似”都是图形之间的一种变换,全等图形是相似比为1的相似图形,所以本章相似形的学习,以全等形和全等变换为基础,是全等三角形在边上的推广,比全等形更具有一般性,是前面学习图形全等的拓展和发展.
本章内容是对三角形知识的进一步认识,是通过许多生活中的具体实例来研究相似图形的.在全等三角形的基础上,总结出相似三角形的判定方法和性质,使学过的知识得到巩固和提高.在学习过程中,按照研究对象的“一般→特殊→特殊位置关系”的顺序展开研究.首先,教科书从现实世界中形状相同的物体谈起,然后把研究对象确定为形状相同的图形——相似图形,举例说明了放大、缩小两种操作与相似图形之间的关系.接着教科书把研究对象缩小为特殊的相似图形——相似多边形,由相似多边形的定义推出了相似多边形的性质.对于相似多边形的判定,教科书以三角形为载体进行研究,此外,还研究了相似三角形的其他性质和应用.最后,教科书研究了一种具有特殊位置关系的相似图形——位似图形.本章的知识不仅将在后面学习“锐角三角函数”和“投影与视图”时得到应用,而且对于建筑设计、测量、绘图等实际工作也具有重要价值.
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在本章中,相似三角形的判定和性质是本章的重点内容,相似三角形判定定理的证明是本章的难点内容.此外,综合应用相似三角形的判定和性质,以及学生前面学过的平行线、全等三角形、平行四边形等知识解决问题(包括实际问题)也是本章的一个难点.为了降低学生在推理论证方面的难度,本章加强了证明思路的引导,或者用分析法分析出由条件到结论必需的转化,或者提示了证明的关键环节;为了降低学生在解决实际问题中的难度,本章专门设置了相似三角形应用举例,从不同角度为解决实际问题作出示范.
【重点】
1.相似三角形的判定与性质及应用判定和性质解决问题.
2.位似图形的性质及画法.
【难点】
1.相似三角形的判定定理的证明.
2.位似变换的坐标表示.
1.初中数学从《全等三角形》开始,已经进入了推理证明阶段,本章的学习在已有的基础上继续进行必要的推理证明,本章的证明所涉及的问题不仅包含相似的知识,也有很多是和三角形、全等、平行、勾股定理、平面直角坐标系等知识融合在一起的,例如相似三角形判定定理的证明中利用了全等三角形作为“桥梁”,性质的证明借助了代数运算,因此推理论证的难度提高了.教学时应注意帮助学生复习已有的知识,做到以新带旧、新旧结合;也要注意以具体问题为载体,加强证明思路的引导,帮助学生确定证明的关键环节,指导学生写出完整的证明过程.同时注意根据教学内容及时安排相应的训练,让学生能够逐步达到独立分析、完成证明.
2.学生通过前面对三角形、四边形、圆等几何图形的学习,对于研究几何图形的基本问题、思路和方法已经形成了一定的认识.本章教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的经验,用研究几何图形的基本套路贯穿全章的教学.例如,在教授本章之前,可以让学生类比对全等三角形研究的主要内容,提出对形状相同、大小不同的三角形应研究的主要问题和方法,构建本章内容的基本线索,使他们对将学习的内容做到心中有数.因此本章在教学相似三角形的性质之前,可以先让学生自己发现性质,再给出证明.
3.相似是生活中常见的现象,日常生活中存在着相似的例子,相似图形的性质在实际生活中有着广泛的应用,能直接应用相似三角形的判定和性质的实例很多,教材中融入了许多实际背景问题,所以在教学中要注重数学与实际生活的联系,每个课时都让学生体会数学来源于生活,又应用到生活中去.
27.1 图形的相似
2课时
27.2 相似三角形
27.2.1相似三角形的判定(3课时)
27.2.2相似三角形的性质(1课时)
27.2.3相似三角形应用举例(2课时)
6课时
27.3位似
2课时
单元概括整合
1课时
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27.1 图形的相似
1.在具体生活实例中认识相似图形,理解和掌握两个图形相似的概念.
2.理解相似图形的特征,掌握相似图形的识别方法.
3.了解成比例线段的含义,会判断是不是成比例线段.
4.理解相似多边形的概念、性质及判定,并能计算和相似多边形有关的角度和线段的长.
1.通过观察实际生活中的图形,辨析相似图形,让学生体会数学与实际生活密切联系,激发学生学习的兴趣.
2.通过观察、测量、辨析、归纳等数学活动,经历相似多边形的概念的形成过程,体会由特殊到一般的数学思想方法.
3.通过应用成比例线段定义及相似多边形的性质进行有关计算,体会方程思想在几何中的应用,渗透数形结合思想.
1.通过观察识别相似图形,渗透生活和数学中美的教育.
2.经历相似多边形概念的形成过程,培养学生的观察、推理能力,激发学生探究、发现数学问题的兴趣.
3.在探索相似多边形的性质过程中,培养学生与他人交流、合作的意识和品质.
4.在观察、操作、推理的探究过程中,体验数学活动充满探索性和创造性.
【重点】
1.理解并掌握相似图形、相似多边形的概念及特征.
2.能利用成比例线段的概念及相似多边形的性质进行有关计算.
【难点】
1.理解相似图形的特征,掌握识别相似图形的方法.
2.探索相似多边形的性质中的“对应”关系.
第课时
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1.通过具体实例认识相似图形,理解和掌握两个图形相似的概念.
2.理解相似图形的性质定理,掌握相似图形的判定定理.
1.通过观察实际生活中的图形,辨析相似图形,让学生体会数学与实际生活密切联系,激发学生学习兴趣.
2.通过观察、测量、辨析、归纳等数学活动,经历相似图形的概念的形成过程,培养学生观察能力及归纳总结能力.
1.通过观察识别相似图形,渗透生活和数学中美的教育.
2.通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识.
3.通过识别生活中的相似图形,激发学生探究、发现数学问题的兴趣.
【重点】
理解并掌握相似图形的概念及特征.
【难点】
理解相似图形的特征,掌握识别相似图形的方法.
【教师准备】 多媒体课件1~2.
【学生准备】 预习教材P24~25.
导入一:
欣赏图片.
【课件1展示】
(1)汽车和它的模型
(2)大小不同的两个足球
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(3)大小不同的两张照片
【引导语】 上面各组图片的共同之处是什么?这些图形涉及的就是我们这章要学习的相似形问题.
导入二:
请同学们看黑板正上方的五星红旗,五星红旗上的大五角星与小五角星它们的形状、大小有什么关系?
导入三:
【复习提问】
1.什么是全等形?全等形的形状和大小有什么关系?
(能够完全重合的图形是全等形,全等形的形状相同、大小相等)
2.判断下列图形是不是全等形?如何判断?
(下列两幅图片均是全等形.判断依据:形状相同、大小相等)
[设计意图] 通过欣赏生活中的图片,让学生体会数学来源于生活,激发学生学习的兴趣,感受数学中的美.在欣赏国旗上的五角星时,对学生进行爱国主义思想教育.同时通过复习全等形的概念及全等形的判定,为本节课相似形的学习做铺垫.
[过渡语] 在上面的全等形的图片中放大或缩小其中一张图片,得到的图片与另一张图片的形状和大小有什么关系?通过今天的学习,我们将认识这一类图形.
一、认识相似图形
思路一
【思考1】 以上展示的图片之间有什么特点?它们的形状和大小有怎样的关系?
【师生活动】 学生观察思考,教师引导点拨它们形状相同、大小不等.共同归纳本节课学习重点——相似形的概念.
【结论】 形状相同的图形叫做相似图形.
【思考2】 全等形一定是相似图形吗?相似图形一定全等吗?它们之间有什么关系?
【师生活动】 学生通过观察导入中图片,独立思考后小组交流,教师对学生回答进行点评,归纳全等形与相似形之间的关系.
【结论】 全等图形是相似图形的一种特殊情况.全等图形一定相似,相似图形不一定全等.
【思考3】 你能举出现实生活中一些相似图形的例子吗?
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【师生活动】 学生积极回答,通过生活中相似图形的实例巩固相似图形的概念,教师对思维活跃、积极参与的学生给予鼓励.
思路二
教师引导学生思考回答下列问题.
(1)全等形的形状和大小之间有什么关系?
(全等形的形状相同、大小相等)
(2)观察上述图片,它们的形状和大小之间有什么关系?
(形状相同、大小不等)
(3)你能给出相似图形的定义吗?
(形状相同的图形叫做相似形)
(4)全等图形一定相似吗?相似图形一定全等吗?
(全等图形一定相似,相似图形不一定全等)
(5)归纳全等图形和相似图形之间的关系.
(全等图形是相似图形的特例)
(6)你能举出现实生活中一些相似图形的例子吗?
【师生活动】 学生在教师设置的问题下积极思考回答,教师及时点拨和引导,最后课件展示探究结论.
【结论】 形状相同的图形叫做相似图形.
全等图形是相似图形的一种特殊情况.
[设计意图] 让学生亲自观察实际生活中的图形,在教师问题的引导下,进行分析、探究,根据图形特点归纳出相似形的概念,培养学生的观察能力,激发学生的求知欲望,经历相似形概念的形成过程,体会数学与生活息息相关.
二、相似图形的特征
【课件2展示】
观察下列每组图形,是不是相似图形?
【思考】
(1)两个相似的平面图形之间有什么关系?
(2)两个相似图形的主要特征是什么?
(3)如何判定两个图形是相似图形?
(4)相似图形的大小是不是一定相等?
(5)相似图形是否可以看作其中一个图形是由另一个图形放大或缩小得到的?
【师生活动】 学生观察独立思考,小组合作交流,展示小组成果,教师点评,共同归纳相似图形的特征.
【结论】 相似图形的特征是:形状相同.两个图形的形状相同,则两个图形就是相似图形.相似图形的大小不一定相等,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.
[设计意图] 让学生通过观察思考、合作交流,共同归纳出相似形的特征,培养学生的观察能力、归纳总结能力及合作交流的能力,激发学生学习的兴趣,加深学生对相似图形的概念的理解和掌握.
三、例题讲解
[过渡语] 我们了解了相似形的概念和基本特征,让我们一起利用所学知识判断下列图形是不是相似图形.
如图所示的是一个女孩从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象,这些镜中的形象相似吗?
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【思考】
(1)在平面镜中的像与物体的形状 ,大小 ,则从平面镜里看到的自己的形象与女孩 相似图形(填“是”或“不是”).
(2)哈哈镜里看到的形象,有的被“压扁”了,有的被“拉长”了,所以哈哈镜中的像与物体的形状 ,大小 ,则从哈哈镜里看到的自己的形象与女孩 相似图形(填“是”或“不是”).
〔解析〕 女孩从平面镜中看到的自己的形象是相似的;女孩从哈哈镜里看到的自己的形象不是相似的.
〔答案〕 (1)相同 相等 是 (2)不同 不相等 不是
【师生活动】 学生独立思考回答,教师点评.
观察下列图形,哪些是相似图形?
第一组:
第二组:
【师生活动】 教师引导、点拨、分析.要找出图中的相似图形,只要仔细观察每个图形特征,通过图形变化后是否具备“形状相同”这一特征.学生观察后回答即可.
解:第一组图,图1,2,5是相似图形.
第二组相似图形分别是:(1)和(8);(2)和(6);(3)和(7).
[设计意图] 通过经历对例题的探究过程,加深学生对相似形的基本特征的理解,达到巩固知识的目的,培养学生分析问题、解决问题的能力.
[知识拓展] 所谓“形状相同”,就是与图形的大小、位置无关,与摆放角度、摆放方向也无关.有些图形之间虽然只有很小的形状差异,但也不能认为是“形状相同”.
1.相似图形定义:形状相同的图形叫做相似图形.
2.相似图形与全等形之间的关系.
3.相似图形的特征:形状相同.
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1.下列四个命题:①所有的直角三角形都相似;②所有的等腰三角形都相似;③所有的正方形都相似;④所有的菱形都相似.其中正确的有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.1个
解析:所有的正方形的形状相同,所以③正确;直角三角形、等腰三角形、菱形的形状和内角有关,角度不同,图形的形状就不同,所以所有的直角三角形、所有的等腰三角形、所有的菱形不一定相似.故选D.
2.下列图形是相似图形的是 ( )
A.①②③ B.②③④
C.①③④ D.①②④
解析:观察图形可得①②③ 中图形的形状相同.故选A.
3.下列图形不是相似图形的是 ( )
A.同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片
B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案
C.某人的侧身照片和正面照片
D.大小不同的两张中国地图
解析:某人的侧面照片和正面照片形状不相同,不是相似图形.故选C.
4.如图所示,用放大镜将图形放大,应该属于 ( )
A.相似变换
B.平移变换
C.对称变换
D.旋转变换
解析:相似图形的形状相同,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.所以用放大镜放大图形属于相似变换.故选A.
第1课时
1.认识相似图形
2.相似图形的特征
3.例题讲解
例1
例2
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一、教材作业
【必做题】
教材第25页练习第1,2题.
【选做题】
教材第27页习题27.1第4题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列图形中,相似的一组图形是 ( )
2.下列属性中,是相似图形的本质属性的是 ( )
A.大小不同 B.大小相同
C.形状相同 D.形状不同
3.下列图形中,不是相似图形的有 ( )
A.0组 B.1组 C.2组 D.3组
4.下列四组图形中,一定相似的是 ( )
A.正方形和矩形 B.正方形和菱形
C.菱形与菱形 D.正五边形与正五边形
5.如图所示的是小华拍摄的足球的照片,下列说法不正确的是 ( )
A.足球上所有“黑片”形状相同
B.足球上所有“白片”形状相同
C.足球上“黑片”“白片”形状相同
D.足球上“黑片”“白片”形状不相同
6.放大镜下的图形和原来的图形 相似图形. 哈哈镜中的图形和原来的图形 相似图形(填“是”或“不是”).
7.下列各组图形:①两个平行四边形;②两个圆;③两个矩形;④有一个内角是80°的两个等腰三角形;⑤两个正六边形;⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形.其中一定是相似图形的是 .
8.如图所示,各组图形中相似的是 .(只填序号)
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9.在实际生活和数学学习中,我们常会看到许多形状相同的图形,下图中,形状相同的图形有哪几组?
10.如何将图中的图形ABCDE放大,使新图形的各顶点仍在格点上?
【能力提升】
11.用一个10倍的放大镜看一个15°的角,看到的角的度数是 .
12.在实际生活和数学学习中,我们常会看到许多形状相同的图形,在下图中,形状相同的图形有哪些?
【拓展探究】
13.用相似图形设计美丽的图案.生活中有许多形状相同的图形,我们可以用相似图形设计出各种各样的美丽图案.例如:已知如图(1)所示的是由相似的直角三角形拼成的一个商标图案,请你参照此图案用相似图形设计出几个你喜欢的图案,并联系实际为你的设计取一个合适的名字. (下面举两例供参考,如图(2)所示)
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【答案与解析】
1.D(解析:观察各图形,只有D中两个图形形状相同,大小不相等.故选D.)
2.C(解析:相似图形的形状相同,但大小不一定相同,所以形状相同是相似图形的本质属性.故选C.)
3.B(解析:(1)中形状相同,但大小不同,符合相似形的定义;(2)中形状相同,但大小不同,符合相似形的定义;(3)中形状不相同,不符合相似形的定义;(4)中形状相同,符合相似形的定义.故不是相似图形的有1组.故选B.)
4.D(解析:正方形和矩形的形状不一定相同,所以不一定相似;正方形和菱形的对应角不一定相等,所以不一定相似;菱形与菱形对应角不一定相等,所以不一定相似;正五边形与正五边形的形状相同,所以两个图形相似.故选D.)
5.C(解析:“黑片”是正五边形,“白片”是正六边形,两个图形的形状不相同.故选C.)
6.是 不是(解析:放大镜下的图形与原来的图形形状相同,大小不相等,所以是相似图形;哈哈镜中的图形与原来的图形形状不同,大小也不相等,所以不相似.)
7.②⑤⑥(解析:两个平行四边形的角不一定相等,所以不一定相似;两个矩形的边不确定,所以不一定相似;80°的内角可能是顶角也可能是底角,所以形状不一定相同;两个圆、两个正六边形、一个内角是100°的两个等腰三角形的形状相同,所以图形相似.故填②⑤⑥.)
8.②③(解析:观察图形可得:②③的形状相同,大小不相等.故填②③.)
9.解:(1)中的左边图形是圆,右边图形是椭圆,形状不同;(2)中的左边是正六边形,右边不是正六边形,形状不同;(3)中的两个图形形状相同;(4)中的左边是长方形,右边的是正方形,形状不同;(5)中的两个图形形状相同;(6)中的左边是圆形脸,右边是椭圆形脸,形状不同,故(3),(5)组中的图形形状相同,(1),(2),(4),(6)组中的图形形状不同.
10.如图所示.
11.15°(解析:用放大镜看后的图形与原图形形状相同,大小不相等,角放大后度数不变.故填15°.)
12.解:(1)和(3),(2)和(13),(4)和(11),(5)和(10),(6)(7)(8)和(9).
13.解:答案不唯一,如图所示.
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本节课通过对生活中形状相同的图形的观察和欣赏导入新课,让学生体会数学来源于生活,激发学生学习的兴趣,同时感受数学和生活中的美,再让学生观察、思考、分析、探究,然后归纳结论,得出相似图形的特征,相似图形只与形状有关,与图形大小、位置无关,培养了学生观察事物的能力,提高了学生分析问题与归纳的能力,例题的探究让学生体会把实际问题转化为数学问题,获得成功的体验,在探究知识的形成过程中,学生积极参与,思维活跃,尤其在举生活中相似图形的实例时,学生发言积极,课堂气氛活跃,让课堂教学达到高潮.
本节课比较简单,通过观察图形,形状相同的图形是相似图形,所以学生学习起来比较简单,所以学生在课堂上非常活跃,发言积极,虽然有些学生发言不够准确,但可以看出大家情绪高涨、积极思考的状态.但是在简单课时的教学中,忽略了学生能力的培养和知识的拓展,如在探究图形相似的特征后,可以让学生在网格图中画相似图形,培养学生动手操作能力.
本节课的重点是通过欣赏图形,观察图形的特征,归纳总结相似图形的概念和特征,并能总结全等图形与相似图形之间的关系,由于课时内容较少,学生易于掌握,在教学时用多媒体多展示一些相似图形的图片,可以用一些图形不同的角度和方向的图片,培养学生的观察能力,同时在课堂上注重培养学生自主学习的能力,教师起到引导作用即可,让学生多参与、思考、归纳,通过小组合作交流,达到掌握知识的目的.
练习(教材第25页)
1.解:相似.
2.解:(d)与(1)相似,(e)与(2)相似.
(1)相似图形是现实生活中广泛存在的现象,本章是在研究了图形的全等及图形的一些变换后,进一步研究的一种变换——相似,本课时重点掌握相似图形的概念,可用大量的实例引入,让学生体会数学与实际生活之间的联系,通过学生观察、思考,得出相似图形的概念,但要注意教材中“形状相同的图形是相似图形”,只是对相似图形概念的一个描述,不是定义,还要强调:相似图形一定形状相同,与它的位置、颜色、大小无关;相似图形不仅仅指平面图形,也包括立体图形;两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.在教学中,要通过大量实例让学生观察、思考、归纳、辨析,从而理解和掌握相似图形的概念.
(2)本节课内容比较简单,易理解掌握,所以在教学设计中注重培养学生的自主探究、合作交流能力,教师要大胆放手,学生通过自主学习,探索知识的形成过程,从而真正成为课堂的主人,享受成功的快乐.同时在课堂上注重培养学生的能力,如通过辨析图形是否为相似图形,探索相似图形的特征时,注重培养学生观察、分析问题、解决问题的能力.
如图所示,下面右边的四个图形中,与左边的图形相似的是 ( )
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〔解析〕 因为图A是把图拉长了,而图D是把图压扁了,因此它们与左图都不相似;图B是正六边形,与左图的正五边形的边数不同,故图B与左图也不相似;而图C是将左图绕正五边形的中心旋转180°后,再按一定比例缩小得到的,因此图C与左图相似.故选C.
如图所示,下列四组图形中,两个图形相似的有
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
〔解析〕 观察图形可得,四组图形的形状都分别相同,只是大小不同,所以四组图形都是相似图形.故选D.
第课时
1.了解成比例线段的概念,会判断已知线段是否成比例.
2.理解相似多边形的概念、性质及判定.
3.能根据相似多边形的有关概念和性质进行判断及有关计算.
1.通过观察、测量、辨析、归纳等数学活动,经历相似多边形的概念的形成过程,体会由特殊到一般的数学思想方法.
2.通过应用成比例线段定义及相似多边形的性质进行有关计算,体会方程思想在几何中的应用,渗透数形结合思想.
1.经历相似多边形概念的形成过程,培养学生的观察、推理能力,激发学生探究及发现数学问题的兴趣.
2.在探索相似多边形性质的过程中,培养学生与他人交流、合作的意识和品质.在观察、操作、推理的探究过程中,体验数学活动充满探索性和创造性.
【重点】
1.理解并掌握相似多边形的概念及性质.
2.能利用成比例线段的概念及相似多边形的性质进行有关计算.
【难点】
探索相似多边形的性质中的“对应”关系.
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【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 形状相同的两个三角尺及边长不等的两个正方形.
导入一:
如图所示的一块黑板,长3米,宽1.5米,加一7.5厘米宽的边框,边框外围与边框里边的矩形形状相同吗?
【导入语】 我们凭借“直观”感觉这两个矩形的形状相同,实际上这两个矩形的形状是不相同的,通过今天的学习,我们将知道这两个矩形的形状为什么不相同.
导入二:
如图所示,将△ABC用2倍放大镜观察得到△A1B1C1,这两个三角形相似吗?
这两个三角形中的对应角、对应边之间有什么关系?
导入三:
如图所示,将四边形ABCD用2倍放大镜观察得到四边形A1B1C1D1,这两个四边形相似吗?这两个四边形中的对应角、对应边之间有什么关系?
[设计意图] 通过黑板四周加宽得到的矩形与原矩形是否相似导入新课,激发学生学习的求知欲,为本节课学习相似多边形做好铺垫.以学生熟悉的放大镜观察三角形和四边形导入新课,学生易于理解和掌握,降低学习相似多边形概念的难度.
[过渡语] 思考导入中的问题,我们将得到相似多边形的概念.
一、成比例线段概念
(1)把九年级数学课本的两个邻边看作两条线段AB和CD,那么什么是这两条线段的比?
(这两条线段的长度比叫做这两条线段的比)
(2)对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段成比例.
(3)如何判断四条线段是成比例线段?
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(四条线段中其中两条线段的比与另两条线段的比相等,就说这四条线段成比例)
(4)成比例线段的概念中应注意什么问题?
(成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是成比例线段得到的比例式是不同的)
【师生活动】 学生在教师的引导下思考回答,教师课件展示成比例线段的概念.
[设计意图] 学生在教师提出的问题的引导下,层层深入地形成成比例线段的概念,学生经历概念的形成过程,加深对概念的理解,为相似多边形的概念的形成做了铺垫.
二、认识相似多边形
思路一
(1)问题思考.
①在导入二的△ABC及用2倍放大镜观察得到的△A1B1C1中,对应角之间的数量关系为:∠A ∠A1,∠B ∠B1,∠C ∠C1;
对应边之间的数量关系为:= ,= ,= ,即 = = .
②在导入三的四边形ABCD及用2倍放大镜观察得到的四边形A1B1C1D1中,对应角之间的数量关系为:∠A ∠A1,∠B ∠B1,∠C ∠C1,∠D ∠D1;
对应边之间的数量关系为:= ,= ,= ,= ,即 = = = .
③放大镜下的图形与原图形是否相似?两个图形的对应角、对应边之间有什么关系?
(相似,对应角相等,对应边成比例)
④你能尝试给出相似多边形的定义吗?并尝试用几何语言表示出来.
⑤相似比的值与两个相似多边形的顺序有关吗?
⑥相似多边形的对应角、对应边有什么特点?用几何语言怎样表示?
【师生活动】 (1)学生独立思考后小组合作交流,共同探究相似多边形的概念,教师要给学生足够的时间让学生交流,在巡视过程中帮助学习有困难的学生,并对学生的展示作出点评,同时规范学生的语言表达.
(2)相似多边形定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
【几何语言】 如图所示的两个大小不同的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;===,因此四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.
(3)相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.
如上图,∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,∴ ∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;===.
思路二
(1)动手操作并思考.
①测量课前准备的两个相似三角形的各角(两个形状相同的三角尺),你得到什么结论?
(对应角相等)
②测量课前准备的两个相似三角形的各边,你发现了什么?
(对应边成比例)
③课前准备的两个正方形的各角相等吗?
(相等,都等于90°)
④课前准备的两个正方形的各边是否成比例?为什么?
(成比例,因为两个正方形边长分别相等,对应边的比都等于两个正方形的边长比.)
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⑤你能根据以上探究活动得出相似多边形的概念吗?
⑥怎样用几何语言表示相似多边形的概念呢?
⑦相似比与两个相似多边形的顺序有关吗?
⑧相似多边形的对应角、对应边有什么特点?用几何语言怎样表示?
【师生活动】 学生在教师的引导下,边动手操作边思考回答问题,师生共同归纳出相似多边形的概念.
(2)相似多边形定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
【几何语言】 如图所示的两个大小不同的四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;===,因此四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.
(3)相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.
如上图,∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,∴ ∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;===.
[设计意图] 通过观察——测量——辨析——归纳等数学活动,探究相似多边形的定义及性质,让学生体会由特殊到一般的数学思想方法.在探究过程中,教师通过设置层层深入的小问题,引导学生完成探究活动,降低了学生学习新知识的难度,体验了知识的形成过程,提高了学生分析问题的能力.通过几何语言表达相似多边形的定义和性质,完成文字与符号语言之间的转化,培养学生用符号语言表达数学知识的能力.
三、例题讲解
判断正误,正确的说明理由,错误的举出反例.
(1)所有的矩形都相似. ( )
(2)所有的菱形都相似. ( )
(3)所有的正方形都相似. ( )
(4)所有的等腰直角三角形都相似. ( )
(5)所有的等边三角形都相似. ( )
【师生活动】 学生独立思考后小组讨论交流,教师巡视过程中及时帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评,并指出易错点,强化相似多边形的判定方法.
(教材例题)如图所示,四边形ABCD与EFGH相似,求角α,β 的大小和EH的长度x.
【思考】
(1)相似多边形的性质是什么?
(2)根据相似多边形的性质,你能求出∠F,∠G的大小吗?
(3)四边形的内角和是多少度?
(4)由四边形内角和定理,能否求出∠H的值?
(5)相似四边形中,对应边AB与EF,AD与EH之间有什么关系?
(6)在比例式中,已知三条线段的长能否求出第四条线段的长?尝试求出EH的值.
128
【师生活动】 学生在教师问题的指导下独立思考,完成解答过程,小组之间交流结果,小组代表板书过程,教师点评,归纳总结.
解:∵四边形ABCD与四边形EFGH相似,
∴α=∠C=83°,∠A=∠E=118°,=,
即=,解得x=28.
在四边形ABCD中,β=360°-83°-78°-118°=81°.
【教师追问】 利用相似多边形的性质,可以解决哪种类型的几何问题?
(求角的大小、线段的长度;证明角相等、线段成比例等)
[设计意图] 通过对例题的探究,进一步巩固相似多边形的概念和性质,同时通过小组合作交流,归纳解题方法和思路,培养学生的合作意识及分析问题的能力.
[知识拓展] (1)式子=也可以写成a∶b=c∶d,通常这里的a叫做第一比例项,b叫做第二比例项,c叫做第三比例项,d叫做第四比例项.
(2)有时在=中,b=c,例如=,这时我们把b(或c)叫做a,d的比例中项,此时b2(或c2)=ad.
(3)在式子=的两边同时乘bd,得ad=cb,在与比例有关的计算中,我们常通过上述变形转化字母之间的关系.
(4)通常情况下,四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b和c,d的单位分别一致也可以.
(5)在相似多边形中,“对应边成比例”“对应角相等”这两个条件必须同时成立时,才能说明这两个多边形是相似多边形.
(6)相似多边形的性质可以用来确定两个多边形中未知的边的长度或未知的角的度数.
(7)相似比的值与两个多边形的前后顺序有关.
(8)相似比为1∶1的两个相似多边形是全等多边形.
1.成比例线段:对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段成比例.
2.相似多边形的定义:.两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.
3.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.
1.关于相似多边形的下列叙述正确的是 ( )
A.对应边相等的多边形叫做相似多边形
B.多边形的边数不同时也可以相似
C.对应角、对应边都相等的多边形叫做相似多边形
D.对应角相等、对应边成比例的多边形叫做相似多边形
解析:两个边数相同的多边形,满足对应边成比例、对应角相等的多边形叫做相似多边形,两个条件缺一不可,所以A,C错误,D正确;边数不相等的多边形一定不相似,所以B错误.故选D.
2.一个五边形的各边长分别为1,2,3,4,5,另一个和它相似的五边形的最长边的长为7,则后一个五边形的周长为 ( )
A.27 B.25
C.21 D.18
解析:根据相似多边形对应边成比例得相似比为,所以边长为1,2,3,4的各边对应的边长为,,,,则周长为++++7=21.故选C.
3.已知a,b,c,d是成比例线段,且a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm,则d= cm.
128
解析:因为a,b,c,d是成比例线段,所以=,把a=3 cm,b=2 cm,c=6 cm代入,得=,解得d=4 cm.故填4.
4.在比例尺为1∶6000000的地图上,量得南京到北京的距离是15 cm,则这两地的实际距离是 km.
解析:设两地的实际距离为x cm.根据图上距离与实际距离的比等于比例尺,得=,解得x=90000000,90000000 cm=900 km.故填900.
5.如图所示,六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'相似,已知AB=5 cm,EF=6 cm,CD与C'D'的比值为1∶3,∠E=125°,求A'B',E'F'的长及∠E'的度数.
解:∵六边形ABCDEF与六边形A'B'C'D'E'F'相似,
∴===,∠E'=∠E=125°.
∴A'B'=3AB=15 cm,E'F'=3EF=18 cm.
第2课时
1.成比例线段概念
2.认识相似多边形
定义
性质
表示
3.例题讲解
例1
例2
一、教材作业
【必做题】
教材第27页习题27.1第1,2,3,5题.
【选做题】
教材第28页习题27.1第6,7,8题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.下列各组中的四条线段成比例的是 ( )
A.a=,b=3,c=2,d=
B.a=4,b=6,c=5,d=10
C.a=2,b=,c=2,d=
D.a=2,b=3,c=4,d=1
2.下列说法中正确的是 ( )
A.两个平行四边形一定相似
B.两个菱形一定相似
C.两个矩形一定相似
D.两个等腰直角三角形一定相似
128
3.若四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',且AB∶A'B'=1∶2,已知BC=8,则B'C'的长为 ( )
A.4 B.16 C.24 D.64
4.如图所示的两个四边形相似,则α的度数是 ( )
A.87° B.60° C.75° D.120°
5.如图所示,有三个矩形,其中是相似图形的是 ( )
A.甲和乙 B.甲和丙
C.乙和丙 D.甲、乙和丙
6.如果a,b,x,y四条线段成比例,那么可写成比例式 ,用乘法的形式表示为 .
7.已知=,则= .
8.在比例尺为1∶40000的工程示意图上,南京地铁一号线的长度约为54.3 cm,它的实际长度约为 km.
9.下列说法中,正确的是 (填序号).
①对应角相等的两个多边形相似;
②对应边成比例的两个多边形相似;
③若两个多边形不相似,则对应角不相等;
④若两个多边形不相似,则对应边不成比例;
⑤边长分别为3,5的正方形是相似多边形;
⑥全等多边形一定是相似多边形.
10.如图所示,把矩形ABCD对折,折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似,已知AB=4.
(1)求AD的长;
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.
【能力提升】
11.如果x∶y∶z=1∶3∶5,那么= .
12.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=12 cm,BC=27 cm,E,F分别在两腰AB,CD上,且EF∥AD,梯形AEFD∽梯形EBCF,则EF的长为 .
13.如图所示,依次连接正方形ABCD各边中点E,F,G,H所形成的四边形与原正方形相似吗?若相似,求出相似比.
128
【拓展探究】
14.在一矩形花坛ABCD的四周修筑小路,使得相对两条小路的宽均相等.若AB=20米,AD=30米,则小路的宽x与y的比值为多少时,能使小路四周所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似?请说明理由.
【答案与解析】
1.C(解析:C中==,==,所以=,所以a,b,c,d是成比例线段.故选C.)
2.D(解析:两个平行四边形的角不一定相等,所以不一定相似;两个菱形的角不一定相等,所以不一定相似;两个矩形的对应边不一定成比例,所以不一定相似;两个等腰直角三角形对应边成比例,对应角相等,两个三角形相似.故选D.)
3.B(解析:根据相似多边形的对应边成比例,可得=,所以=,所以B'C'=16.故选B.)
4.A(解析:根据相似多边形的对应角相等及四边形内角和为360°可得138°+60°+75°+α=360°,解得α=87°.故选A.)
5.B(解析:矩形的四个角都是直角,所以三个矩形的对应角相等,甲和丙的对应边的比相等,而甲和乙的对应边的比不相等,即甲和丙的对应边成比例,甲和乙的对应边不成比例,所以甲和丙相似,甲和乙不相似.故选B.)
6.= ay=bx(解析:根据成比例线段定义可得=,由比例基本性质可得ay=bx.故填=,ay=bx.)
7.(解析:设a=5k,b=2k,则==.故填.)
8.21.72(解析:设实际距离为x cm,根据图上距离∶实际距离=比例尺,可得=,解得x=2172000,2172000 cm=21.72 km.故填21.72.)
9.⑤⑥(解析:对应角相等、对应边成比例的两个多边形相似,所以①②错误;两个多边形不相似时,对应角可能相等,如矩形和正方形不相似,但对应角相等,所以③错误;两个多边形不相似时,对应边可能成比例,如菱形和正方形不相似,但对应边成比例,所以④错误;任意两个正方形对应角相等,对应边成比例,故任意两个正方形都相似,所以⑤正确;全等多边形是相似多边形的特例,所以⑥正确.故填⑤⑥.)
10.解:(1)设矩形ABCD的长AD=x,则DM=AD=x.∵矩形DMNC与矩形ABCD相似,∴=,即=,∴x=4或x=-4(舍去).∴AD的长为4. (2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为4∶4=1∶.
11.(解析:设x=k,y=3k,z=5k,所以===.故填.)
12.18 cm(解析:∵梯形AEFD∽梯形EBCF,∴=,∴=,解得EF=18.故填18 cm.)
13.提示:设正方形ABCD的边长为a,因为EFGH也是正方形,所以两个正方形相似.连接EG,HF可知正方形ABCD的面积是正方形EFGH面积的两倍,故正方形EFGH的面积是a2,所以边长为a,所以正方形ABCD与四边形EFGH的相似比为a∶a=∶1.
14.解:∵矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似,∴=,即=,∴20(30+2x)=30(20+2y),解得=.∴小路的宽x与y的比值为时,矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似.
128
本节课首先提出问题:矩形黑板四周加宽后的四边形与原四边形形状是否相同?学生往往会不假思索地认为相同,教师告诉学生其实不相同,本节课的内容就可以解释为什么不相同,顺势导入课题,再以学生熟悉的放大镜导入新课,让学生体会数学与实际生活密切联系,通过探究放大镜下的三角形、四边形与原图形的对应边、对应角之间的关系,很自然地引出相似多边形的概念,在概念的探究过程中,教师以小问题的形式层层深入,让学生体会概念的形成过程,易于理解和掌握,在探究相似多边形的性质及应用时,学生以小组合作交流为主,课堂气氛活跃,学生思维敏捷,达到了良好效果.
本节课的内容较为简单,重点是探究相似多边形的概念、性质及应用其进行有关的计算,因为是课容量较小的课时,所以应该大胆放手,给学生大胆展示的时间和空间,但学生展示自己的热情不够,表现拘谨,放不开.学生是课堂的唯一主角,教师只是课堂上的引导者,所以在以后的教学中应鼓励学生大胆展示自己,善于发表自己的看法,作为教师,在数学课上应尽量给他们表现的机会.
相似多边形是在相似图形的基础上,通过对对应边、对应角数量关系的一个刻画得出的.以黑板加宽的生活实例导入新课,由于直观上观察相似,所以教师给出不相似的结论后,更能激发学生的学习兴趣,同时让学生体会数学来源于生活,与生活息息相关,然后以学生的自主探究为主线,探究相似多边形的概念和性质,课堂上教师以问题形式引导学生探究,多给学生思考、交流、展示的时间和空间,让学生在课堂上体验知识的形成过程,提高数学思维能力及分析问题、解决问题的能力.
练习(教材第27页)
1.提示:根据比例尺列出方程,求得两地的实际距离为3000 km.
2.解:相似.因为对应角相等,对应边成比例.
3.提示:根据两个多边形相似,对应边成比例,可求得a=3,b=4.5,c=4,d=6.
习题27.1(教材第27页)
1.解:2∶200000=1∶100000.
2.解:任意两个矩形不一定相似,因为任意两个矩形的对应边不一定成比例.
3.提示:根据相似多边形的对应边成比例可得x=6,y=3.5.
5.(1)解:∵AD=2,BD=4,AE=2.5,EC=5,∴AB=AD+BD=2+4=6,AC=AE+EC=2.5+5=7.5.又∵DE=3,BC=9,∴==,==,==. (2)证明:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.在△ADE与△ABC中,∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,且===,∴△ADE与△ABC相似.
6.解:这两个矩形不相似.理由如下:由题意可知小路内边缘所形成的矩形的长为30 m,宽为20 m,小路外边缘所形成的矩形的长为30+1×2=32(m),宽为20+1×2=22(m),∵≠,即两个矩形的对应边不成比例,∴这两个矩形不相似.
7.解:若两个多边形仅有对应角相等,则它们不相似.例如:矩形A的长与宽分别为6 cm和4 cm,矩形B的长与宽分别为5 cm和3 cm,对应边的比分别为6∶5,4∶3,∵6∶5≠4∶3,∴这两个矩形不相似.若两个多边形仅有对应边成比例,则这两个多边形也不相似.
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例如:边长为3 cm的正方形和边长为4 cm、内角分别为60°,60°,120°,120°的菱形,对应边的比为,但对应角不相等,∴这两个多边形不相似.
8.解:设原来矩形的长为x,宽为y,则对折后的矩形的长为y,宽为x.由相似图形的性质可知x∶y=y∶,y2=x2,x=y或x=-y(舍去),∴x=y,即x∶y=∶1,即原来矩形的长宽比是∶1.将这张纸再对折下去,得到的矩形都相似,理由如下:两次对折后得到的矩形的长与宽分别为x和y,则x∶=y∶=2∶1,即两次对折后得到的矩形与原矩形相似,如此重复下去,结论相同.
(1)本节课的相似多边形是在相似图形的基础上,通过对对应边、对应角进行数量上的刻画得出的,相似图形是本章内容的基础,所以本节课的相似多边形起着承上启下的作用,为后面学习相似三角形起着推波助澜的作用.在教学设计中要在紧扣教材的基础上创造性地使用教材,在教学导入中,以加宽黑板这一生活实例和学生熟悉的放大镜问题导入新课,让学生体会到数学来源于生活,又应用于生活,同时又激发了学生学习的欲望,学生带着疑问走进课堂,在学习过程中会收获更多的知识.
(2)线段成比例是探究相似多边形概念和性质的基础,在教学设计时首先知道什么是线段的比,导出四条线段成比例的概念,为探究相似多边形的概念做好铺垫.通过探究放大镜下的三角形、四边形的对应边、对应角之间的关系,很自然地得到相似多边形的概念,让学生亲身经历知识的形成过程,体会由特殊到一般的数学思想方法.
(3)在课堂上注重学生能力的培养,教学设计中,学生自主探究有关概念、性质及例题时,由小问题层层深入解决,在教师问题的引导下,学生通过自主探究、小组合作交流等数学活动得出结论和解题思路,培养学生分析问题、解决问题的能力;教学设计中习题的设计解决验证导入中的实例,做到首尾呼应,提高学生应用数学的能力;通过小组合作交流,培养学生合作意识,提高与他人交流的能力.
已知矩形ABCD中,AB=1,在BC上取一点E,将△ABE沿AE向上折叠,使B点落在AD上的F点.若四边形EFDC与矩形ABCD相似,求AD的长.
〔解析〕 设AD=x,由四边形EFDC与矩形ABCD相似,根据相似多边形对应边的比相等列出比例式,求解即可,用方程思想解答几何题是常用的思想方法.
解:∵矩形ABCD中,AF由AB折叠而得,
∴ABEF是正方形.
又∵AB=1,∴AF=AB=EF=1.
设AD=x,则FD=x-1.
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似,
∴=,即=.
解得x1=,x2=(负值,舍去).
∴AD=.
27.2 相似三角形
128
1.了解相似三角形的概念,掌握平行线分线段成比例这一基本事实.
2.经历利用平行线判定三角形相似的证明过程,掌握平行线判定三角形相似的方法.
3.了解三角形相似的三个判定定理的证明过程,能灵活应用三角形相似的三个判定定理证明三角形相似.
4.了解直角边斜边判定定理的证明过程,能应用直角边斜边判定定理证明直角三角形相似.
5.理解相似三角形的性质,能用三角形相似的性质计算有关角、线段、周长、面积问题.
6.能应用三角形相似的判定定理及性质解决数学问题.
7.能建立数学模型运用三角形相似的有关知识解决一些实际问题.
1.经历平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数形结合思想.
2.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明方法过程中,渗透数学中的类比思想和转化思想.
3.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.
4.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生综合运用知识解决数学问题的能力.
5.通过建立与三角形相似有关的数学模型解决实际问题,培养学生数学建模思想,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.
1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理,培养学生动手操作能力及直觉思维.
2.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.
3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
4.通过类比、猜想、证明的探索过程,让学生体验成功的快乐,同时培养学生严谨的求学精神.
5.通过建立数学模型解决实际问题,培养学生积极进取的精神,增强学习数学的自信心.
【重点】
1.掌握平行线分线段成比例基本事实,利用平行线判定相似三角形.
2.能灵活运用三角形相似判定定理证明三角形相似.
3.运用三角形相似的性质计算有关角、线段、周长、面积问题.
4.能运用三角形相似的知识解决实际问题.
【难点】
1.探索三角形相似的判定定理及性质的证明.
2.灵活运用三角形相似的判定方法证明三角形相似.
3.在实际问题中建立数学模型解决问题.
27.2.1 相似三角形的判定
128
1.了解相似三角形的概念,掌握平行线分线段成比例这一基本事实.
2.经历利用平行线判定三角形相似的证明过程,掌握平行线判定三角形相似的方法.
3.了解三角形相似的三个判定定理的证明过程,能灵活应用三角形相似的三个判定定理证明三角形相似.
4.了解直角边斜边判定定理的证明过程,能应用直角边斜边判定定理证明直角三角形相似.
5.能应用三角形相似的判定定理及性质解决简单问题.
1.经历平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数形结合思想.
2.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明方法过程中,渗透数学中的类比思想和转化思想.
3.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.
4.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.
1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理,培养学生动手操作、合情推理及演绎推理能力.
2.通过探究三角形相似的判定定理的证明,渗透数学中的类比思想方法,提高学生逻辑思维能力.
3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及勇于思考、大胆质疑的学习习惯.
4.通过类比、猜想、证明的探索过程,让学生体验成功的快乐,同时培养学生严谨的求学精神.
【重点】
1.掌握平行线分线段成比例基本事实,利用平行线判定相似三角形.
2.能灵活运用三角形相似判定定理证明三角形相似.
3.能运用三角形相似的判定及性质解决简单问题.
【难点】
1.探索三角形相似的判定定理的证明.
2.灵活运用三角形相似的判定方法证明三角形相似.
第课时
1.了解相似三角形的概念,掌握平行线分线段成比例这一基本事实.
128
2.经历利用平行线判定三角形相似的证明过程,掌握利用平行线判定三角形相似的方法.
1.通过平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化,体会数学中的化归思想及数形结合思想.
2.通过平行线判定三角形相似及利用相似三角形的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的能力.
1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理,培养学生动手操作能力及直觉思维.
2.探究利用平行线判定三角形相似的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.
3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
【重点】
1.掌握平行线分线段成比例基本事实.
2.能利用平行线判定三角形相似.
【难点】
探索利用平行线判定三角形相似的方法.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 准备距离相等的一组平行线(或语文横格本).
导入一:
【课件展示】 你知道金字塔有多高吗?传说法老命令祭师们测量金字塔的高度,祭师们为此伤透了脑筋,为了帮助祭师们解决困难,古希腊一位伟大的数学家泰勒斯利用巧妙的办法测量金字塔的高度(在金字塔旁边竖立一根木桩,当木桩影子的长度和木桩的长度相等时,只要测量金字塔的影子的长度,便可得出金字塔的高度),展示了他非凡的数学及科学才能.如图所示.
[过渡语] 泰勒斯测量金字塔的高度的方法正确吗?通过学习相似三角形的判定及性质,就可以说明他的测量方法是正确的.
导入二:
【复习提问】
128
(1)什么是相似多边形?相似多边形有什么性质?
(2)当相似比为1时,两个相似多边形有什么关系?
【师生活动】 学生独立回答,教师点评.
[设计意图] 通过数学家测量金字塔的高度导入新课,激发学生学习的兴趣,从而向学生进行要刻苦学习的思想教育,同时让学生体会数学在实际生活中的应用;通过复习相似多边形的概念及性质,让学生用类比法得到相似三角形的概念及性质,为本节课的学习做好铺垫.
[过渡语] 三角形是最简单的多边形,我们知道了相似多边形的概念,很容易得到相似三角形的概念.
一、认识相似三角形
思考并回答:
(1)类比相似多边形的概念,你能说出相似三角形的概念吗?
(2)如果相似比是1,那么这两个三角形是什么关系?
(3)△ABC与△A'B'C'的相似比为k,那么△A'B'C'与△ABC的相似比是多少?
(4)类比相似多边形的性质,说出相似三角形的性质,并用几何语言表示.
【师生活动】 学生思考回答,教师对每个问题点评后展示课件,规范数学语言.
(课件展示)
(1)定义:三个角分别相等,三条边成比例,我们就说这两个三角形相似.对应边的比就叫做两个三角形的相似比.
(2)表示:△ABC与△A'B'C'相似记作“△ABC∽△A'B'C'”,读作“△ABC相似于△A'B'C'”.
注意:对应顶点写在对应的位置上.
(3)相似比为1时,这两个三角形全等,所以全等三角形是相似三角形的特例.
(4)△ABC与△A'B'C'的相似比为k,那么△A'B'C'与△ABC的相似比是.
(5)性质:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
【几何语言】 如图所示,△A1B1C1∽△ABC,∴∠A1=∠A,∠B1=∠B,∠C1=∠C;==.
[设计意图] 通过复习相似多边形的定义和性质,迁移到相似三角形的定义和性质,让学生体会类比思想在数学中的应用,帮助学生建立新旧知识之间的联系,体会事物之间由一般到特殊,由特殊到一般之间的联系.
二、平行线分线段成比例基本事实
思路一
(1)在课前准备的距离相等的一组平行线l1,l2,l3中,任意作直线AC和A1C1(如图(1)所示),则= ,= ,即 .
128
(2)在课前准备的距离相等的一组平行线l1,l2,l3,l4,l5中,任意作直线AE和A1E1(如图(2)所示),则= ,= ,即 ;= ,= ,即 .
(3)在图(2)中,你还能得到其他的比例式吗?
(4)对于任意一组平行线,截得的对应线段成比例吗?
(5)尝试用语言概括你得出的结论.
【师生活动】 学生观察、思考、计算后,小组合作交流,得出结论,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评.
【课件展示】 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
如图所示,当直线l1∥l2∥l3时,则=,=,=,=等.
思路二
【动手操作】 任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2都相交的平行线l3,l4,l5,分别度量l3,l4,l5在l1上截得的线段AB,BC,AC和在l2上截得的线段DE,EF,DF的长度.
(1)根据度量的长度,你得到哪些成比例线段?尝试写出来.
(2)这些成比例线段在图中的位置有什么关系?
(3)对于任意一组平行线,截得的对应线段成比例吗?
(4)你能用语言概括你得到的结论吗?
【师生活动】 学生动手独自测量思考,写出比例式,小组合作交流答案,学生展示后教师点评.
[过渡语] 我们每个同学虽然画的直线的位置不同,但得到的结论是相同的,所以我们可以得到基本事实:
【课件展示】 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
128
如图所示,当直线l1∥l2∥l3时,则=,=,=,=等.
[设计意图] 通过动手操作,测量或计算得出平行线分线段成比例这一基本事实,体会从特殊到一般的探索过程,激发学生的求知欲,培养学生分析问题的能力.
三、平行线分线段成比例转化到三角形中
活动1
如图所示,l1∥l2∥l3,当两条被截直线的交点在直线l1或l2上时,你能得到哪些比例式?(教师动画演示,将图(1)中的直线平移到图(2)的位置,让学生直观感受平行线分线段成比例基本事实仍然成立)
【师生活动】 学生观察教师演示动画,小组交流结果,教师点评结论.
活动2
(1)如图所示,△ABC中,DE∥BC,且DE分别交AB,AC(或AB,AC的反向延长线)于点D,E,那么比例式=成立吗?
(2)你能用语言叙述图中的结论吗?
(3)用几何语言如何描述这一结论?
【师生活动】 学生小组合作交流,共同探究结论,教师及时点拨,师生共同归纳结论.
【课件展示】 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
【几何语言】 如图所示,∵DE∥BC,∴=.
[设计意图] 通过动画演示将平行线分线段成比例基本事实转化到三角形中,学生易直观形象地得出结论,同时通过学生讨论交流,培养学生的合作意识及语言表达能力.
四、利用平行线证明三角形相似
问题
128
如图所示,在△ABC中,DE∥BC,且DE分别交AB,AC于点D,E,△ADE与△ABC相似吗?如何证明?
教师引导回答问题:
(1)要证明三角形相似,需要哪些条件?
(∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,==)
(2)你能证明这些角对应相等吗?
(由两直线平行,同位角相等可得)
(3)如何证明=?
(由平行线分线段成比例事实易得)
(4)DE不在BC边上,用什么方法将DE转化到BC边上呢?
(过E作EF∥AB,交BC于点F)
(5)你能证明=吗?
(由平行线分线段成比例事实易得)
(6)你能写出△ADE∽△ABC的证明过程吗?
(7)尝试用语言叙述上述结论,并用几何语言表示你的结论.
【师生活动】 学生在教师问题的引导下,思考后小组交流,小组代表板书过程,教师在巡视过程中帮助有困难的学生,对学生板书点评,规范书写过程.
证明:在△ADE和△ABC中,∠A=∠A.
∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
过E作EF∥AB,交BC于点F,
∵DE∥BC,EF∥AB,
∴=,=.
∵四边形DBFE是平行四边形,
∴DE=BF.
∴=,
∴==.
∴△ADE∽△ABC.
【课件展示】 平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
【几何语言】 如图所示,在△ABC中,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.
【追问】 当DE与BA和CA的延长线相交时,上述结论还成立吗?(教师总结归纳利用平行线证明三角形相似的基本图形:“A”型和“X”型)
[设计意图] 通过教师设计的小问题,层层深入,达到分析问题的目的,学生易于理解和掌握,提高学生分析问题的能力,同时培养学生归纳总结的能力,加深对平行线证明三角形相似的判定方法的理解.
[知识拓展] (1)相似三角形与全等三角形的联系与区别:全等三角形的大小相等,形状相同,而相似三角形的形状相同,大小不一定相等,所以全等三角形是相似三角形的特例,相似比是1∶1的两个相似三角形是全等三角形.
(2)相似三角形的传递性:如果△ABC∽△A'B'C',△A'B'C'∽△A″B″C″,那么△ABC∽△A″B″C″.
128
(3)在应用平行线分线段成比例这个基本事实时,找准被平行线截得的对应线段,被截线段不一定平行,当“上比下”的值为1时,说明这些平行线间的距离相等.
(4)符合平行线证明三角形相似的图形有两个,我们称为“A”型和“X”型,如图所示,若DE∥BC,则△ADE∽△ABC.
1.相似三角形的概念、表示:三个角分别相等,三条边成比例,△ABC∽△A'B'C'.
2.平行线分线段成比例的基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.
3.平行线分线段成比例在三角形中的应用:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例.
4.平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型.平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
1.(2015·乐山中考)如图所示,l1∥l2∥l3,两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和D,E,F,已知=,则的值为 ( )
A. B. C. D.
解析:由平行线分线段成比例可得=,∵=,∴=.故选D.
2.如图所示,DE∥BC, =, 则△ADE和△ABC的相似比为 ( )
A.1∶2 B.1∶3
C.2∶1 D.2∶3
解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴△ADE和△ABC的相似比为,∵=,∴=.故填B.
3.若△ABC与△DEF的相似比是5∶3,则△DEF与△ABC的相似比是 .
解析:根据相似比的概念,可得△ABC与△DEF的相似比与△DEF与△ABC的相似比互为倒数,所以△DEF与△ABC的相似比是3∶5.故填3∶5.
4.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,若=,DE=2,则BC的长为 .
解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴==,又DE=2,∴=,∴BC=6.故填6.
128
5.如图所示,若DE∥BC,DE=3 cm,BC=5 cm,求的值.
解:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
∴=,
∵DE=3 cm,BC=5 cm,
∴=,∴=.
第1课时
1.相似三角形的概念、表示
2.平行线分线段成比例的基本事实
3.平行线分线段成比例在三角形中的应用
4.平行线证明三角形相似:“A”型和“X”型
一、教材作业
【必做题】
教材第42页习题27.2第1,5题.
【选做题】
教材第44页习题27.2第14题.
二、课后作业
【基础巩固】
1.若△ABC∽△A'B'C',∠A=40°,∠C=110°,则∠B'等于 ( )
A.30° B.50°
C.40° D.70°
2.若△ABC∽△A'B'C',且相似比为k,则k的值等于 ( )
A.∠A∶∠A' B.AB∶ A'C'
C.AB∶A'B' D.BC∶A'B'
3.如图所示,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC边上,DE∥BC,若=,BC=9,则DE等于 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
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4.如图所示,已知在△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且=,那么的值为 ( )
A. B. C. D.
5.(2015·海南中考)如图所示,点 P是▱ABCD边AB上的一点,射线CP交DA的延长线于点E,则图中相似的三角形有 ( )
A.0对 B.1对
C.2对 D.3对
6.已知△ABC∽△DEF,∠A=80°,∠B=20°,那么△DEF的各角的度数分别是 .
7.(2015·金华中考)如图所示,直线l1,l2,…,l6 是一组等距离的平行线,过直线l1上的点A作两条射线,分别与直线l3,l6相交于点B,E,C,F.若BC=2,则EF的长是 .
8.如图所示,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距墙80 cm,梯上点D距墙70 cm,BD长55 cm.求梯子的长.
9.如图所示,已知AC⊥AB,BD⊥AB,AO=78 cm,BO=42 cm,CD=159 cm,求CO和DO.
【能力提升】
10.如图所示的是A,B,C,D四点在坐标平面上的位置,其中O为原点,AB∥CD.根据图中各点坐标,可知D点坐标为 ( )
A. B.
C.(0,5) D.(0,6)
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11.(2015·株洲中考)如图所示,已知AB,CD,EF都与BD垂直,垂足分别是B,D,F,且AB=1,CD=3,那么EF的长是 ( )
A. B. C. D.
12.如图所示,已知△ABC中,DE∥BC,EF∥CD.求证=.
【拓展探究】
13.如图(1)所示,在▱ABCD中,O是对角线AC上一动点,连接DO并延长交直线AB于点E,得到△DOC∽△EOA.
(1)当点O运动到何处时,△DOC与△EOA的相似比为2?(如图(2)所示)
(2)当点O运动到何处时,△DOC≌△EOA?
(3)当点O运动到何处时E与B重合?此时△DOC与△EOA的相似比是多少?此时O点继续向C点运动,DO的延长线与BC交于F,且有△DFC∽△EFB,当F是BC中点时,求△DOC与△EOA的相似比.
【答案与解析】
1.A(解析:在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∠A=40°,∠C=110°,∴∠B=30°,又△ABC∽△A'B'C',∴∠B'=∠B=30°.故选A.)
2.C(解析:相似比为相似三角形对应边的比,即AB∶A'B'或AC∶ A'C' 或BC∶B'C'.故选C.)
3.B(解析:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴=,∵=,∴=,=,又∵BC=9,∴=,∴DE=3.故选B.)
4.A(解析:∵=,∴=,∵DE∥BC,∴==,∵EF∥AB,∴==.故选A.)
5.D(解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴△APE∽△BPC,△APE∽△DCE,∴△BPC∽△DCE.故选D.)
6.80°,20°,80°(解析:根据三角形的内角和,可得∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=80°,∵△ABC∽△DEF,∴∠D=∠A=80°,∠E=∠B=20°,∠F=∠C=80°.故填80°,20°,80°.)
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7.5(解析:由平行线分线段定理可得=,因为BC∥EF,所以△ABC∽△AEF,所以==,因为BC=2,所以AE=5.故填5.)
8.解:∵DE⊥AC,BC⊥AC,∴DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴=,∴=.∴AB=440(cm).∴梯子的长为440 cm.
9.解:设DO=x cm,则CO=(159-x)cm,∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴AC∥BD.∴△AOC∽△BOD.∴=,即=.∴x=55.65.∴CO=103.35 cm,DO=55.65 cm.
10.C(解析:∵AB∥CD,∴△AOB∽△COD.∴=,即∶=∶DO,∴DO=5,∴D点坐标为(0,5).故选C.)
11.C(解析:∵AB,CD,EF都与BD垂直,∴AB∥CD∥EF,∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD,∴=,=,∴+=+=1.∵AB=1,CD=3,∴+=1,∴EF=.故选C.)
12.证明:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.∴= .∵EF∥CD,∴△AEF∽△ACD.∴=,∴=.
13.解:(1)∵△DOC与△EOA的相似比为2,则=2,∴当点O运动到=2处时,△DOC与△EOA的相似比为2. (2)当点O运动到AC中点时,AO=CO,∵AB∥CD,∴∠CDO=∠AEO,∠DCO=∠EAO,∴△DOC≌△EOA,∴当O点运动到AC的中点处时,△DOC与△EOA全等. (3)∵当E与B重合时,△DOC与△EOA全等,∴AO=CO,∴当点O运动到AC的中点时,E与B重合,此时△DOC与△EOA的相似比是1.当点F是BC的中点时,则BF=CF,∵AB∥CD,∴∠CDF=∠BEF,∠DCF=∠EBF,∴△DFC≌△EFB,∴DC=BE,∴AB=DC=BE,∴=,∴△DOC与△EOA的相似比为=.
本节课是三角形的判定的第1课时,通过复习相似多边形的概念,学生用类比法易得到相似三角形的概念及表示方法,降低了学习概念的难度.以动手操作为主探究平行线分线段成比例这一事实,学生经历动手操作、观察、计算、比较、讨论、归纳等教学活动,人人参与课堂,积极展示,学生成为课堂的主人,在积极思维中经历知识的形成过程,然后通过动画展示,学生直观形象地观察到这一基本事实在三角形中的应用,体会数学中的转化思想,为平行线证明相似做好铺垫.最后在教师的引导下完成定理的证明,培养学生逻辑思维能力和严谨的学习精神.
本节课在探究平行线分线段成比例基本事实后,将这一基本事实转化到三角形中应用,得到三角形中的两个推论,课容量较大,在前面概念及基本事实的探究活动中耽误时间长,后面的探究活动教师设计的小问题较多,造成完不成课时任务,后面的处理过于仓促,有头重脚轻的感觉,学生对本节课的重点把握不准,在以后的教学中要注重时间的安排,突出课时重点.
本节课重点是在探究平行线分线段成比例这一基本事实的基础上,将这一结论转化到三角形中,然后得到平行线判定三角形相似的基本方法,在教学设计中要突出重点,通过动手操作、共同探究等数学活动,共同归纳出这一基本事实,通过直观形象的动画演示,自然地转化到三角形中,应用基本事实证明线段成比例,再通过师生共同探究,完成平行线证明三角形相似的定理的证明,注重学生课堂学习的参与度,给学生较大活动空间,达到提高学生学习能力的目的.
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练习(教材第31页)
1.解:∵AB∥CD∥EF,∴====.
2.解:△ADE∽△ABC,相似比k====.
(1)本节课是在相似多边形的基础上开始系统研究相似三角形.平行线判定三角形相似是其他判定方法的基础,本节课的知识结构看似分散,但又环环相扣,具有承上启下的作用.在探究平行线分线段成比例这一基本事实时,让学生动手操作、观察、归纳、总结出结论,然后将这一结论转化到三角形中,得到平行于三角形的一边,与其他两边或两边的延长线相交,截得的对应线段成比例,然后根据这一结论证明截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例,从而得到平行线判定三角形相似的基本方法,层层深入的问题探索,知识得到升华,在教学设计中,问题的设置在知识的生成处,学生经历动手操作、观察、计算、比较、讨论、归纳等数学活动,探索出本节课的结论,培养学生分析问题、解决问题的能力.
(2)本节课的重点是平行线分线段成比例这一基本事实判定三角形相似,难点是平行线证明三角形相似,在教学设计中突出学生的主体作用,在教师问题的引导下,学生小组合作交流,归纳结论,学生人人参与课堂,培养学生与他人合作的意识,同时学生在自主学习中探索出数学结论,培养学生的发散性思维和创造性思维,体会类比、从特殊到一般的数学思想方法,从而提高数学能力.总之,通过数学活动的设计,层层深入探索,使知识得到升华.
(2015·河南中考)如图所示,△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,DE∥AC,若DB=4,DA=2,BE=3,则EC= .
〔解析〕 ∵DE∥AC,∴=,∴EC===.故填.
(2014·天津中考)如图所示,在▱ABCD中,点E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则EF∶FC等于 ( )
A.3∶2 B.3∶1
C.1∶1 D.1∶2
〔解析〕 ∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,∴△DEF∽△BCF,∴=,∵点E是边AD的中点,∴AE=DE=AD,∴=.故选D.
(2014·安徽中考)如图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点△ABC(顶点是网格线的交点).
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(1)将△ABC向上平移3个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)请画一个格点△A2B2C2,使△A2B2C2∽△ABC,且相似比不为1.
〔解析〕 (1)利用平移的性质得出对应点位置,进而得出答案;(2)利用相似图形的性质,将各边扩大相同倍数,进而得出答案.
解:(1)如图所示的△A1B1C1即为所求.
(2)答案不唯一.如图所示的△A2B2C2即为所求.
第课时
1.了解三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理的证明过程.
2.能运用三角形相似的判定定理证明三角形相似.
1.在类比全等三角形的证明方法探究三角形相似的证明方法过程中,进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想.
2.经历类比、猜想、探究、归纳、应用等数学活动,提高学生分析问题、解决问题的能力.
3.通过应用三角形相似的判定方法和性质解决简单问题,培养学生的应用意识.
1.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思维能力.
2.在三角形相似的判定的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神,同时体验成功带来的快乐.
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3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习惯.
【重点】
能运用三边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理证明三角形相似.
【难点】
三角形相似判定定理的证明过程.
【教师准备】 多媒体课件.
【学生准备】 预习教材P32~34.
导入一:
【复习提问】
(1)证明三角形相似的方法是什么?
(三角形相似的定义、平行线证明三角形相似)
(2)全等三角形如何定义的?证明全等三角形有几种方法?
(对应角、对应边相等的三角形是全等三角形;SSS,SAS,ASA,AAS,HL)
(3)全等三角形与相似三角形有什么关系?
导入二:
【课件展示】 欣赏图片.
【导入语】 图片中的三角形相似吗?如何证明?除了用定义证明对应角相等、对应边成比例以外,还有简单的方法证明吗?通过今天的学习,我们探究新的方法证明三角形相似.
[设计意图] 通过复习三角形全等的方法和证明过程,为类比探究证明三角形相似的方法做好铺垫;展示生活图片,让学生体会数学来源于生活,生活中处处有数学,从而激发学生的学习兴趣.
[过渡语] 对于任意的两个三角形,现在我们只能运用定义去判定是否相似,我们需知道对应角是否相等,且对应边是否成比例,那么是否存在判定三角形相似的简单方法呢?
一、三边法证明三角形相似
思路一
类比三角形全等的方法,同桌两个人分别画三角形.
【动手操作】
(1)同桌分别画边长为2 cm,3 cm,4 cm的三角形和边长为4 cm,6 cm,8 cm的三角形,然后猜想、判断两个三角形是否相似.
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【学生活动】 通过测量三角形的三个内角、计算三角形三边的比,根据相似三角形的定义判定三角形相似.
(2)如果一个三角形的三边是另一个三角形三边的k倍,那么这两个三角形是否相似?
【学生活动】 学生动手操作,然后测量三角形的角度,根据定义判定三角形相似.
(3)猜想:三角形三边对应成比例,两个三角形是否相似?你能证明这个结论吗?
【课件展示】 如图所示,已知在△ABC和△A'B'C'中,==.求证△ABC∽△A'B'C'.
【教师引导分析】
(1)除了定义外,还有什么方法可以证明三角形相似?
(平行线证明三角形相似)
(2)如何把两个三角形转化到一个三角形内,利用平行线证明三角形相似?
(在A'B'上截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'于点E)
(3)能否证明△A'DE与△A'B'C'相似?
(根据平行线分线段成比例基本事实可证明)
(4)根据已知条件△ABC与△A'DE是否全等?(SAS)
(5)尝试给出定理的证明过程.
【课件展示】
证明:如图所示,在线段A'B'(或它的延长线)上截取A'D=AB,
过点D作DE∥B'C',交A'C'(或A'C'的延长线)于点E,则可得△A'DE∽△A'B'C'.
∴==,
又==,A'D=AB,
∴=,=,
∴DE=BC,A'E=AC.
∴△A'DE≌△ABC,
∴△ABC∽△A'B'C'.
(6)类比三角形全等,用文字语言叙述以上得到的结论,并用几何语言表示.
【课件展示】 判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.
【几何语言】 如图所示,∵==,∴△ABC∽△A'B'C'.
思路二
(1)类比SSS证明三角形全等的定理,猜想三边成比例,两个三角形相似.
(2)证明你的猜想.
如图所示,已知在△ABC和△A'B'C'中,==.求证△ABC∽△A'B'C'.
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【教师引导】 除了定义,前边学过在同一个三角形中,由平行线可以证明两个三角形相似,如何通过作平行线,将一个三角形转化到另一个三角形中?
【师生活动】 学生小组合作交流证明思路,然后尝试书写过程,小组代表板书,教师巡视过程中帮助有困难的学生,对学生进行点评,规范学生书写证明过程.
(证明过程同思路一)
(3)归纳总结:三角形相似的判定定理及几何语言表示.
【课件展示】 判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.
【几何语言】 如图所示,∵==,∴△ABC∽△A'B'C'.
[设计意图] 通过动手操作、猜想、证明、归纳等数学活动,获得判定三角形相似的条件,体会数学中的类比思想,培养学生分析问题的能力,同时通过规范证明过程,培养学生严谨的数学精神.
二、两边及夹角法证明三角形相似
[过渡语] 类比证明三角形全等的方法,我们能用SAS证明三角形相似吗?
动手操作:(1)尝试用文字语言叙述这个猜想.
(2)如何证明这个猜想?尝试写出证明过程.
(3)归纳结论,用几何语言表示得到的结论.
【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,小组代表板书,教师帮助有困难的学生,规范学生的证明过程.
【课件展示】 判定定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
如图所示,已知在△ABC和△A'B'C'中,=,∠A=∠A'.求证△ABC∽△A'B'C'.
证明:如图所示,在线段A'B'(或它的延长线上)截取A'D=AB,过点D作DE∥B'C',交A'C'(或它的延长线)于点E,则可得△A'DE∽△A'B'C'.
∴=,
又=,A'D=AB,
∴=,
∴A'E=AC.
又∵∠A=∠A',
∴△A'DE≌△ABC,
∴△ABC∽△A'B'C'.
【几何语言】 如图所示,∵=,∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.
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【追加提问】 在△ABC和△A'B'C'中,=,∠B=∠B',这两个三角形一定相似吗?
【师生活动】 学生通过画图举出反例,说明这两个三角形不一定相似,教师强调该判定方法的易错点:角必须是两边的夹角.
[设计意图] 学生通过动手操作,小组合作交流,经历猜想、验证、归纳出三角形相似的判定方法,培养学生与他人交流的能力,提高学生解决问题的能力及数学思维.
三、例题讲解
(教材例1)根据下列条件,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.
(1)AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm,A'B'=12 cm,B'C'=18 cm,A'C'=24 cm;
(2)∠A=120°,AB=7 cm,AC=14 cm,∠A'=120°,A'B'=3 cm,A'C'=6 cm.
〔解析〕 (1)已知两个三角形的三条边,考虑应用“三边成比例的两个三角形相似”判定,所以只需要计算三边的比,三边的比相等,则两个三角形相似,反之,则两个三角形不相似.(2)已知三角形的两条边和一个角,考虑应用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定,所以需要计算两条边的比是否相等,且这两条边的夹角是否相等.
解:(1)∵==,==,==,
∴==,∴△ABC∽△A'B'C'.
(2)∵=,==,
∴=.
又∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'.
[设计意图] 通过分析题意,学生独立完成用判定定理证明三角形相似,达到巩固所学知识的目的,通过简单例题的解答,让学生体会到成功的快乐,激发学生学习数学的热情.
[知识拓展] (1)当已知条件中有三边时,可考虑用“三边成比例的两个三角形相似”证明三角形相似.
(2)在应用相似三角形的判定定理1时,一定要注意先求两个三角形中大边与大边,中间边与中间边,小边与小边的比值,然后判断上述比值是否相等,从而判断两个三角形是否相似.
(3)对于已知两组边的长度及边的夹角相等的情况,常用相似三角形的判定定理2判定两个三角形相似.
(4)在应用相似三角形的判定定理2时,一定要注意必须是两边夹角相等才行.
(5)在应用相似三角形的判定定理2时,还要注意一些隐含条件,如公共角、对顶角等.
1.三边成比例的两个三角形相似.
2.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
1.若△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1,下列结论正确的是 ( )
A.△ABC与△A1B1C1的对应角不相等
B.△ABC与△A1B1C1不一定相似
C.△ABC与△A1B1C1的相似比为
D.△ABC与△A1B1C1的相似比为2
解析:△ABC的各边都分别扩大为原来的2倍,则两个三角形的对应边成比例,且比值为,由三边对应成比例的两个三角形相似,可得△ABC∽△A1B1C1,且相似比为.故选C.
2.如图所示,小正方形的边长均为1,则图中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是
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解析:由题意得AB=2,BC=,AC=,A中三角形的三边长分别为1,,2,三边不对应成比例,A错误;B中三角形的三边长分别为1,,,则有==,故B正确;C中三角形的三边长分别为3,,,三边不对应成比例,故C错误;D中三角形的三边长分别为2,,,三边不对应成比例,故D错误.故选B.
3.下列条件中,能判定△ABC相似于△DEF的有 ( )
①∠A=45°,AB=12,AC=15,∠D=45°,DE=16,DF=40;
②AB=12,BC=15,AC=24,DE=20,EF=25,DF=40;
③∠A=47°,AB=15,AC=20,∠D=47°,DE=28,DF=21.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
解析:①中=,=,所以≠,所以△ABC与△DEF不相似;②中=,=,=,所以==,所以△ABC∽△DEF;③中=,=,所以≠,所以△ABC与△DEF不相似.故选B.
4.如图所示,在△ABC中,D,E分别在AB,AC边上,且==,BC=5,则DE= .
解析:∵==,∠A=∠A ,∴△ABC∽△ADE, ∴===, ∵BC=5,∴DE=.故填.
5.根据下列条件,判断△ABC与△A'B'C'是否相似,并说明理由.
(1)∠A=40°,AB=8,AC=15,∠A'=40°,A'B'=16,A'C'=30;
(2)AB=10,BC=12,AC=15,A'B'=1.5,B'C'=1.8,A'C'=2.25.
解:(1)∵AB=8,AC=15,A'B'=16,A'C'=30,
∴=,
又∵∠A=∠A'=40°,∴△ABC∽△A'B'C'.
(2)∵AB=10,BC=12,AC=15,A'B'=1.5,B'C'=1.8,A'C'=2.25,
∴==,∴△ABC∽△A'B'C'.
第2课时
1.三边法证明三角形相似
2.两边及夹角法证明三角形相似
3.例题讲解
例题
一、教材作业
【必做题】
教材第42页习题27.2第3题.
【选做题】
教材第44页习题27.2第13题.
二、课后作业
128
【基础巩固】
1.如图所示,已知△MNP,则下列四个三角形中与△MNP相似的是 ( )
2.在△ABC中,BC=15 cm,CA=45 cm,AB=63 cm,另一个和它相似的三角形的最短边长是5 cm,则最长边长是 ( )
A.18 cm B.21 cm C.24 cm D.19.5 cm
3.如图所示,与左图中的三角形相似的是 ( )
4.如果三角形的每条边都扩大为原来的3倍,那么三角形的每个角 ( )
A.都扩大为原来的3倍
B.都扩大为原来的6倍
C.都扩大为原来的9倍
D.都与原来相等
5.如图所示,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形,若OA∶OC=OB∶OD,则下列结论中一定正确的是 ( )
A.①与②相似 B.①与③相似
C.①与④相似 D.②与④相似
6.在△ABC和△A1B1C1中,∠A=∠A1,=,可得出△ABC △A1B1C1,理由是 .
7.△ABC的三边长分别为2,,,△A1B1C1的两边长分别为1和,当△A1B1C1的第三边长为 时,△ABC∽△A1B1C1.
8.已知线段AB,CD相交于点O,AO=3,OB=6,CO=2,则当CD= 时,AC∥BD.
9.如图所示,已知==,∠BAD=20°,求∠CAE的大小.
10.如图所示,点C,D在线段AB上,且△PCD是等边三角形.
(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?
(2)当△ACP∽△PDB时,求∠APB的度数.
【能力提升】
128
11.如图所示,△ABC中,点P在边AB上,在下列四个条件中:①AP∶AC=AC∶AB;②AC2=AP·AB;③AB·CP=AP·CB.能满足△APC和△ACB相似的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
12.如图所示,D是∠ABC平分线上的一点,AB=15 cm,BD=12 cm,要使△ABD∽△DBC,则BC的长为 cm.
13.如图所示,正方形ABCD的边长为2,AE=EB,MN=1,线段MN的两端分别在CB,CD上滑动,那么当CM为多少时,△ADE与△MNC相似?
【拓展探究】
14.如图所示,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(01时,变化后的图形是将原图形放大;当0
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